新建~10

src/~10.md

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+## ~10.1 导数的计算
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+计算的前提仍然是了解常见函数的导数。
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+- **例 ~10.1.1**：设 $a\in\mathbb R$ 是常数。在各自函数的定义域中：
+  
+  1. $a'=0$。
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+  2. $(x^{a})'=a x^{a-1}$。**证明**：$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{a}-x^{a}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}x^{a}\frac{(1+\frac h{x})^{a}-1}{h}=x^{a-1}\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+\frac h{x})^{a}-1}{\frac{h}{x}}=x^{a-1}\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+h)^{a}-1}{h}=ax^{a-1}$。
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+  3. $(a^x)'=a^x\ln a$（$a>0$）。**证明**：$\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\ln a\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h \ln a}=a^x\ln a\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=a^x\ln a$。
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+  4. $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$（$a>0\land a\neq 1$）。**证明**：$(\log_a x)'=\frac{1}{(a^y)'|_{\log_a x}}=\frac{1}{a^{\log_a x}\ln a}=\frac{1}{x\ln a}$。
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+  5. $(e^x)'=e^x,(\ln x)'=\frac{1}{x}$。
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+  6. 三角函数的导数，待补。

src/第10章 函数的微分.md

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+$\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}$
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 ## 10.1 基本定义
 
 - **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
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 拉格朗日中值定理有很明显的几何解释。
 
-- **命题 10.2.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overparen I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overparen I$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么对于任意 $x,y\in I$，有 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。
+- **命题 10.2.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overgroup I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么对于任意 $x,y\in I$，有 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。
 
   **证明**：反证，不妨假设存在 $x<y$ 且 $|f(y)-f(x)|>M(y-x)$。根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in(x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$，那么 $|f'(z)|>M$，矛盾。
 
-- **推论 10.2.6**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overparen I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overparen I$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么 $f$ 是一致连续函数。
+- **推论 10.2.6**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overgroup I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么 $f$ 是一致连续函数。
 
-- **引理 10.2.7**：设 $F:I\to\mathbb R$ 和 $G:I\to\mathbb R$ 都是实区间 $I$ 上的连续函数，它们在任意 $x\in \overparen I$ 处可微且导数相同。那么存在 $C\in\mathbb R$，使得对于任意 $x\in I$ 有 $G(x)=F(x)+C$。
+- **引理 10.2.7**：设 $F:I\to\mathbb R$ 和 $G:I\to\mathbb R$ 都是实区间 $I$ 上的连续函数，它们在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微且导数相同。那么存在 $C\in\mathbb R$，使得对于任意 $x\in I$ 有 $G(x)=F(x)+C$。
 
     **证明**：考虑函数 $H=G-F$，再结合命题 10.2.5。
 
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 我们上面介绍了很多定理，它们的条件是不同但相似的，这里介绍一下它们之间的细微差别：
 
-- 若条件是 “$f$ 在 $I$ 上定义且连续，在 $\overparen I$ 上可微”，这是最强的条件，它只要求 $f$ 在 $\overparen I$ 上可微，而且不关心 $f$ 是否在端点处有定义。
+- 若条件是 “$f$ 在 $I$ 上定义且连续，在 $\overgroup I$ 上可微”，这是最强的条件，它只要求 $f$ 在 $\overgroup I$ 上可微，而且不关心 $f$ 是否在端点处有定义。
 
 - 若条件是 “$f$ 在 $[a,b]$ 上定义且连续，在 $(a,b)$ 上可微”，这相比于上一个条件，要求 $f$ 在端点处有定义，一般是因为该定理的描述和 $f$ 在端点处的值有关。
 - 若条件是 “$f$ 在 $(a,b)$ 上定义且可微（从而连续），在 $a,b$ 两点有极限”，这里的 $a,b$ 的选取范围应该是 $\mathbb R^*$，所以它相比于上一个条件更强，因为这允许 $a,b$ 是无限的情况。
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   定义函数 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 满足 $g(x):=f(x)-kx$，那么 $g'(a)<0<g'(b)$，从而 $a,b$ 都不是 $g$ 的最小值。闭区间上的函数 $g$ 有最小值，设最小值点为 $c$，那么 $a<c<b$，从而 $g'(c)=0$ 即 $f'(c)=k$。
   
-- **推论 10.2.11**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overparen I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overparen I$ 处可微，那么 $f'$ 不存在第一类间断点。
+- **推论 10.2.11**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overgroup I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微，那么 $f'$ 不存在第一类间断点。
 
 ## 10.3 单调函数和导数
 
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     **证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根据命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
 
-- **命题 10.3.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overparen I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overparen I$ 处可微且导数恒正，则 $f$ 是严格单调增的。
+- **命题 10.3.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overgroup I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微且导数恒正，则 $f$ 是严格单调增的。
 
     **证明**：若存在 $x,y\in I$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
 
 注意命题 10.3.2 的逆命题并不成立，即函数严格增不能说明导数为正（如 $x^3$ 在 $0$ 处导数为 $0$），其本质原因是极限的非严格保序引起的（取极限的内容为正并不能说明极限为正）。
 
-- **命题 10.3.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overparen I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overparen I$ 处可微且导数恒不为 $0$，则 $f$ 是严格单调的。
+- **命题 10.3.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，$\overgroup I=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，满足 $f$ 在任意 $x\in \overgroup I$ 处可微且导数恒不为 $0$，则 $f$ 是严格单调的。
 
   **证明**：结合达布定理和命题 10.3.2 可知。
 
@@ -312,33 +314,33 @@ $(1-t)A+tB=A+(B-A)t$，于是 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 实际上是从 $A$ 匀速地
 
   若 $x_0$ 是 $X\cap(x_0,+\infty)$ 的附着点，称 $f$ 在 $x_0$ 处右侧可微且具有右导数 $L$，记作 $f'_+(x_0):=L$，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 收敛到 $L$。
 
-- **引理 10.7.6**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是（严格）下凸函数，$\overparen{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$。那么 $f$ 在 $\overparen I$ 上每点左侧可微且右侧可微，$f'_-(x_0)\leq f'_+(x_0)$ 对任意 $x_0\in \overparen I$ 成立，且 $f'_-,f'_+$ 均（严格）单调增。
+- **引理 10.7.6**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是（严格）下凸函数，$\overgroup{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$。那么 $f$ 在 $\overgroup I$ 上每点左侧可微且右侧可微，$f'_-(x_0)\leq f'_+(x_0)$ 对任意 $x_0\in \overgroup I$ 成立，且 $f'_-,f'_+$ 均（严格）单调增。
 
-  **证明**：设 $x_0\in \overparen I$，对任意 $x_1,x_2\in I\land x_1<x_2<x_0$，由引理 10.7.2 可知 $k(x_1,x_0)\leq k(x_2,x_0)$，故 $k(x,x_0)$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 左侧是单调增的。同时，在 $x_0$ 右侧任取一点 $x'$，那么对于 $x_0$ 左侧的任意 $x$ 有 $k(x,x_0)\leq k(x',x_0)$，从而 $k(x,x_0)$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 左侧有上界，那么 $f'_-(x_0)$ 存在。同理可证明 $f_+'(x_0)$ 存在，且易见 $f_-'(x_0)\leq f_+'(x_0)$，然后利用这个再类似引理 10.7.3 证明 $f_-',f_+'$ （严格）单调增即可。
+  **证明**：设 $x_0\in \overgroup I$，对任意 $x_1,x_2\in I\land x_1<x_2<x_0$，由引理 10.7.2 可知 $k(x_1,x_0)\leq k(x_2,x_0)$，故 $k(x,x_0)$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 左侧是单调增的。同时，在 $x_0$ 右侧任取一点 $x'$，那么对于 $x_0$ 左侧的任意 $x$ 有 $k(x,x_0)\leq k(x',x_0)$，从而 $k(x,x_0)$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 左侧有上界，那么 $f'_-(x_0)$ 存在。同理可证明 $f_+'(x_0)$ 存在，且易见 $f_-'(x_0)\leq f_+'(x_0)$，然后利用这个再类似引理 10.7.3 证明 $f_-',f_+'$ （严格）单调增即可。
   
-- **推论 10.7.7**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overparen{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$。那么 $f$ 在 $\overparen I$ 上连续。
+- **推论 10.7.7**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overgroup{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$。那么 $f$ 在 $\overgroup I$ 上连续。
 
-  **证明**：$f$ 在 $\overparen I$ 上每一点左侧可微且右侧可微，从而在这一点左连续且右连续，从而在这一点连续。
+  **证明**：$f$ 在 $\overgroup I$ 上每一点左侧可微且右侧可微，从而在这一点左连续且右连续，从而在这一点连续。
 
-注意上述结论只适用于 $\overparen I$ 而非 $I$ 的范围内。一个反例是定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x):=\begin{cases}\sqrt x&x>0\\-1&x=0\end{cases}$ 是上凸函数，但在 $0$ 处右侧不可微，且在 $0$ 处也不连续。
+注意上述结论只适用于 $\overgroup I$ 而非 $I$ 的范围内。一个反例是定义在 $[0,1]$ 上的函数 $f(x):=\begin{cases}\sqrt x&x>0\\-1&x=0\end{cases}$ 是上凸函数，但在 $0$ 处右侧不可微，且在 $0$ 处也不连续。
 
-- **引理 10.7.8**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overparen{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，$x_0\in \overparen I$。若 $f'_-$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
+- **引理 10.7.8**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overgroup{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，$x_0\in \overgroup I$。若 $f'_-$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
 
   **证明**：对任意 $x\in I$ 且 $x>x_0$，我们知道 $k(x_0,x)\leq f'_-(x)$，而 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f_-'(x)=f_-'(x_0)$，那么 $f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}k(x_0,x)\leq f'_-(x_0)$，于是 $f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$，$f$ 在 $x_0$ 处可微。
 
 - **推论 10.7.9**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，那么 $f$ 在至多可数个位置不可微。
 
-  **证明**：$f_-'$ 在 $\overparen I$ 上是单调函数，故 $f_-'$ 的间断点只有可数多个，从而 $f$ 在 $\overparen I$ 上只有至多可数个位置不可微，即 $f$ 在 $I$ 上也只有至多可数个位置不可微。
+  **证明**：$f_-'$ 在 $\overgroup I$ 上是单调函数，故 $f_-'$ 的间断点只有可数多个，从而 $f$ 在 $\overgroup I$ 上只有至多可数个位置不可微，即 $f$ 在 $I$ 上也只有至多可数个位置不可微。
 
 凸函数的最值可以借助其导数判断。
 
-- **引理 10.7.10**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overparen{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，$S:=\{x\in\overparen I:f'_-(x)\leq 0\}$。若 $S$ 非空且 $\sup S\neq \sup I$，那么 $S$ 有最大值且 $\max S=\max\{x\in I:x\text{ 是 }f\text{ 的最小值点}\}$。
+- **引理 10.7.10**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$\overgroup{I}=I\setminus\{\inf I,\sup I\}$，$S:=\{x\in\overgroup I:f'_-(x)\leq 0\}$。若 $S$ 非空且 $\sup S\neq \sup I$，那么 $S$ 有最大值且 $\max S=\max\{x\in I:x\text{ 是 }f\text{ 的最小值点}\}$。
 
-  **证明**：记 $x_0:=\sup S$，那么对任意 $x\in \overparen I\land x<x_0$ 有 $f'_-(x)\leq 0$。对任意 $x,y\in I\land x<y<x_0$，若 $f(x)<f(y)$，由于 $f'_-(y)\leq 0$，所以存在 $x<z<y$ 使得 $f(z)\geq f(y)$，容易发现这与凸性矛盾。所以 $f$ 在 $I\cap (-\infty,x_0)$ 上单调减。
+  **证明**：记 $x_0:=\sup S$，那么对任意 $x\in \overgroup I\land x<x_0$ 有 $f'_-(x)\leq 0$。对任意 $x,y\in I\land x<y<x_0$，若 $f(x)<f(y)$，由于 $f'_-(y)\leq 0$，所以存在 $x<z<y$ 使得 $f(z)\geq f(y)$，容易发现这与凸性矛盾。所以 $f$ 在 $I\cap (-\infty,x_0)$ 上单调减。
 
-  容易证明 $x_0\in\overparen I$，从而 $f_-'$ 在 $x_0$ 处有定义且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，又 $f$ 在 $x_0$ 左侧单调减，故 $f(x_0)=\inf\{f(x):x\in I\cap(-\infty,x_0)\}$，从而 $f'_-(x_0)\leq 0$ 那么 $x_0\in S$ 且是 $S$ 的最大值。
+  容易证明 $x_0\in\overgroup I$，从而 $f_-'$ 在 $x_0$ 处有定义且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，又 $f$ 在 $x_0$ 左侧单调减，故 $f(x_0)=\inf\{f(x):x\in I\cap(-\infty,x_0)\}$，从而 $f'_-(x_0)\leq 0$ 那么 $x_0\in S$ 且是 $S$ 的最大值。
 
-  对任意 $x\in \overparen I\land x_0<x$，$f'_+(x)\geq f'_-(x)>0$，那么可以类似地证明 $f$ 在 $I\cap (x_0,+\infty)$ 上严格单调增，从而 $x_0$ 是 $f$ 的最小值点，且 $x_0$ 右侧不再有任何 $f$ 的最小值点。
+  对任意 $x\in \overgroup I\land x_0<x$，$f'_+(x)\geq f'_-(x)>0$，那么可以类似地证明 $f$ 在 $I\cap (x_0,+\infty)$ 上严格单调增，从而 $x_0$ 是 $f$ 的最小值点，且 $x_0$ 右侧不再有任何 $f$ 的最小值点。
 
 注意到引理 10.7.10 中证明 $f$ 在 $x_0$ 左侧单调减时用到了 $f$ 的凸性，但实际上也可以把条件约束变得更强。
 
@@ -350,7 +352,7 @@ $(1-t)A+tB=A+(B-A)t$，于是 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 实际上是从 $A$ 匀速地
 
   **证明**：定义 $g:I\to\mathbb R$ 满足 $g(x):=f(x)-(f(x_0)+f'_-(x_0)(x-x_0))$。由于 $g$ 是凸函数减一次函数，求导后就是导函数再减去一个常数，从而单调性保持，那么 $g$ 仍然是凸函数。而 $g'_-(x_0)=f'_-(x_0)-f'_-(x_0)=0$，那么 $g(x_0)=0$ 是 $g$ 的最小值。
 
-在推论 10.7.7 中，我们说了 $f$ 在 $\overparen I$ 上是连续的。接下来我们说明，闭区间上的凸函数在端点处有极限，从而它几乎是连续的（只需把端点处的值修正）。
+在推论 10.7.7 中，我们说了 $f$ 在 $\overgroup I$ 上是连续的。接下来我们说明，闭区间上的凸函数在端点处有极限，从而它几乎是连续的（只需把端点处的值修正）。
 
 - **引理 10.7.12**：设 $a,b\in\mathbb R\land a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是下凸函数。那么 $f$ 在 $a$ 处有极限且其不超过 $f(a)$。