## 2.65
定义一次操作为将 $w$ 位的整数 $x$ 从中间分成两个 $\frac{w}{2}$ 位的整数 $y$ 和 $z$，接着令 `x=y^z`。进行该操作 5 次后得到答案。

我们将这样的思路称为“折半递归法”。
## 2.66
第一次操作，我们令 `x = x | (x >> 1)`，这样 $x$ 的最高位所在 `1` 连续段长度必然不小于 2。

第二次操作，令 `x = x | (x >> 2)`，依次类推。通过 5 次操作即可实现提示中的转换。
## 2.75
$x,y$ 是补码数，$x'=T2U_w(x),y'=T2U_w(y)$。

$$
\begin{aligned}
x'\cdot y'&=(x+x_{w-1}\cdot 2^w)\times(y+y_{w-1}\cdot 2^w)\\
&=x\cdot y+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}
\end{aligned}$$

进一步，令 `a = signed_high_prod(x, y), b = unsigned_high_prod(x', y')`，有 
$$b\cdot 2^w+x'*^u_w y'=a\cdot 2^w+T2U_w(x*^t_wy)+(x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)2^w+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^{2w}$$

化简得
$$b=a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x+x_{w-1}\cdot y_{w-1}\cdot 2^w$$

即
$$\begin{aligned}
b&=(a+x_{w-1}\cdot y+y_{w-1}\cdot x)\bmod 2^w\\
&=T2U_w(a)+^u_t x_{w-1}\cdot y'+^u_t y_{w-1}\cdot x'
\end{aligned}$$

## 2.80
先得到粗糙的结果 `(x >> 2) + ((x >> 2) << 1)`，再根据 `x & 3` 以及 $x$ 的符号（决定舍入方向）进行修正。

## 2.97
注意以下细节：
- 使用“折半递归法”求 $i$ 的有效位数可以避免对于所有 $2^{32}$ 个 `int` 检验花费极长的时间；
- 在某些情况下，舍入会导致有效位数增加。