初步完成第11章

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   $$
   其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。
 
-- **定义 11.2.6（逐段常值积分 2）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义 $f$ 的逐段常值积分为 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分。
+- **定义 11.2.6（逐段常值积分 2）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义 $f$ 的逐段常值积分 $\textit{p.c.}\int_If$ 为 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分。
 
-  **证明**：我们需要证明，对于 $I$ 的不同划分 $P,P'$ 满足 $f$ 关于 $P$ 和关于 $P'$ 都是逐段常值的，有 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分和 $f$ 关于 $P'$ 的逐段常值积分相同。
+  **证明**：我们需要证明，对于 $I$ 的不同划分 $P,P'$ 满足 $f$ 关于 $P$ 和关于 $P'$ 都是逐段常值的，有 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分和 $f$ 关于 $P'$ 的逐段常值积分相同。先证明 $P'$ 是 $P$ 的加细时的情况，再利用公共加细即可。
+
+  当 $P'$ 为 $P$ 的加细时，考虑由 $S(J):=\{J'\in P':J'\subseteq J\}$ 定义的函数 $S:P\to 2^{P'}$，证明好 $S$ 的性质即可。
 
 - **定理 11.2.7**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。
 
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   **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=(a,b)$ 的情况，其他情况类似。
 
-  设 $M$ 是 $f$ 的界，$\varepsilon$ 是 $(0,\frac{b-a}{2})$ 中的任意实数，那么 $a+\varepsilon<b-\varepsilon$。那么根据引理 11.5.2，$f|_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}$ 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 $\underline g$ 使得 $\underline g\leq f|_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}$ 且 $\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}f-\varepsilon\leq \int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\underline g\leq \int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}f$，同理存在 $\overline g$。
+  设 $M$ 是 $f$ 的界，$\delta$ 是 $(0,\frac{b-a}{2})$ 中的任意实数，那么 $a+\delta<b-\delta$。那么根据引理 11.5.2，$f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 $\underline g$ 使得 $\underline g\leq f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 且 $\int_{[a+\delta,b-\delta]}f-\delta\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline g\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}f$，同理存在 $\overline g$。
 
-  由 $\underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\varepsilon,b-\varepsilon]\\-M&x\not\in [a+\varepsilon,b-\varepsilon]\end{cases}$ 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 $\underline f\leq f$ 且 $\underline f$ 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：
+  由 $\underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\delta,b-\delta]\\-M&x\not\in [a+\delta,b-\delta]\end{cases}$ 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 $\underline f\leq f$ 且 $\underline f$ 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：
   $$
   \begin{aligned}
   \overline\int_If-\underline\int_If&\leq \int_I\overline f-\int_I\underline f\\
-  &=\left(\int_{(a,a+\varepsilon)}\overline f-\int_{(a,a+\varepsilon)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\overline f-\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\varepsilon,b)}\overline f-\int_{(b-\varepsilon,b)}\underline f\right)\\
+  &=\left(\int_{(a,a+\delta)}\overline f-\int_{(a,a+\delta)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\delta,b-\delta]}\overline f-\int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\delta,b)}\overline f-\int_{(b-\delta,b)}\underline f\right)\\
-  &<4M\varepsilon+2\varepsilon
+  &<4M\delta+2\delta
   \end{aligned}
   $$
   然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。
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   $$
   其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。
 
-//这章先咕。
+- **定义 11.8.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义：
+  $$
+  p.c.\int_If\text d\alpha:=p.c.\int_{[P]}f\text d\alpha
+  $$
+
+- **定理 11.8.5**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么定理 11.2.7 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。
+
+  **证明**：$\alpha$ 是单调不降的，那么对于任意有界区间 $I$ 都有 $\alpha[I]\geq 0$。
+
+- **定义 11.8.6（上黎曼-斯蒂尔杰斯积分和下黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数，定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的上黎曼-斯蒂尔杰斯积分为：
+  $$
+  \overline\int_If\text d\alpha:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig\text d\alpha:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
+  $$
+  类似地定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的的下黎曼-斯蒂尔杰斯积分 $\underline\int_If\text d\alpha$。
+
+- **引理 11.8.7**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么引理 11.3.3 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。
+
+  **证明**：为比较两逐段常值函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的大小，先通过公共加细将两者的划分统一。
+
+- **定义 11.8.8（黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数。
+
+  若 $\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$，我们就称 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，并定义 $\int_If\text d\alpha:=\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$。
+
+  否则称 $f$ 不是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的。
+
+  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I\text d\alpha$ 简记作 $\int_If\text d\alpha$。
+
+- **引理 11.8.9**：设由 $\alpha(x):=x$ 定义的函数 $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。那么 $f$ 黎曼可积当且仅当 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，且此时有 $\int_If=\int_If\text d\alpha$。
+
+由于引理 11.8.9 的缘故，我们有时将 $\int_If$ 写成 $\int_If\text dx$。
+
+- **命题 11.8.10**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么 11.4、11.5、11.6 中的除 11.5.3、11.5.5 外的所有命题关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。
+
+  **证明**：11.5.3（及其推论 11.5.5）不成立，是因为证明时将 $(a,b)$ 拆成了 $(a,a+\delta),[a+\delta,b-\delta],(b-\delta,b)$，而 $(a,a+\delta)$ 的 $\alpha$ 长度不一定是个极小值（当 $\alpha$ 在 $a$ 处间断时）。例如由 $f(x):=\sin\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 关于由 $\alpha(x):=\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}$ 定义的函数 $\alpha:[0,1]\to\mathbb R$ 不黎曼-斯蒂尔杰斯可积。
+
+  11.6.2 证明时也用了类似 11.5.3 的方法，但由于单调函数的性质，我们能将 $(a,a+\delta)$ 的极差控制在很小的范围内，完整证明如下：
+
+  设 $M=\inf\limits_{x\in (a,b)}f(x)$，$\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么 $\{x\in (a,b):f(x)<M+\varepsilon\}$ 非空，那么设 $c$ 是其上确界，那么应有 $a<c\leq b$，再取 $\delta_1=\min(c-a,\frac{b-a}{2})$，那么 $\delta_1>0$ 且对于任意 $x\in (a,a+\delta_1)$ 有 $M\leq f(x)<M+\varepsilon$（若存在 $f(x)\geq M+\varepsilon$，根据上确界的定义存在 $x<y\leq c$ 使得 $f(y)<M+\varepsilon$，违背了单调性），然后再证明就好（注意 $\alpha|_{\overleftrightarrow I}$ 是有界闭集上的单调不降函数，所以有界）。
+
+- **引理 11.8.11**：由 $\operatorname{sgn}(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义函数 $\operatorname{sgn}:\mathbb R\to\mathbb R$。设 $f:[-1,1]\to\mathbb R$ 是在 $0$ 处连续的有界函数。那么 $f$ 关于 $\operatorname{sgn}$ 是黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。
+
+  **证明**：设 $M$ 是 $f$ 的界。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $0<\delta<1$，使得对于任意 $x\in[-1,1]$ 且 $|x|<\delta$ 有 $|f(x)-f(0)|<\varepsilon$。那么考虑由 $g(x):=\begin{cases}M&x\in [-1,-\delta]\\f(0)+\varepsilon&x\in(-\delta,\delta)\\M&x\in[\delta,1]\end{cases}$ 定义的函数 $g:[-1,1]\to\mathbb R$，它是逐段常值函数且 $g\geq f$，从而：
+  $$
+  \begin{aligned}
+  \overline\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}&\leq\int_{[-1,1]}g\text{d}\operatorname{sgn}\\
+  &=M(\operatorname{sgn}(-\delta)-\operatorname{sgn}(-1))+(f(0)+\varepsilon)(\operatorname{sgn}(\delta)-\operatorname{sgn}(-\delta))+M(\operatorname{sgn}(1)-\operatorname{sgn}(\delta))\\
+  &=2f(0)+2\varepsilon
+  \end{aligned}
+  $$
+  同理可证 $\underline\int_{[-1,1]}f\text d\operatorname{sgn}\geq 2f(0)-2\varepsilon$。从而可知 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。
 
 #### 11.9 微积分基本定理
 
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 #### 11.10 基本定理的推论
 
-- **命题 11.10.1（分部积分公式）**：
+- **命题 11.10.1（分部积分公式）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$F:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $G:[a,b]\to\mathbb R$ 都是可微函数，$F',G'$ 都是黎曼可积函数。那么 $FG',F'G$ 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。
+
+  **证明**：$F$ 是闭区间上的可微函数，从而是闭区间上的连续函数，从而 $F$ 是黎曼可积的，从而 $FG'$ 也黎曼可积。根据导数算律，可知 $FG$ 也是可微的且 $(FG)'=FG'+F'G$，那么 $(FG)'$ 也是黎曼可积的，根据微积分第二基本定理可知：
+  $$
+  F(b)G(b)-F(a)G(a)=\int_{[a,b]}(FG)'=\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G
+  $$
+
+- **引理 11.10.2**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。
+
+  **证明**：$f$ 和 $\alpha'$ 都是黎曼可积的，从而 $f\alpha'$ 也是黎曼可积的。设任意 $[a,b]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，那么有 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，同时 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}c_J\alpha'=\sum_{J\in P}c_J\int_J \alpha'=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，其中最后一步用到了微积分第二基本定理。
+
+- **命题 11.10.3**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。
+
+  **证明**：由于 $\alpha$ 是单调不降的，可以证明 $\alpha'$ 是非负的。设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数，存在逐段常值函数 $g$ 使得 $g\geq f$ 且 $\int_{[a,b]}g\text d\alpha<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1$，从而 $\int_{[a,b]}g\alpha'<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1$。设 $\varepsilon_2>0$ 是任意正实数，存在逐段常值函数 $h$ 使得 $h\geq g\alpha'$ 且 $\int_{[a,b]}h<\int_{[a,b]}g\alpha'+\varepsilon_2<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1+\varepsilon_2$。而 $g\geq f$ 和 $\alpha'$ 非负说明 $h\geq g\alpha'\geq f\alpha'$，从而可证 $\overline\int_{[a,b]}f\alpha'\leq \int_{[a,b]}f\text d\alpha$，对另一侧类似证明后可以得到 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\int_{[a,b]}f\text d\alpha$。
+
+- **引理 11.10.4**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。
+
+  **证明**：设 $[\varphi(a),\varphi(b)]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 关于 $P$ 是逐段常值的。考虑 $Q=\{\{x\in [a,b]:\varphi(x)\in J\}:J\in P\}$，可以证明 $Q$ 是 $[a,b]$ 的划分，且 $f\circ\varphi$ 是关于 $Q$ 逐段常值的，且 $P,Q$ 之间根据 $\varphi$ 构成双射关系，且：
+  $$
+  \int_{[a,b]}f\circ\varphi\text d\varphi=\sum_{K\in Q}d_{K}\varphi[K]=\sum_{K\in Q}c_{\varphi(K)}|\varphi(K)|=\sum_{J\in P}c_J|J|=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f
+  $$
+
+- **命题 11.10.5**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\varphi$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。
+
+- **命题 11.10.6（变量替换公式）**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的可微函数，$\varphi'$ 是黎曼可积函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $(f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。
+
+  **证明**：联合命题 11.10.3 和命题 11.10.5 可知。
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+事实上，除命题 11.10.1 外，上述所有命题中的所有非 $\alpha,\varphi$ 这种函数，将它们的定义域由闭区间改为开区间都是成立的，但由于 $\alpha,\varphi$ 的定义域必须是闭区间，而且 $\int_{[a,b]}f=\int_{(a,b)}f$，所以也就无所谓了。