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6b57fe5286
commit
c39cad30b4
@ -1,39 +0,0 @@
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## 2.65
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每一次操作，将 $w$ 位的整数 $x$ 从中间分成两个 $\frac{w}{2}$ 位的整数 $y$ 和 $z$，接着令 `x = y ^ z`。进行 5 次操作后即得到答案。
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我们将这样的思路称为“折半递归法”。
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## 2.66
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第 $k$ 次操作，令 `x = x | (x >> (1 << (k - 1)))`。通过 5 次操作即可实现提示中的转换。
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## 2.75
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$x,y$ 是补码数，$x'=T2U_w(x),y'=T2U_w(y)$。
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$$
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\begin{aligned}
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x'\cdot y'&=(x+x_{w-1}\cdot 2^w)\times(y+y_{w-1}\cdot 2^w)\\
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||||
&=x\cdot y+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}
|
||||
\end{aligned}$$
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进一步，令 `a = signed_high_prod(x, y), b = unsigned_high_prod(x', y')`，有
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$$b\cdot 2^w+x'*^u_w y'=a\cdot 2^w+T2U_w(x*^t_wy)+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}$$
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||||
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||||
化简得
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$$b=a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^w$$
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||||
即
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$$\begin{aligned}
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||||
b&=(a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)\bmod 2^w\\
|
||||
&=T2U_w(a)+^u_t x_{w-1}\cdot y'+^u_t y_{w-1}\cdot x'
|
||||
\end{aligned}$$
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||||
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## 2.80
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$$
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||||
\texttt{threefourths(x)}=\left\{\begin{aligned}
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||||
&3\cdot\lfloor x/4\rfloor+x\bmod 3-[x\bmod 3\neq0], &x\ge0\\
|
||||
&3\cdot\lfloor x/4\rfloor+x\bmod 3, &x<0
|
||||
\end{aligned}\right.
|
||||
$$
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## 2.97
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||||
在某些情况下，舍入会导致最高位提高一位。对于这种情况，我们要将舍入时的最低有效位相应提高一位。
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@ -1,42 +0,0 @@
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## 3.64
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<ol type="A">
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<li>$\&A[i][j][k]=x_A+L(i\cdot S\cdot T+j\cdot T+k)$；</li>
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<li>$R=7,S=5,T=13$。</li>
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</ol>
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## 3.68
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||||
由汇编第 2 行可知，$A\in(4,8]$；由第 3 行可知，$B\in(6,10]$；由第 4 行可知，$A\cdot B\in(44,46]$。因此，$A=5,B=9$。
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## 3.69
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<ol type="A">
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<li>由汇编第 4 至 6 行可知，`a_struct` 大小为 40 字。再结合第 1 行可知 $CNT=7$；</li>
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||||
<li>由汇编第 6 至 8 行可知，`idx` 在 `x` 之前，类型均为 `long`（或 `long` 数组）。结合 `a_struct` 大小为 40 字，得到其声明如下：
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```c
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||||
typedef struct {
|
||||
long idx;
|
||||
long x[4];
|
||||
} a_struct;
|
||||
```
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||||
</li>
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</ol>
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## 3.70
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<ol type="A">
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||||
<li>
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||||
| 字段 | 偏移量 |
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| --- | --- |
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||||
| `e1.p` | 0 |
|
||||
| `e1.y` | 8 |
|
||||
| `e2.x` | 0 |
|
||||
| `e2.next` | 8 |
|
||||
</li>
|
||||
<li>2 个</li>
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||||
<li>
|
||||
```c
|
||||
void proc (union ele *up) {
|
||||
up->e2.x = *(up->e2.next->e1.p) - (up->e2.next->e1.y);
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
</li>
|
||||
</ol>
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@ -1,357 +0,0 @@
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||||
输入命令 `objdump -s -S -d -M att bomb > bomb.s` 进行反汇编。
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||||
## Phase 1
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||||
对 `phase_1` 进行逆向：
|
||||
```c
|
||||
void phase_1(char str[]) {
|
||||
if (strings_not_equal(str, "Border relations with Canada have never been better.") != 0) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
> `explode_bomb` 函数将炸弹引爆；`strings_not_equal` 函数接受两个字符串作为参数，在两者不相等时返回 `1`，否则返回 `0`。
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||||
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||||
显然，输入应为 `Border relations with Canada have never been better.`。
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## Phase 2
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||||
逆向工程循环的一些技巧：
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||||
- 框选出循环范围，将跳转指令的地址改成标号；
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||||
- 尝试移动整段代码，并修改相应的跳转指令；
|
||||
- 最终使之符合任意一种通用策略。
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||||
在这里，我们将 `400f0a` 至 `400f3a` 部分整理如下：
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||||
```esm
|
||||
cmpl $0x1,(%rsp)
|
||||
je .L1
|
||||
call explode_bomb
|
||||
.L1:
|
||||
lea 0x4(%rsp),%rbx
|
||||
lea 0x18(%rsp),%rbp
|
||||
.L2:
|
||||
mov -0x4(%rbx),%eax
|
||||
add %eax,%eax
|
||||
cmp %eax,(%rbx)
|
||||
je .L3
|
||||
call explode_bomb
|
||||
.L3:
|
||||
add $0x4,%rbx
|
||||
cmp %rbp,%rbx
|
||||
jne .L2
|
||||
```
|
||||
基于此逆向得到：
|
||||
```c
|
||||
void phase_2(char str[]) {
|
||||
int x[6];
|
||||
read_six_numbers(x);
|
||||
|
||||
if (x[0] != 1) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
} else {
|
||||
for (int i = 1; i < 6; i++) {
|
||||
if (x[i] != x[i - 1] * 2) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
> `read_six_numbers(int x[])` 读入 6 个整数，并依次存贮到 `x[0]` 至 `x[5]`。
|
||||
|
||||
由此可知，输入应为 `1 2 4 8 16 32`。
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||||
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||||
## Phase 3
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||||
这个 phase 包含一个跳转表，逆向为 switch 语句：
|
||||
```c
|
||||
void phase_3(char str[]) {
|
||||
int x, y;
|
||||
if (sscanf(str, "%d %d", &x, &y) <= 1) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
|
||||
if (x > 7 || x < 0) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
int z;
|
||||
switch (x) {
|
||||
case 0:
|
||||
z = 0xcf;
|
||||
break;
|
||||
case 2:
|
||||
z = 0x2c3;
|
||||
break;
|
||||
case 3:
|
||||
z = 0x100;
|
||||
break;
|
||||
case 4:
|
||||
z = 0x185;
|
||||
break;
|
||||
case 5:
|
||||
z = 0xce;
|
||||
break;
|
||||
case 6:
|
||||
z = 0x2aa;
|
||||
break;
|
||||
case 7:
|
||||
z = 0x147;
|
||||
break;
|
||||
default:
|
||||
z = 0x137;
|
||||
}
|
||||
if (y != z) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
由此可知，输入的第 1 个数必须在 0 到 7 之间，第二个数与之相应即可。
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||||
|
||||
## Phase 4
|
||||
`400fd6` 至 `400fdd` 部分使用了原书 2.3.7 中提到的方法实现除以 2。
|
||||
```c
|
||||
int func4(int x, int y, int z) {
|
||||
int mid = y + (z - y) / 2;
|
||||
if (mid <= x) {
|
||||
if (mid >= x) {
|
||||
return 0;
|
||||
} else {
|
||||
return 2 * func4(x, mid + 1, z) + 1;
|
||||
}
|
||||
} else {
|
||||
return 2 * func4(x, y, mid - 1);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
void phase_4(char str[]) {
|
||||
int x, y;
|
||||
if (sscanf(str, "%d %d", &x, &y) != 2) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
|
||||
if (x > 15 || x < 0) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
if (func4(x, 0, 15) != 0 || y != 0) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
结合线段树知识，输入的第 1 个数可以是 `0`、`1`、`3` 和 `7`，第二个数是 `0`。
|
||||
|
||||
## Phase 5
|
||||
将 `40107f` 至 `4010c6` 部分整理如下：
|
||||
```esm
|
||||
cmp $0x6,%eax
|
||||
je .L1
|
||||
call explode_bomb
|
||||
.L1:
|
||||
mov $0x0,%eax
|
||||
.L2:
|
||||
movzbl (%rbx,%rax,1),%ecx
|
||||
mov %cl,(%rsp)
|
||||
mov (%rsp),%rdx
|
||||
and $0xf,%edx
|
||||
movzbl 0x4024b0(%rdx),%edx
|
||||
mov %dl,0x10(%rsp,%rax,1)
|
||||
add $0x1,%rax
|
||||
cmp $0x6,%rax
|
||||
jne .L2
|
||||
movb $0x0,0x16(%rsp)
|
||||
mov $0x40245e,%esi
|
||||
lea 0x10(%rsp),%rdi
|
||||
call strings_not_equal
|
||||
test %eax,%eax
|
||||
je .L3
|
||||
call explode_bomb
|
||||
.L3:
|
||||
```
|
||||
基于此逆向得到：
|
||||
```c
|
||||
void phase_5(char str[]) {
|
||||
if (string_length(str) != 6) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
|
||||
char str2[7];
|
||||
for (int i = 0; i < 6; i++) {
|
||||
str2[i] = "maduiersnfotvbyl"[str[i] & 0xF];
|
||||
}
|
||||
str2[6] = 0;
|
||||
|
||||
if (strings_not_equal(str2, "flyers") != 0) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
一个可行的输入是 `9?>567`。
|
||||
|
||||
## Phase 6
|
||||
将 `401176` 至 `4011a9` 部分整理如下：
|
||||
```esm
|
||||
mov $0x0,%esi
|
||||
.L1:
|
||||
mov $0x6032d0,%edx
|
||||
mov (%rsp,%rsi,1),%ecx
|
||||
cmp $0x1,%ecx
|
||||
jle .end
|
||||
mov $0x1,%eax
|
||||
.L2:
|
||||
mov 0x8(%rdx),%rdx
|
||||
add $0x1,%eax
|
||||
cmp %ecx,%eax
|
||||
jne .L2
|
||||
.end:
|
||||
mov %rdx,0x20(%rsp,%rsi,2)
|
||||
add $0x4,%rsi
|
||||
cmp $0x18,%rsi
|
||||
jne .L1
|
||||
```
|
||||
为了理解代码对以地址 `0x6032d0` 开头的一段内存的读写操作，我们还需研究其中数据的组织方式，例如：
|
||||
```txt
|
||||
6032d0 4c010000 01000000 e0326000 00000000 L........2`.....
|
||||
```
|
||||
结合汇编代码，不难猜到这块区域依次存储了两个 4 字整数和一个指针，组成一个结构。我们给出它的声明：
|
||||
```c
|
||||
struct chain_node {
|
||||
int val;
|
||||
int id;
|
||||
struct chain_node *next;
|
||||
};
|
||||
```
|
||||
综合以上，逆向得到：
|
||||
```c
|
||||
struct chain_node {
|
||||
int val;
|
||||
int id;
|
||||
struct chain_node *next;
|
||||
} c[6] = {{0x014c, 1, &c[1]},
|
||||
{0x00a8, 2, &c[2]},
|
||||
{0x039c, 3, &c[3]},
|
||||
{0x02b3, 4, &c[4]},
|
||||
{0x01dd, 5, &c[5]},
|
||||
{0x01bb, 6}};
|
||||
|
||||
void phase_6(char str[]) {
|
||||
int x[6];
|
||||
read_six_numbers(x);
|
||||
|
||||
for (int i = 0; ; i++) {
|
||||
if (x[i] <= 0 || x[i] > 6) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
if (i == 5) {
|
||||
break;
|
||||
}
|
||||
for (int j = i + 1; j < 6; j++) {
|
||||
if (x[i] == x[j]) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = 0; i < 6; i++) {
|
||||
x[i] = 7 - x[i];
|
||||
}
|
||||
|
||||
struct chain_node *y[6];
|
||||
for (int i = 0; i < 6; i++) {
|
||||
chain_node *p = c[0];
|
||||
for (int j = 1; j < x[i]; j++) {
|
||||
p = p->next;
|
||||
}
|
||||
y[i] = p;
|
||||
}
|
||||
|
||||
for (int i = 1; i < 6; i++) {
|
||||
y[i - 1]->next = y[i];
|
||||
}
|
||||
y[5]->next = NULL;
|
||||
|
||||
chain_node *p = y[0];
|
||||
for (int i = 5; i > 0; i--) {
|
||||
if (p->val < p->next->val) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
p = p->next;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
结合链表知识，输入应为 `4 3 2 1 6 5`。
|
||||
|
||||
## 进入 Secret Phase
|
||||
唯一对 `secret_phase` 的调用位于 `phase_defused` 中。观察 `phase_defused`，在 `num_input_strings`（每次调用 `read_line` 都会使它加 1）等于 6，即完成 Phase 6 后的调用时，该函数从以地址 `0x603870` 开头的字符串中先后提取了两个整数和一个字符串，并检查提取的字符串是否与 `DrEvil` 相等，若相等，则调用 `secret_phase`。
|
||||
|
||||
`0x603870` 这个地址并没有在其他任何地方出现过，但是在 `skip` 和`read_line` 中，出现了地址 `0x603780`。对这两个函数逆向，大致如下：
|
||||
```c
|
||||
char input[MAXLEN]; // 0x603780
|
||||
int num_input_strings = 0;
|
||||
FILE *infile;
|
||||
|
||||
int skip() {
|
||||
fgets(input + 90 * num_input_strings, 90, infile);
|
||||
...
|
||||
}
|
||||
|
||||
char* read_line() {
|
||||
...
|
||||
char *start = input + 90 * num_input_strings;
|
||||
...
|
||||
num_input_strings++;
|
||||
...
|
||||
return start;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
由此可知，以地址 `0x603870` 开头的字符串就是 Phase 4 时输入的字符串，而在 Phase 4 中恰好要输入两个整数，在它们之后再输入 `MrEvil`，我们就能够进入 Secret Phase。
|
||||
|
||||
## Secret Phase
|
||||
```c
|
||||
struct tree_node {
|
||||
int val;
|
||||
struct tree_node *ls, *rs;
|
||||
long place_holder;
|
||||
} t[15] = {{0x024, &t[1], &t[2]},
|
||||
{0x008, &t[5], &t[3]},
|
||||
{0x032, &t[4], &t[6]},
|
||||
{0x016, &t[12], &t[10]},
|
||||
{0x02d, &t[7], &t[13]},
|
||||
{0x006, &t[8], &t[11]},
|
||||
{0x06b, &t[9], &t[14]},
|
||||
{0x028, NULL, NULL},
|
||||
{0x001, NULL, NULL},
|
||||
{0x063, NULL, NULL},
|
||||
{0x023, NULL, NULL},
|
||||
{0x007, NULL, NULL},
|
||||
{0x014, NULL, NULL},
|
||||
{0x02f, NULL, NULL},
|
||||
{0x3e9, NULL, NULL}};
|
||||
|
||||
int fun7(struct tree_node *x, int y) {
|
||||
if (x == NULL) {
|
||||
return -1;
|
||||
} else {
|
||||
if (x->val <= y) {
|
||||
if (x->val == y) {
|
||||
return 0;
|
||||
} else {
|
||||
return 2 * fun7(x->rs, y) + 1;
|
||||
}
|
||||
} else {
|
||||
return 2 * fun7(x->ls, y);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
void secret_phase() {
|
||||
long x = strtol(read_line(), NULL, 10);
|
||||
|
||||
if (x > 1001 || x < 1) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
|
||||
if (fun7(t, x) != 2) {
|
||||
explode_bomb();
|
||||
}
|
||||
...
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
结合二叉搜索树知识，输入应为 `22`。
|
||||
@ -1,15 +0,0 @@
|
||||
# datalab
|
||||
## `isTmax`
|
||||
$Tmax$ 的位表示为 `011...11`。注意到 `x + 1 == ~x` 当且仅当 $x=-1$ 或 $x=Tmax$。类似的，判断 `x + x + 2 == 0` 看似也可行，但实际上编译器将这条式子优化成了 `x == -1`。
|
||||
|
||||
## `allOddBits`、`logicalNeg`
|
||||
使用“折半递归法”，参见作业 2.65。
|
||||
|
||||
## `conditional`
|
||||
设计函数 `f(x) = ~!x + 1`：当 $x=0$ 时 `f(x) = 0xFFFFFFFF`，而 $x\neq 0$ 时 `f(x) = 0x00000000`。
|
||||
|
||||
## `isLessOrEqual`
|
||||
先判断 $x,y$ 是否异号；接着判断 `y - x`，即 `y + ~x + 1` 的符号位，当 $x,y$ 同号时不会溢出。
|
||||
|
||||
## `howManyBits`
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为了只考虑 $x$ 为正数的情况，令 `x ^= x >> 31`。接下来可通过“折半递归法”解决。
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