部分完成第11章

src/第10章 函数的微分.md

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     **证明**：设 $k:=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 和由 $g(x):=f(x)-kx$ 定义函数 $g:[a,b]\to \mathbb R$。那么 $g$ 也是连续函数，且 $g|_{(a,b)}$ 也可微，且 $g(a)=g(b)$。根据罗尔定理，存在 $x\in(a,b)$ 使得 $g'(x)=0$，那么 $f'(x)=g'(x)+k=k$。证毕。
 
-- **命题 10.2.5**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，且存在界 $M$ 使得对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $|f'(x)|\leq M$。那么对于任意 $x,y\in[a,b]$，有 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。
+- **命题 10.2.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，满足 $f$ 在任意 $x\in I\setminus\{\inf I,\sup I\}$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么对于任意 $x,y\in I$，有 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。
 
   **证明**：反证，不妨假设存在 $x<y$ 且 $|f(y)-f(x)|>M(y-x)$。根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in(x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$，那么 $|f'(z)|>M$，矛盾。
 
-- **推论 10.2.6**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，且存在界 $M$ 使得对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $|f'(x)|\leq M$。那么 $f$ 是一致连续函数。
+- **推论 10.2.6**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是实区间 $I$ 上的连续函数，满足 $f$ 在任意 $x\in I\setminus\{\inf I,\sup I\}$ 处可微且 $|f'(x)|\leq M$。那么 $f$ 是一致连续函数。
+
+- **引理 10.2.7**：设 $F:I\to\mathbb R$ 和 $G:I\to\mathbb R$ 都是实区间 $I$ 上的连续函数，它们在任意 $x\in I\setminus\{\inf I,\sup I\}$ 处可微且导数相同。那么存在 $C\in\mathbb R$，使得对于任意 $x\in I$ 有 $G(x)=F(x)+C$。
+
+    **证明**：考虑函数 $H=G-F$，再结合命题 10.2.5。
+
+注意推论 10.2.6 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sqrt x$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 是可微且一致连续的函数，但其导数无界。
 
 #### 10.3 单调函数和导数
 

src/第11章 黎曼积分.md

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+
+### 第 11 章 黎曼积分
+
+#### 11.1 划分
+
+- **定义 11.1.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 $X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。
+
+在 13.4 中将定义更一般的连通性的概念，它适用于任意度量空间。
+
+- **引理 11.1.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，那么 $X$ 是有界且连通的，当且仅当 $X$ 是有界区间。
+
+  **证明**：从上确界和下确界的角度构造。
+
+- **引理 11.1.3**：设 $I,J$ 是有界区间，那么 $I\cap J$ 也是有界区间。
+
+  **证明**：最简洁的方式是从连通的角度考虑。
+
+- **定义 11.1.4（区间的长度）**：设 $I$ 是有界区间。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=b-a$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=0$。
+
+- **定义 11.1.5（划分）**：设 $I$ 是有界区间。称一个由区间构成的有限集 $P$ 是 $I$ 的一个划分，当且仅当 $P$ 中的区间都是 $I$ 的子集，且任意 $I$ 中的元素都恰属于 $P$ 中的一个区间。
+
+- **定理 11.1.6**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的一个划分且 $\operatorname{card} P=n$。那么 $|I|=\sum_{J\in P}|J|$。
+  
+  **证明**：对 $n$ 归纳。
+  
+- **定义 11.1.7（加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。称 $P'$ 比 $P$ 更细（或称 $P'$ 是 $P$ 的加细，或称 $P$ 比 $P'$ 更粗），当且仅当对于任意 $J'\in P'$ 都存在 $J\in P$ 使得 $J'\subseteq J$。
+
+- **定义 11.1.8（公共加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。定义 $P$ 和 $P'$ 的公共加细为 $P\# P':=\{J\cap J':J\in P,J'\in P'\}$。
+
+- **引理 11.1.9**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。那么 $P\# P'$ 也是 $I$ 的划分，且同时是 $P$ 和 $P'$ 的加细。
+
+#### 11.2 逐段常值函数
+
+- **定义 11.2.1（常值函数）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
+
+  称 $f$ 是常值的，当且仅当存在 $c\in\mathbb R$ 使得对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)=c$。此时称 $c$ 是 $f$ 的常数值。
+
+  设 $E\subseteq X$，称 $f$ 在 $E$ 上是常值的，当且仅当 $f|_E$ 是常值函数。
+
+当 $X$ 非空时，$f$ 的常数值唯一。
+
+- **定义 11.2.2（逐段常值函数）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是函数。
+
+  设 $P$ 是 $I$ 的划分。称 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，当且仅当对于任意 $J\in P$，$f$ 在 $J$ 上是常值的。
+
+  称 $f$ 是逐段常值的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。
+
+- **引理 11.2.3**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$P'$ 是 $P$ 的加细，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。那么 $f$ 也是关于 $P'$ 逐段常值的。
+
+- **引理 11.2.4**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是逐段常值函数，$c\in\mathbb R$。那么 $f+g,f-g,cd,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都是逐段常值函数。且若对于任意 $x\in I$ 有 $g(x)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也是逐段常值函数。
+
+- **定义 11.2.5（逐段常值积分 1）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。定义 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分为：
+  $$
+  \textit{p.c.}\int_{[P]}f:=\sum_{J\in P}c_J|J|
+  $$
+  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。
+
+- **定义 11.2.6（逐段常值积分 2）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义 $f$ 的逐段常值积分为 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分。
+
+  **证明**：我们需要证明，对于 $I$ 的不同划分 $P,P'$ 满足 $f$ 关于 $P$ 和关于 $P'$ 都是逐段常值的，有 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分和 $f$ 关于 $P'$ 的逐段常值积分相同。
+
+- **定理 11.2.7**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。
+
+  1. $\textit{p.c.}\int_I(f+g)=\textit{p.c.}\int_If+\textit{p.c.}\int_Ig$。
+  2. $\textit{p.c.}\int_I(f-g)=\textit{p.c.}\int_If-\textit{p.c.}\int_Ig$。
+  3. 设 $c$ 是实数，则 $\textit{p.c.}\int_I(cf)=c(\textit{p.c.}\int_If)$。
+  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq 0$。
+  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq \textit{p.c.}\int_Ig$。
+  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。
+  7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。
+
+#### 11.3 上黎曼积分和下黎曼积分
+
+- **定义 11.3.1**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f:X\to R$ 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\geq f(x)$。
+
+- **定义 11.3.2（上黎曼积分和下黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，定义 $f$ 的上黎曼积分为：
+  $$
+  \overline\int_If:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
+  $$
+  类似地定义 $f$ 的下黎曼积分 $\underline\int_If$。
+
+- **引理 11.3.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$M$ 是它的界，那么：
+  $$
+  -M|I|\leq \underline\int_If\leq \overline\int_If\leq M|I|
+  $$
+  **证明**：为证 $\overline\int_If\leq M|I|$，构造由 $g(x):=M$ 定义的函数 $g:I\to\mathbb R$，显然它是关于 $\{I\}$ 逐段常值的且 $\textit{p.c.}\int_Ig=M|I|$，而 $g\geq f$。
+
+  为证 $\underline\int_If\leq \overline\int_If$，即 $\sup A\leq \inf B$ 的形式，证明任意 $A$ 中元素小于等于任意 $B$ 中元素即可。
+
+- **定义 11.3.4（黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。
+
+  若 $\underline\int_If=\overline\int_If$，我们就称 $f$ 黎曼可积，并定义 $\int_If:=\underline\int_If=\overline\int_If$。
+
+  否则称 $f$ 不是黎曼可积的。
+
+  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I$ 简记作 $\int_If$。
+
+- **引理 11.3.5（逐段常值积分相容于黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的逐段常值函数，那么 $f$ 有黎曼可积的，且 $\int_If=\textit{p.c.}\int_If$。
+
+- **定义 11.3.6（黎曼和）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$P$ 是 $I$ 的划分。定义上黎曼和：
+  $$
+  U(f,P):=\sum_{J\in P:J\neq \varnothing}\left(\sup_{x\in J}f(x)\right)|J|
+  $$
+  类似地定义下黎曼和 $L(f,P)$。
+
+- **引理 11.3.7**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$g:I\to\mathbb R$ 是关于某划分 $P$ 逐段常值的函数且满足 $g\geq f$，那么：
+  $$
+  \textit{p.c.}\int_Ig\geq U(f,P)
+  $$
+  关于下黎曼和也有类似的结论。
+
+- **命题 11.3.8**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，那么：
+  $$
+  \overline\int_If=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}
+  $$
+  对于下黎曼积分也有类似地结论。
+
+  **证明**：设 $A=\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}$，$B=\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 $b\in B$ 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 $a\in A$ 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。
+
+#### 11.4 黎曼积分的基本性质
+
+- **定理 11.4.1（黎曼积分算律）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。
+  
+  1. 函数 $f+g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f+g)=\int_If+\int_Ig$。
+  2. 函数 $f-g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f-g)=\int_If-\int_Ig$。
+  3. 设 $c$ 是实数，那么函数 $cf$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(cf)=c(\int_If)$。
+  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，那么 $\int_If\geq 0$。
+  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，那么 $\int_If\geq \int_Ig$。
+  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是黎曼可积的，且 $\int_JF=\int_If$。
+    7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是黎曼可积的，且 $\int_If=\int_Jf+\int_Kf$。
+  
+  **证明**：证明都是类似的，这里只证 1。
+  
+  设 $A:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f+g\right\}$，$B:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f\right\}$，$C:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq g\right\}$。根据定理 11.2.7 可知，对于任意 $b\in B$ 和 $c\in C$，$b+c\in A$，那么可知 $\inf A\leq \inf B+\inf C$，即 $\overline\int_I(f+g)\leq \overline\int_If+\overline\int_Ig=\int_If+\int_Ig$。同理可得 $\underline\int_I(f+g)\geq \int_If+\int_Ig$。再结合 $\underline\int_I(f+g)\leq \overline\int_I(f+g)$ 即证。
+  
+- **定理 11.4.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $\max(f,g)$ 和 $\min(f,g)$ 都是黎曼可积的。
+
+  **证明**：只证 $\max(f,g)$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $\underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$，同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。我们知道 $\max(\underline f,\underline g)$ 仍是逐段常值函数且 $\max(\underline f,\underline g)\leq \max(f,g)$，从而 $\int_I\max(\underline f,\underline g)\leq \underline\int_I\max(f,g)$，对于 $\max(\overline f,\overline g)$ 同理。那么：
+  $$
+  \begin{aligned}
+  \overline\int_I\max(f,g)-\underline\int_I\max(f,g)&\leq \int_I\max(\overline f,\overline g)-\int_I\max(\underline f,\underline g)\\
+  &=\int_I\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\\
+  &\leq \int_I(\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)\\
+  &=\int_I\overline f-\int_I\underline f+\int_I\overline g-\int_I\underline g\\
+  &\leq 4\varepsilon
+  \end{aligned}
+  $$
+  然后易证 $\underline\int_I \max(f,g)=\overline\int_I\max(f,g)$。
+
+- **推论 11.4.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，那么正部 $f_+:=\max(f,0)$ 和负部 $f_-:=\min(f,0)$ 是黎曼可积的，绝对值 $|f|:=f_+-f_-$ 也是黎曼可积的。
+
+- **定理 11.4.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $fg$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：先考虑 $f,g\geq 0$ 的情况。由于 $f,g$ 黎曼可积，那么 $f,g$ 有界，不妨设界为 $M$。
+
+  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $0\leq \underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$（先在无 $0\leq \underline f'$ 要求的情况下取出 $\underline f'$，再取 $\underline f:=\max(0,\underline f')$），同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。那么 $\underline f\underline g$ 仍是逐段常值函数且 $\underline f\underline g\leq fg$，从而 $\int_I\underline f\underline g\leq \underline\int_I fg$，对于 $\overline f\overline g$ 同理。那么：
+  $$
+  \begin{aligned}
+  \overline\int_Ifg-\underline\int_Ifg&\leq \int_I\overline f\overline g-\int_I\underline f\underline g\\
+  &=\int_I\overline f(\overline g-\underline g)+\int_I\underline g(\overline f-\underline f)\\
+  &\leq \int_IM(\overline g-\underline g)+\int_IM(\overline f-\underline f)\\
+  &=M\int_I(\overline g-\underline g)+M\int_I(\overline f-\underline f)\\
+  &\leq 4M\varepsilon
+  \end{aligned}
+  $$
+  然后易证 $\underline\int_Ifg=\overline\int_I fg$。
+
+  对于更一般的情况，将 $fg$ 拆成 $(f_+-f_-)(g_+-g_-)=f_+g_+-f_-g_+-f_+g_-+f_-g_-$，根据推论 11.4.3 可知 $f_+,f_-,g_+,g_-$ 都是黎曼可积的，然后就是 $f,g\geq0$ 的情况了。
+
+- **引理 11.4.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，$P$ 是 $I$ 的分法，那么 $\int_If=\sum_{J\in P}\int_J f$。
+
+  **证明**：结合定理 11.4.1.7，对 $\operatorname{card}P$ 归纳。
+
+#### 11.5 连续函数的黎曼可积性
+
+- **定理 11.5.1**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的一致连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=[a,b)$ 的情况，其他情况类似。
+
+  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in [a,b)$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
+
+  存在正整数 $N>0$，使得 $N\geq \frac{b-a}{\delta}$，那么容易得到 $[a,b)$ 的一个大小为 $N$ 的划分 $P$，其中每个区间的长度都等于 $\frac{b-a}{N}\leq \delta$。那么：
+  $$
+  \begin{aligned}
+  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq U(f,P)-L(f,P)\\
+  &=\sum_{J\in P}\left(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)\right)\frac{b-a}{N}\\
+  &\leq \sum_{J\in P}\varepsilon \frac{b-a}{N}\\
+  &=\varepsilon(b-a)
+  \end{aligned}
+  $$
+  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。
+
+- **引理 11.5.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $I$ 上的连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：结合定理 9.9.6 和定理 11.5.1 可得。
+
+- **命题 11.5.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=(a,b)$ 的情况，其他情况类似。
+
+  设 $M$ 是 $f$ 的界，$\varepsilon$ 是 $(0,\frac{b-a}{2})$ 中的任意实数，那么 $a+\varepsilon<b-\varepsilon$。那么根据引理 11.5.2，$f|_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}$ 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 $\underline g$ 使得 $\underline g\leq f|_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}$ 且 $\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}f-\varepsilon\leq \int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\underline g\leq \int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}f$，同理存在 $\overline g$。
+
+  由 $\underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\varepsilon,b-\varepsilon]\\-M&x\not\in [a+\varepsilon,b-\varepsilon]\end{cases}$ 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 $\underline f\leq f$ 且 $\underline f$ 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：
+  $$
+  \begin{aligned}
+  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq \int_I\overline f-\int_I\underline f\\
+  &=\left(\int_{(a,a+\varepsilon)}\overline f-\int_{(a,a+\varepsilon)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\overline f-\int_{[a+\varepsilon,b-\varepsilon]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\varepsilon,b)}\overline f-\int_{(b-\varepsilon,b)}\underline f\right)\\
+  &<4M\varepsilon+2\varepsilon
+  \end{aligned}
+  $$
+  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。
+
+- **定义 11.5.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的函数。称 $f$ 是逐段连续的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$，使得对于任意 $J\in P$ 有 $f|_J$ 是连续的。
+
+- **命题 11.5.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界逐段连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+#### 11.6 单调函数的黎曼可积性
+
+- **命题 11.6.1**：设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的单调函数。那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：不妨设 $f$ 是单调不降的。设 $\varepsilon'>0$ 是任意正实数，那么存在正整数 $N>0$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{\varepsilon'}<N$，设 $\varepsilon=\frac{f(b)-f(a)}{N}$，从而 $0\leq \varepsilon <\varepsilon '$。
+
+  根据 $x_i:=\sup\{x\in [a,b]:f(x)\leq f(a)+\varepsilon i\}$ 定义 $x:\mathbb N_{1..N-1}\to\mathbb R$，那么有 $a\leq x_1\leq\cdots\leq x_{N-1}\leq b$。那么可以得到 $[a,b]$ 的划分 $P=\{[a,x_1),[x_1,x_2),\cdots,[x_{N-1},b]\}$ 且对于任意 $J\in P$ 和 $x,y\in J$ 有 $f(x)-f(y)\leq \varepsilon$。然后易证。
+
+- **命题 11.6.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的单调有界函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
+
+  **证明**：类似命题 11.5.3 的证明。
+
+- **命题 11.6.3**：设 $f:[m,+\infty)\to\mathbb R$ 是单调不升的非负函数。那么 $\sum_{n=m}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq m}\int_{[m,N]}f$ 是有限的。
+
+  **证明**：不妨设 $m=0$。由于 $f$ 是非负函数，所以 $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq 0}\sum\limits_{n=0}^N f(n)$ 有限。记 $A=\left\{\sum\limits_{n=0}^N f(n):N\geq 0\right\}$，$B:=\left\{\int_{[0,N]}f:N\geq 0\right\}$。
+
+  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lfloor x\rfloor)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值函数且 $g\geq f$，那么 $\int_{[0,N]}f\leq \int_{[0,N]}g=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)$。从而对于任意 $b\in B$，存在 $a\in A$ 使得 $b\leq a$，那么 $\sup b\leq \sup a$。
+
+  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lceil x\rceil)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值的且 $g\leq f$，那么 $\sum_{n=0}^{N}f(n)=f(0)+\int_{[0,N]}g\leq f(0)+\int_{[0,N]}f$。从而对于任意 $a\in A$，存在 $b\in B$ 使得 $a\leq f(0)+b$，那么 $\sup a\leq f(0)+\sup b$。
+
+- **推论 11.6.5**：设 $p$ 是实数，那么 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时绝对收敛，当 $p\leq 1$ 时发散。
+
+  **证明**：不太懂，感觉需要用积分和导数的关系。
+
+#### 11.7 一个非黎曼可积的函数
+
+- **命题 11.7.1**：由 $f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 $f$ 有界但不黎曼可积。
+
+  **证明**：设 $P$ 是 $[0,1]$ 的划分，那么对于任意 $J\in P$ 且 $J\neq \varnothing$ 有 $\sup\limits_{x\in J}f(x)=1$，从而 $U(f,P)=1$，那么$\overline\int_{[0,1]}f=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}=1$。同理 $\underline\int_{[0,1]}f=0$，从而 $f$ 不是黎曼可积的。
+
+//无法用逐段常值函数拟合，从而不能用黎曼积分算积分（面积）
+
+#### 11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分
+
+- **定义 11.8.1（$\alpha$ 长度）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=0$。
+
+- **引理 11.8.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分。那么 $\alpha[I]=\sum_{J\in P}\alpha[J]$。
+
+- **定义 11.8.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 逐段常值的函数。定义：
+  $$
+  p.c.\int_{[P]}f\text{d}\alpha:=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]
+  $$
+  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。
+
+//这章先咕。
+
+#### 11.9 微积分基本定理
+
+- **定理 11.9.1（微积分第一基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。
+
+  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $F$ 是一致连续的。
+
+  若 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续，那么 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=f(x_0)$。
+
+  **证明**：根据定义 11.3.4，$f$ 是有界函数，设界为 $M$。
+
+  设 $\delta>0$ 是任意正实数，$x,y\in [a,b]$ 且 $0\leq y-x<\delta$，那么 $\left|\int_{[a,y]}f-\int_{[a,x]}f\right|=\left|\int_{(x,y]}f\right|<M\delta$，然后易证 $F$ 一致连续。
+
+  设 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in [a,b]$ 且 $0<x_0-x<\delta$ 有 $|f(x_0)-f(x)|<\varepsilon$，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|<\varepsilon$，然后易证 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=f(x_0)$。
+
+- **定义 11.9.2（原函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$。称函数 $F:X\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，当且仅当 $F$ 是可微函数且对于任意 $x\in X$ 有 $F'(x)=f(x)$。
+
+- **定理 11.9.3（微积分第二基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。若 $F:[a,b]\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，那么 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。
+
+  **证明**：考虑任意 $c,d\in [a,b]$ 且 $c<d$，根据命题 10.2.5，有 $F(d)-F(c)\leq \left(\sup\limits_{x\in[c,d]}F'(x)\right)(d-c)$，那么可得 $F(b)-F(a)\leq \overline\int_{[a,b]}f$，同理可得 $\underline\int_{[a,b]}f\leq F(b)-F(a)$，而 $f$ 又是黎曼可积函数，所以 $\int_{[a,b]}=F(b)-F(a)$。
+  
+
+需要说明的是，微积分的两个基本定理对于定义域为任意有界区间都是成立的。
+
+注意闭区间上的可微函数的导数是有可能发散的，从而有原函数的有界区间上的函数不一定黎曼可积。例如由 $F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^3}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $F:[-1,1]\to\mathbb R$ 是可微函数，但是其导数发散。
+
+微积分第二基本定理声称，只要找到黎曼可积函数 $f$ 的一个原函数，就可以相对容易地计算 $f$ 的积分。而微积分第一基本定理保证连续的黎曼可积函数一定存在原函数。
+
+- **引理 11.9.4**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调的黎曼可积函数。
+
+  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续，当且仅当 $F$ 在 $x_0$ 处可微。
+
+  **证明**：不妨设 $f$ 单调不降。设 $F$ 在 $x_0$ 处可微，而 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处不连续。那么存在 $\varepsilon>0$ 使得对于任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 $f$ 是单调不降的，那么对于任意 $x\in (x_0,b]$ 都有 $f(x)>f(x_0)+\varepsilon$ 或对于任意 $x\in [a,x_0)$ 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。不妨设前者成立，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|>\varepsilon$。从而 $F$ 在 $x_0$ 处不可微，矛盾。
+
+#### 11.10 基本定理的推论
+
+- **命题 11.10.1（分部积分公式）**：

src/第9章 R上的连续函数.md

@@ -275,11 +275,11 @@
 
 - **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
 
-  称 $f$ 是单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\leq f(y)$。
+  称 $f$ 是单调增（单调不降）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\leq f(y)$。
 
   称 $f$ 是严格单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)<f(y)$。
 
-  称 $f$ 是单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\geq f(y)$。
+  称 $f$ 是单调减（单调不升）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\geq f(y)$。
 
   称 $f$ 是严格单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)>f(y)$。
 
@@ -309,7 +309,7 @@
 
 作为对比，该命题并不成立：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:(a,b)\to Y$ 是双射。设 $x_0\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可。
 
-我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的函数的例子。
+我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的单调函数的例子。
 
 首先，观察由 $f(x):=\lfloor x\rfloor$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，该函数在每个整数处间断，而在每个非整数处连续。
 
@@ -355,13 +355,15 @@ $$
 
 - **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。
 
-  **证明**：由定义可知。
+  **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in X$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在 $N\geq 0$ 使得对于任意 $n,m\geq N$ 都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。
 
 - **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$。
 
   **证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。
 
-- **命题 9.9.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $X$ 有界，则 $f(X)$ 也有界。
+注意 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=x^2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 并不一致连续。
+
+- **命题 9.9.5**：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f(X)$ 有界。
 
   **证明**：反证。设 $f(X)$ 是无界的。
 
@@ -369,6 +371,8 @@ $$
 
   根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 也是收敛序列，但根据定义 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是发散的。矛盾。
 
+注意 9.9.5 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sin\frac 1x$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 是有界集上的值域有界的连续函数，但它并不一致连续。
+
 - **定理 9.9.6**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$。那么 $f$ 是一致连续函数。
 
   **证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
@@ -381,6 +385,14 @@ $$
 
     **证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。
 
+我们之前说了 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数该命题是成立的。
+
+- **引理 9.9.8**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当 $f$ 在 $X$ 的任意附着点 $x_0$ 处存在极限。
+
+  **证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。
+
+  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。
+
 #### 9.10 在无限处的极限
 
 - **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。