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 ## 9.1  $\mathbb R$ 的子集合
 
-- **定义 9.1.1（区间）**：设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$；
+- **定义 9.1.1（区间）**：设 $I\subseteq \mathbb R$。称 $I$ 是区间，当且仅当对于任意 $x,y,z\in \mathbb R$，$x,y\in I\land x<z<y\implies z\in I$。
 
-    半开区间 $[a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x< b\},(a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a< x\leq b\}$；
+  利用上下确界可以证明，非空的区间只有可能是下面的形式之一：
 
-    开区间 $(a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a<x<b\}$。
+  1. $[a,b]:=\{x\in \mathbb R:a\leq x\leq b\}$，其中 $a,b\in\mathbb R$。
+  2. $[a,b):=\{x\in \mathbb R:a\leq x< b\}$，其中 $a\in\mathbb R$，$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$，$a<b$。
+  3. $(a,b]:=\{x\in \mathbb R:a< x\leq b\}$，其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$，$b\in\mathbb R$，$a<b$。
+  4. $(a,b):=\{x\in \mathbb R:a<x<b\}$，其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$，$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$，$a<b$。
+    
+  对于非空区间，称 $a$ 为这些区间的左端点，$b$ 为这些区间的右端点，称没有端点是无限（$+\infty$ 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
 
-    称 $a$ 为这些区间的左端点，$b$ 为这些区间的右端点。
-
-    称没有端点是无限（$+\infty$ 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。
-
-于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。
+于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$。
 
 - **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
 
@@ -23,12 +24,8 @@
     - $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
     - $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。
 
-    **证明**：略。
-
 - **引理 9.1.5（区间的闭包）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$；$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$；$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$；$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。
 
-    **证明**：略。
-
 我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。
 
 - **引理 9.1.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当，存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。
@@ -253,37 +250,39 @@ $$
 
 可以发现，$f$ 是有界的，当且仅当 $f(X)$ 是有界的。
 
-- **引理 9.6.2**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么 $f$ 是有界函数。
+- **引理 9.6.2**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么 $f(X)$ 是有界闭集。
 
-    **证明**：反证，设 $f$ 是无界的。
+    **证明**：先证 $f$ 有界。反证，设 $f$ 是无界的。
 
     根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。
 
-    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $L$。
+    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。
 
     根据连续的定义，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。
 
+    再证 $f(X)$ 是闭集。
+
+    对于任意 $f(X)$ 上的收敛序列 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，根据选择公理，存在 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)=y_n$。
+
+    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。
+
+    根据连续的定义，$(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}=(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$，而 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 本来就是收敛的，故而 $(y_{n})_{n=0}^{\infty}$ 也收敛到 $f(L)\in f(X)$。
+
+连续函数把有界闭集映为有界闭集。
+
+连续函数不一定把有界集映为有界集，例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1]\to\mathbb R$ 无上界。
+
+连续函数不一定把闭集映为闭集，例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to\mathbb R$ 的值域不是闭集。
+
 - **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$，函数 $f:X\to \mathbb R$。
 
     称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。
 
     称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。
 
-注意有界函数不一定有极值。例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 有下界 $0$，但是不存在最小值。
-
 - **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
 
-    **证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X\})$，那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。
-
-    根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
-
-    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $x_{\max}$。
-
-    又 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。
-
-    同理可证 $x_{\min}$。
-
-有界闭集上的连续函数有界且存在极值点。
+    **证明**：根据引理 9.6.2，再利用确界证明有界闭集必有极值即可。
 
 ## 9.7 介值定理
 
@@ -305,7 +304,7 @@ $$
 
 - **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
 
-连续函数把闭区间映为闭区间。
+连续函数把有界闭区间映为有界闭区间。
 
 ## 9.8 单调函数