增加章节 “4.6 有理数集是最小的序域”，在 5.6 中增加伯努利不等式的内容

src/第4章 整数和有理数.md

@@ -278,3 +278,106 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
   **证明**：首先需注意不存在有理数的平方等于 $2$。我们考虑找到自然数 $n$ 使得 $(n\varepsilon)^2<2<((n+1)\varepsilon)^2$。假设不存在，那么可以归纳证明对于任意自然数 $n$，$(n\varepsilon)^2<2$。但考虑取 $n=[\frac{2}{\varepsilon}]+1$，那么 $n>\frac{2}{\varepsilon}\implies(n\varepsilon)^2>4>2$，矛盾。
 
 我们对整数与有理数的讨论至此基本完结。基于上述理论， 我们接下来就可以（也有必要）引入实数。
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+## 4.6 有理数集是最小的序域
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+在引入实数前，我们先来抽象地描述一下有理数所含有的重要性质，并在扩充到实数的同时保留它们。
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+- **定义 4.6.1（群）**：群是一个序偶 $(G,\circ)$，其中 $G$ 是一个集合，$\circ:G\times G\to G$ 是 $G$ 上的二元运算，满足：
+  - 结合律：对于任意 $a,b,c\in G$ 有 $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。
+  - 存在 $e\in G$，被称作 $(G,\circ)$ 的单位元，满足：
+    - （左）单位元：对于任意 $g\in G$ 有 $e\circ g=g$。
+    - （左）逆元：对于任意 $a\in G$ 存在 $b\in G$ 使得 $b\circ a=e$。
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+有时，不严谨地，在 $\circ$ 的定义明显时，我们会把 $G$ 直接叫作群。
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+- **引理 4.6.2（右逆元）**：设群 $(G,\circ)$ 及其一单位元 $e$，$a,a^{-1}\in G$ 满足 $a^{-1}\circ a=e$。那么 $a\circ a^{-1}=e$。
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+  **证明**：$a\circ a^{-1}=a\circ (e\circ a^{-1})=a\circ (a^{-1}\circ a)\circ a^{-1}=(a\circ a^{-1})\circ (a\circ a^{-1})$。
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+  令 $x=a\circ a^{-1}$，那么 $x=x\circ x$，存在 $x^{-1}\in G$ 使得 $x^{-1}\circ x=e$，于是 $x^{-1}\circ x=x^{-1}\circ x\circ x\implies e=e\circ x=x$。
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+- **引理 4.6.3（右单位元）**：设群 $(G,\circ)$ 及其一单位元 $e$，那么对于任意 $g\in G$ 有 $g\circ e=g$。
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+  **证明**：$g\circ e=g\circ (g^{-1}\circ g)=(g\circ g^{-1})\circ g=e\circ g=g$。
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+- **引理 4.6.4（单位元唯一）**：设群 $(G,\circ )$ 及其任意两个单位元 $e_1,e_2$，则 $e_1=e_2$。
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+  **证明**：$e_1=e_2\circ e_1=e_2$。前一步用了 $e_2$ 作左单位元的性质，后一步用了 $e_1$ 作右单位元的性质。
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+- **引理 4.6.5（逆元唯一）**：设群 $(G,\circ)$ 及其单位元 $e$，$a,b,c\in G$ 满足 $b\circ a=c\circ a=e$，那么 $b=c$。
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+  **证明**：$b=e\circ b=(c\circ a)\circ b=c\circ (a\circ b)=c\circ e=c$。
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+由于单位元唯一，所以有时也用一个三元组 $(G,\circ,e)$ 表示一个群。
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+根据引理 4.6.5，对于群 $(G,\circ)$ 和 $G$ 中的任一元素 $g$，可以将 $g$ 的逆元记作 $g^{-1}$。
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+- **定义 4.6.6（交换群）**：设 $(G,\circ)$ 是群。称 $(G,\circ)$ 是交换群，当且仅当 $\circ$ 满足交换律，即对于任意 $a,b\in G$ 都有 $a\circ b=b\circ a$。
+- **定义 4.6.7（域）**：域是一个五元组 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$，其中 $\mathbb F$ 是一个集合，$+,\times$ 都是 $G$ 上的二元运算 $G\times G\to G$。满足：
+  - $(\mathbb F,+,0)$ 是交换群。
+  - $(\mathbb F\setminus\{0\},\times,1)$ 是交换群。注意这蕴含了 $0\neq 1$。
+  - 分配律：对于任意 $a,b,c\in\mathbb F$，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ 且 $(b+c)\times a=b\times a+c\times a$。
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+有时，不严谨地，在相关定义明显时，我们会把 $\mathbb F$ 直接叫作域。
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+- **引理 4.6.8**：设 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$ 是域，$a\in\mathbb F$，那么 $0\times a=a\times 0=0$。
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+  **证明**：$0\times a=(0+0)\times a=0\times a+0\times a$，从而类似引理 4.6.2 的证明，可知 $0\times a=0$。对于 $a\times 0$ 同理。
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+- **引理 4.6.9**：设 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$ 是域，$a,b\in\mathbb F$，那么 $a\times b=0\implies a=0\lor b=0$。
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+  **证明**：反证，若 $a,b$ 均不为 $0$，有 $a\times b\times b^{-1}=0\times b^{-1}$，得 $a=0$，矛盾。
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+- **引理 4.6.10**：设 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$ 是域，$a\in\mathbb F$，$-1,-a$ 分别是 $1,a$ 的加法逆元，那么 $-a=(-1)a$。
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+  **证明**：$(-a)=0\times a+(-a)=((-1)+1)\times a+(-a)=(-1)a+1a+(-a)=(-1)a+a+(-a)=(-1)a$。
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+- **引理 4.6.11**：设 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$ 是域，$a,b\in\mathbb F\setminus\{0\}$，那么 $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$。
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+  **证明**：$(ab)^{-1}=(aa^{-1})(bb^{-1})(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}ab(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$。
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+下面的定义中会涉及到 8.5 的一些定义。
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+- **定义 4.6.12（序域）**：序域是一个序偶 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$，其中 $(\mathbb F,+,\times,0,1)$ 是域，$\leq$ 是定义在 $\mathbb F$ 上的二元关系。满足：
+  - $(\mathbb F,\leq)$ 是全序集。
+  - 加法保序：对于任意 $a,b,c\in\mathbb F$，$a\leq b\implies a+c\leq b+c$。
+  - 乘法保序：对于任意 $a,b,c\in\mathbb F$，$a\leq b\land 0\leq c\implies ac\leq bc$。
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+有时，不严谨地，在相关定义明显时，我们会把 $\mathbb F$ 直接叫作序域。
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+- **引理 4.6.13**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$a\in\mathbb F$。若 $a>0$，则 $-a<0$；若 $a<0$，则 $-a>0$。
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+  **证明**：根据加法保序，等式两端同时加上 $-a$ 即可。
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+- **引理 4.6.14**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$a,b,c,d\in\mathbb F$，那么 $a\leq b\land c\leq d\implies a+c\leq b+d$。
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+  **证明**：$a\leq b\implies a+c\leq b+c$，$c\leq d\implies b+c\leq b+d$。
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+- **引理 4.6.15**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，则 $(-1)\times (-1)=1$。
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+  **证明**：$(-1)\times (-1)=(-1)\times (-1)+(-1)+1=((-1)+1)\times(-1)+1=1$。
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+- **引理 4.6.16**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$x\in\mathbb F$。则 $x^2\geq 0$ 且 $x^2=0\implies x=0$。
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+  **证明**：证明 $x^2\geq 0$ 分 $x$ 的正负性讨论即可。证明 $x^2=0\implies x=0$ 用引理 4.6.9。
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+- **推论 4.6.17**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，则 $0<1$。
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+显然有理数集是一个序域，现在我们来推导它们间更深入的关系。
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+- **定义 4.6.18（归纳集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，称 $A\subseteq \mathbb F$ 是 $\mathbb F$ 的归纳子集，当且仅当 $0\in A$ 且 $\forall_{a\in\mathbb F},a\in A\implies a+1\in A$。
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+- **命题 4.6.19（序域的最小归纳集是自然数集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:A\text{ 是 }\mathbb F\text{ 的归纳子集}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $(X,0,f)$ 是一个皮亚诺结构，其中 $f:X\to X$ 是由 $f(x):=x+1$ 定义的函数（根据归纳集的定义，容易证明 $X$ 作为 $f$ 的对应域是合理的）。
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+  **证明**：显然 $\mathbb F\in U$ 从而 $U$ 非空。取 $X:=\bigcap U$。容易证明 $X$ 也是一个归纳子集，从而也容易证明它就是 $U$ 的最小元，现在证明 $(X,0,f)$ 是皮亚诺结构。
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+  - $f$ 是单射：设 $x,y\in X$，$f(x)=f(y)\implies x+1=y+1\implies x+1+(-1)=y+1+(-1)\implies x=y$。
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+  - $0$ 不在 $f$ 的值域中：由于 $0\geq 0$ 且 $\forall_{a\in\mathbb F},a\geq 0\implies a+1\geq 0$，所以可以证明 $\{x\in X:x\geq 0\}$ 也是归纳集，而 $X$ 又是最小归纳集，于是对于任意 $x\in X$ 有 $x\geq 0$。若 $x\in\mathbb F$ 且 $x+1=0$，容易证明 $x=-1$，而 $-1<0$，从而 $x\not\in X$。
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+  - $\forall_{Y\subseteq X},0\in Y\land (\forall_{x\in X},x\in Y\implies f(x)\in Y)\implies Y=X$：$Y$ 一定是归纳集，又 $X$ 是最小归纳集，故 $Y=X$。
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+- **推论 4.6.20（最小的序域是有理数集）**：设 $((\mathbb F,+',\times',0',1'),\leq')$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:((A,+',\times',0',1'),\leq')\text{ 是序域}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $((X,+',\times',0',1'),\leq')$ 与 $((\mathbb Q,+,\times,0,1),\leq)$ 同构。
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+  **证明**：根据引理 4.6.19 可知自然数集在任何一个序域中，从而通过域的加法逆元和乘法逆元的定义可知有理数集也在任何一个序域中，而有理数集本身也是序域，所以有理数集就是最小的序域。（这里的 “在……中” 是指同构意义下的）

src/第5章 实数.md

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     5. 若 $x>1$，那么 $x^q<x^r\iff q<r$。若 $x<1$，那么 $x^q<x^r\iff q>r$。证明：将 $q,r$ 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 $q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}$，那么 $q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}$）。
 
 而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。
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+由于历史遗留的排版问题，在这里补充一下与引理 5.6.5 有关的内容。
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+- **引理 5.6.10（伯努利不等式）**：设实数 $h\geq -1$ 和自然数 $n$，那么 $(1+h)^n\geq 1+nh$。
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+  **证明**：对 $n$ 归纳。$(1+h)^{n+1}=(1+h)^n(1+h)\geq (1+nh)(1+h)=1+(n+1)h+nh^2\geq 1+(n+1)h$。
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+- **引理 5.6.11**：设实数 $h$ 和自然数 $n$，若 $h\leq 0$ 或 $1-n\frac{h}{1+h}>0$，则 $(1+h)^n\leq \dfrac{1}{1-n\frac{h}{1+h}}$。
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+  **证明**：$(1+h)^n=\dfrac{1}{(\frac{1}{1+h})^n}=\dfrac{1}{(1-\frac{h}{1+h})^n}\leq \dfrac{1}{1-n\frac{h}{1+h}}$，其中最后一步成立的条件是 $(1-\frac{h}{1+h})^n$ 和 $1-n\frac{h}{1+h}$ 同号。
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+根据引理 5.6.10 和引理 5.6.11，便可实现引理 5.6.5 的证明中的构造性放缩。