From 0d0c0afcb8fd5e5ced112d175a6ec2e47ccde1f8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: lcw Date: Sat, 4 Nov 2023 14:27:21 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=96=B0=E5=BB=BA~10?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/~10.md | 11 +++++++++++ 1 file changed, 11 insertions(+) create mode 100644 src/~10.md diff --git a/src/~10.md b/src/~10.md new file mode 100644 index 0000000..47e11d5 --- /dev/null +++ b/src/~10.md @@ -0,0 +1,11 @@ +## ~10.1 导数的计算 + +计算的前提仍然是了解常见函数的导数。 + +- **例 ~10.1.1**：设 $a\in\mathbb R$ 是常数。在各自函数的定义域中： +1. $a'=0$。 + 2. $(x^{a})'=a x^{a-1}$。**证明**：$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^{a}-x^{a}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}x^{a}\frac{(1+\frac h{x})^{a}-1}{h}=x^{a-1}\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+\frac h{x})^{a}-1}{\frac{h}{x}}=x^{a-1}\lim\limits_{h\to 0}\frac{(1+h)^{a}-1}{h}=ax^{a-1}$。 +3. $(a^x)'=a^x\ln a$（$a>0$）。**证明**：$\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim\limits_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=a^x\ln a\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{h\ln a}-1}{h \ln a}=a^x\ln a\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=a^x\ln a$。 + 4. $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$（$a>0\land a\neq 1$）。**证明**：$(\log_a x)'=\frac{1}{(a^y)'|_{\log_a x}}=\frac{1}{a^{\log_a x}\ln a}=\frac{1}{x\ln a}$。 +5. $(e^x)'=e^x,(\ln x)'=\frac{1}{x}$。 + 6. 三角函数的导数，待补。 \ No newline at end of file