From 376669e3870074bc7ecbe12a0b2a9170343397bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Mon, 5 Sep 2022 16:14:56 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=95=B4=E5=90=88=E7=AC=AC=E5=85=AD=E7=AB=A0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/第6章 序列的极限.md | 256 ++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 116 insertions(+), 140 deletions(-) diff --git a/src/第6章 序列的极限.md b/src/第6章 序列的极限.md index 6d6fe1a..3e19e43 100644 --- a/src/第6章 序列的极限.md +++ b/src/第6章 序列的极限.md @@ -1,85 +1,69 @@ -### 第 6 章 序列的极限 +现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。 -#### 6.1 收敛及极限的算律 +## 6.1 收敛及极限的算律 -现在我们来用真正的极限来代替形式极限。 - -我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对比例数定义转为对实数定义。 +我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。 - **定义 6.1.1（距离）**：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 $d(x,y)$。 -- **定义 6.1.2（$\varepsilon\overline\ $ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为实数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x,y)\leq \varepsilon$。 +- **定义 6.1.2（$\varepsilon$ 接近性）** ：设 $x,y,\varepsilon$ 为实数且 $\varepsilon>0$，我们称，$y$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $x$ 的，当且仅当 $d(x,y)\leqslant \varepsilon$。 -容易发现，上述定义和之前比例数的定义是相容的。 +容易发现，上述定义和之前有理数的定义是相容的。 -注意，$x$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $y$ 的，当且仅当 $|x-y|\leq \varepsilon$，而非是它们所对应的比例数柯西序列是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的，也非它们所对应的比例数柯西序列是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。 +注意，$x$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $y$ 的，当且仅当 $|x-y|\leqslant \varepsilon$，而非是它们所对应的有理数柯西序列是 $\varepsilon$ 接近的，也非它们所对应的有理数柯西序列是终极 $\varepsilon$ 接近的。 -上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “比例数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。 +上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “有理数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。 -- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。 +- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geq N$，$d(a_j,a_k)\leq \varepsilon$。 + 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant \varepsilon$。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。 +- **定义 6.1.4（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline\ $ 稳定的。 + 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。 - 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $j,k\geq N$ 有 $|a_j-a_k|\leq \varepsilon$。 - -- **定义 6.1.4（等价的序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。 - - 称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq m$，$d(a_n,b_n)\leq\varepsilon$。 - - 称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$（记 $m=\max(m_a,m_b)$），使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。 - - 称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近的。 - - 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $d(a_n,b_n)\leq \varepsilon$。 - -看上去实数版的等价序列和柯西序列会较比例数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，比例数的柯西序列是相容于这个定义的。 +看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。 接下来我们将正式定义收敛和极限。 -- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。 +- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geq N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon\overline\ $ 接近于 $L$ 的。 + 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geq m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的。 + 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。 - 称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon\overline{\ }$ 接近于 $L$ 的。 - - 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-L|\leq \varepsilon$。 + 更直接的，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L$，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$。 - **命题 6.1.6（极限的唯一性）**：设 $L$ 和 $L'$ 都为实数且 $L\neq L'$，那么一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 不可能同时收敛到 $L$ 和 $L'$。 - **证明**：反证法。不妨设 $L0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-L|\leq\frac{\varepsilon}{2}$，那么对于任意 $i,j\geq N$ 也有 $|a_i-a_j|\leq\varepsilon$，证毕。 + **证明**：不妨设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-L|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$，那么对于任意 $i,j\geqslant N$ 也有 $|a_i-a_j|\leqslant\varepsilon$，证毕。 -- **命题 6.1.10（形式极限相容于极限/比例数的柯西序列是收敛的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是比例数的柯西序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，即 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 +- **命题 6.1.10（形式极限相容于极限/有理数的柯西序列是收敛的）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数的柯西序列，那么 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$，即 $\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 - **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，欲证存在 $N\geq m$，使得对于任意 $n\geq N$，$|a_n-\operatorname{LIM}_{k\to \infty}a_k|\leq \varepsilon$，即 $\operatorname{LIM}_{k\to \infty}|a_k-a_n|\leq \varepsilon$。根据定义，存在 $N'\geq m$，使得对于任意 $i,j\geq N'$，$|a_i-a_j|\leq \varepsilon$。取 $N=N'$ 后容易验证成立。 + **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数，欲证存在 $N\geqslant m$，使得对于任意 $n\geqslant N$，$|a_n-\operatorname{LIM}_{k\to \infty}a_k|\leqslant \varepsilon$，即 $\operatorname{LIM}_{k\to \infty}|a_k-a_n|\leqslant \varepsilon$。根据定义，存在 $N'\geqslant m$，使得对于任意 $i,j\geqslant N'$，$|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon$。取 $N=N'$ 后容易验证成立。 实际上，柯西序列和收敛序列是等价的。不过我们将在后面再证明此事。 -根据命题 6.1.10，我们已经将之前所定义的比例数的柯西序列和比例数柯西序列的形式极限，相容于实数的柯西序列和实数收敛序列的极限了。 +根据命题 6.1.10，我们已经将之前所定义的有理数的柯西序列和有理数柯西序列的形式极限，相容于实数的柯西序列和实数收敛序列的极限了。 我们同样重新再定义真正的有界序列： -- **定义 6.1.11（有界序列）**：设实数 $M\geq 0$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geq m$ 有 $|a_n|\leq M$。称一个序列是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。 +- **定义 6.1.11（有界序列）**：设实数 $M\geqslant 0$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是以 $M$ 为界的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$ 有 $|a_n|\leqslant M$。称一个序列是有界的，当且仅当存在实数 $M\geqslant 0$ 使得该序列是以 $M$ 为界的。 -同样利用命题 5.4.12，可以证明该定义和比例数版的定义是等价的。类似地，我们仍然可以证明柯西序列是有界的， 这蕴含了收敛序列是有界的。 +同样利用命题 5.4.12，可以证明该定义和有理数版的定义是等价的。类似地，我们仍然可以证明柯西序列是有界的， 这蕴含了收敛序列是有界的。 本节最后，我们来完善极限的基本运算法则。 @@ -89,16 +73,16 @@ 2. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_nb_n)=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。 3. 设 $c$ 为任意实数，$\lim\limits_{n\to\infty}(ca_n)=c\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。 4. $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n-\lim\limits_{n\to\infty}b_n$。 - 5. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}=(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)^{-1}$。 - 6. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geq m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$。 + 5. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}=(\lim\limits_{n\to\infty}b_n)^{-1}$。 + 6. 若 $y\neq 0$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $b_n\neq 0$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}$。 7. $\lim\limits_{n\to\infty}\max(a_n,b_n)=\max(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。 8. $\lim\limits_{n\to\infty}\min(a_n,b_n)=\min(\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\lim\limits_{n\to\infty}b_n)$。 **证明**：1~6之前都有过类似的证明方法，此处略去。这里证一下7： - 不妨设 $x\geq y$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_1\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N_1$ 有 $|a_n-x|\leq \varepsilon$，存在 $N_2\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N_2$ 有 $|b_n-y|\leq \varepsilon$。考虑对于任意 $n\geq \max(N_1,N_2)$，若 $a_n\geq b_n$，则 $|\max(a_n,b_n)-x|=|a_n-x|\leq\varepsilon$；若 $b_n>a_n$，那么 $b_n>a_n\geq x-\varepsilon$，且 $b_n\leq y+\varepsilon\leq x+\varepsilon$，故同样有 $|b_n-x|\leq\varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。证毕。 + 不妨设 $x\geqslant y$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_1\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_1$ 有 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_2\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N_2$ 有 $|b_n-y|\leqslant \varepsilon$。考虑对于任意 $n\geqslant \max(N_1,N_2)$，若 $a_n\geqslant b_n$，则 $|\max(a_n,b_n)-x|=|a_n-x|\leqslant\varepsilon$；若 $b_n>a_n$，那么 $b_n>a_n\geqslant x-\varepsilon$，且 $b_n\leqslant y+\varepsilon\leqslant x+\varepsilon$，故同样有 $|b_n-x|\leqslant\varepsilon$。取 $N=\max(N_1,N_2)$ 即可。证毕。 -#### 6.2 广义实数系 +## 6.2 广义实数系 之前我们已经使用过记号 $-\infty$ 和 $+\infty$。现在我们正式定义它们，并扩充实数集至广义实数集。 @@ -110,16 +94,16 @@ 容易验证，该定义仍然满足 $-(-x)=x$。 -- **定义 6.2.3（广义实数的序）**：设 $x,y$ 是广义实数。若 $x,y$ 都是实数，那么 $x\leq y$ 已经有了定义；否则，$x\leq y$（$y\geq x$）当且仅当 $x=-\infty$ 或 $y=+\infty$。 +- **定义 6.2.3（广义实数的序）**：设 $x,y$ 是广义实数。若 $x,y$ 都是实数，那么 $x\leqslant y$ 已经有了定义；否则，$x\leqslant y$（$y\geqslant x$）当且仅当 $x=-\infty$ 或 $y=+\infty$。 - 同样称 $xx$）当且仅当 $x\leq y$ 且 $x\neq y$。 + 同样称 $xy$ 中恰好一个成立。 - - **传递性**：$x\leq y\land y\leq z\implies x\leq z$。 - - **负运算反序**：$x\leq y\implies -x\geq -y$。 + - **传递性**：$x\leqslant y\land y\leqslant z\implies x\leqslant z$。 + - **负运算反序**：$x\leqslant y\implies -x\geqslant -y$。 **证明**：分类讨论。 @@ -137,48 +121,43 @@ - **定理 6.2.6**：设 $E\in \mathbb R^*$。 - - 对于任意 $x\in E$，$x\leq \sup(E)$。 - - 设 $M$ 是 $E$ 的上界（即，对于任意 $x\in E$，$x\leq M$），那么 $\sup(E)\leq M$。 + - 对于任意 $x\in E$，$x\leqslant \sup(E)$。 + - 设 $M$ 是 $E$ 的上界（即，对于任意 $x\in E$，$x\leqslant M$），那么 $\sup(E)\leqslant M$。 **证明**：分类讨论。 -对于 $\mathbb R^*$ 的任何子集都存在上确界的一个合理的解释是：$\mathbb R^*$ 本身就是有界集（对于任意 $x\in \mathbb R^*$，$x\leq +\infty$）。 +对于 $\mathbb R^*$ 的任何子集都存在上确界的一个合理的解释是：$\mathbb R^*$ 本身就是有界集（对于任意 $x\in \mathbb R^*$，$x\leqslant +\infty$）。 -#### 6.3 序列的上确界和下确界 +## 6.3 序列的上确界和下确界 -- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\geq m\})$，其中 $\{a_n:n\geq m\}$ 是 $\{a_n:n\in \mathbb Z_m^{\infty}\}$ 的简写。 +- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\geqslant m\})$，其中 $\{a_n:n\geqslant m\}$ 是 $\{a_n:n\in \{i\in\mathbb Z:i\geqslant m\}\}$ 的简写。 容易发现，一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的当且仅当该序列的 $\sup$ 和 $\inf$ 都是实数。 -我们将 $\sup$ 在集合上的性质翻译到序列上来： - - **命题 6.3.2（最小上界性质）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和广义实数 $x:=\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。那么 - - 对于任意 $n\geq m$，$a_n\leq x$。 - - 若 $M$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的一个上界（即对于任意 $n\geq m$，$a_n\leq M$），那么 $x\leq M$。 - - 若广义实数 $y0$ 是任意正实数，根据定义，存在 $N\geq m$ 使得 $x-\varepsilon< a_N$，那么对于任意 $n\geq N$，可以归纳得到 $x-\varepsilon0$ 是任意正实数，根据定义，存在 $N\geqslant m$ 使得 $x-\varepsilon< a_N$，那么对于任意 $n\geqslant N$，可以归纳得到 $x-\varepsilon0$。 +- **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geqslant m$ 使得 $d(a_n,x)\leqslant\varepsilon$。 + + 称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geqslant m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。 - 称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geq m$ 使得 $d(a_n,x)\leq\varepsilon$。 - - 称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geq m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。 - 称 $x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon >0$，$x$ 都是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的。 - - 更直接地，$x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geq m$，都存在 $n\geq N$ 使得 $|a_n-x|\leq \varepsilon$。 + + 更直接地，$x$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点或附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geqslant m$，都存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-x|\leqslant \varepsilon$。 极限点可以理解为：当序列 “趋于稳定” 之后，该序列在二维平面上所形成的点近似地形成了若干条横线，这些横线对应的纵坐标就是极限点。 @@ -186,15 +165,13 @@ - **命题 6.4.2（极限是极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $c$。那么 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 唯一的极限点。 - **证明**：存在性易证。唯一性反证。 + **证明**：略。 现在我们来考察一种特殊的极限点。 - **定义 6.4.3（上极限）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列。我们定义一个新序列 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，其中 $a_N^+:=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。然后我们定义序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的上极限为 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n:=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$。 - 类似地也有关于下极限的记号 $a_N^-$ 和 $\liminf$。 - -注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geq m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leq x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。 +注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geqslant m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leqslant x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。 为什么说上极限是一种特殊的极限点？若上极限有限，它一定是极限点中最大的那个：因为后缀最大值最终会不断趋近于上极限，那么考虑取到最大值的那些位置，这些位置就会不断趋近于上极限，所以上极限是极限点。而且上极限一定会大于等于最大的那个极限点，于是上极限就是最大的那个极限点。 @@ -202,59 +179,57 @@ - **命题 6.4.4**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，设 $L^+$ 是此序列的上极限，$L^-$ 是此序列的下极限。 - 1. 对于任意 $x>L^+$，存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $a_nL^+$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $a_na_N^+\geq L^+$，那么对于任意 $n\geq N$，$a_n\leq a_N^+a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_N^+x$。 + 2. 对于任意 $xx$。 - 证明：$xL^+$，任取广义实数 $z$ 使得 $L^->z>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N^+\geq m$ 使得 $z>a_{N^+}^+\geq L^+$，存在 $N^-\geq m$ 使得 $L^-\geq a_{N^-}^->z$，那么 $a_{N^-}^->a_{N^+}^+$，矛盾。 + 反证。若 $L^->L^+$，任取广义实数 $z$ 使得 $L^->z>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $z>a_{N^+}^+\geqslant L^+$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $L^-\geqslant a_{N^-}^->z$，那么 $a_{N^-}^->a_{N^+}^+$，矛盾。 - 4. $L^+\leq \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。特别地，若序列有界，那么 $L^-$ 和 $L^+$ 都有限。 + 4. $L^+\leqslant \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}$。特别地，若序列有界，那么 $L^-$ 和 $L^+$ 都有限。 证明：根据定义可知。 - 5. 若 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，那么 $c\leq L^+$。综合地，$L^-\leq c\leq L^+$。 + 5. 若 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，那么 $c\leqslant L^+$。综合地，$L^-\leqslant c\leqslant L^+$。 - 证明：反证。若 $c>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N\geq m$ 使得 $c>a_N^+\geq L^+$，那么对于任意 $n\geq N$，$a_n\leq a_{N}^+$。又根据极限点的定义，应存在 $n\geq N$ 使得 $|a_n-c|a_N^+$，矛盾。 + 证明：反证。若 $c>L^+$。根据命题 6.3.2，存在 $N\geqslant m$ 使得 $c>a_N^+\geqslant L^+$，那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_n\leqslant a_{N}^+$。又根据极限点的定义，应存在 $n\geqslant N$ 使得 $|a_n-c|a_N^+$，矛盾。 6. 若 $L^+$ 是有限的，那么 $L^+$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点。 - 证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geq m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geq L^+$，又由于对于任意 $N_2\geq N_1$，$a_{N_1}^+\geq a_{N_2}^+\geq L^+$，于是对于任意 $N\geq m$，总存在 $N_2\geq N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geq L^+$，那么总存在 $n\geq N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geq a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。 + 证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geqslant L^+$，又由于对于任意 $N_2\geqslant N_1$，$a_{N_1}^+\geqslant a_{N_2}^+\geqslant L^+$，于是对于任意 $N\geqslant m$，总存在 $N_2\geqslant N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geqslant L^+$，那么总存在 $n\geqslant N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geqslant a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。 - 7. $L^+=L^-=c\iff \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。 + 7. $L^+=L^-=c\implies \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。 - 证明：$L^+=L^-=c\implies \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geq m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geq c$，存在 $N^-\geq m$ 使得 $c\geq a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geq \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geq a_n\geq a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。 - - 结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。 + 证明：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant c$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $c\geqslant a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant a_n\geqslant a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。 对于某个收敛于 $L$ 的序列来说，上极限实际上提供了一个序列，使得它的每一元素都大于等于 $L$，且它也收敛于 $L$。这是十分有用的，导出了一些很好的性质： -- **引理 6.4.5（比较原理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq b_n$，那么我们有： +- **引理 6.4.5（比较原理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n$，那么我们有： $$ \begin{aligned} - \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leq \sup(b_n)_{n=m}^{\infty}\\ - \inf(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leq \inf(b_n)_{n=m}^{\infty}\\ - \limsup\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leq \limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\\ - \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leq \liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\\ + \sup(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \sup(b_n)_{n=m}^{\infty}\\ + \inf(a_n)_{n=m}^{\infty}&\leqslant \inf(b_n)_{n=m}^{\infty}\\ + \limsup\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\\ + \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)&\leqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\\ \end{aligned} $$ **证明**：第一条反证，后三条都能从第一条推出来。 -- **推论 6.4.6（夹逼定理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n\leq b_n\leq c_n$。若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。 +- **推论 6.4.6（夹逼定理）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，$(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant b_n\leqslant c_n$。若 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。 - **证明**：$\limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\leq \limsup\limits_{n\to\infty}(c_n)= L$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\geq \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)=L$，于是 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。 + **证明**：$\limsup\limits_{n\to\infty}(b_n)\leqslant \limsup\limits_{n\to\infty}(c_n)= L$，$\liminf\limits_{n\to\infty}(b_n)\geqslant \liminf\limits_{n\to\infty}(a_n)=L$，于是 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。 - **推论 6.4.7（序列的零判别法）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\iff\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$。 - **证明**：$-|a_n|\leq a_n\leq |a_n|$，再根据夹逼定理可证。 + **证明**：$-|a_n|\leqslant a_n\leqslant |a_n|$，再根据夹逼定理可证。 - **推论 6.4.8**：若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $L$，那么序列 $(|a_n|)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $|L|$。 @@ -264,39 +239,39 @@ **证明**：结合命题 6.1.9，只需证柯西序列是收敛的。根据命题 6.4.4.7，考虑证明 $L^-:=\liminf\limits_{n\to\infty}a_n$ 和 $L^+:=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 相等。注意柯西序列有界，根据命题 6.4.4.4 可知 $L^-$ 和 $L^+$ 都为实数。 - 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么存在 $N\geq m$ 使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n-a_N|\leq\frac{\varepsilon}{2}$ 即 $a_N-\frac\varepsilon2\leq a_n\leq a_N+\frac\varepsilon2$，那么有 $a_N-\frac\varepsilon2\leq \inf(a_n)_{n=N}^{\infty}\leq\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}\leq a_N+\frac\varepsilon2$，即 $|a_N^+-a_N^-|\leq\varepsilon$。那么对于任意 $n\geq N$ 有 $|a_n^+-a_n^-|\leq\varepsilon$，于是 $(a_n^+)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n^-)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的，那么根据引理 6.1.8 可知 $L^-=L^+$。 + 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n-a_N|\leqslant\frac{\varepsilon}{2}$ 即 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，那么有 $a_N-\frac\varepsilon2\leqslant \inf(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}\leqslant a_N+\frac\varepsilon2$，即 $|a_N^+-a_N^-|\leqslant\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|a_n^+-a_n^-|\leqslant\varepsilon$，于是 $(a_n^+)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a_n^-)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的，那么根据引理 6.1.8 可知 $L^-=L^+$。 -（用度量空间的角度来说（见第 12 章），定理 6.4.9 断言了实数集是一个完全的度量空间，它不像比例数集那样含有 “洞”（比例数集中有大量的柯西序列收敛到非比例数），这个性质紧密联系于最小上界性质。完全性是实数优于比例数的主要特征之一，我们将在后面各章中看到此事） +（用度量空间的角度来说（见第 12 章），定理 6.4.9 断言了实数集是一个完全的度量空间，它不像有理数集那样含有 “洞”（有理数集中有大量的柯西序列收敛到非有理数），这个性质紧密联系于最小上界性质。完全性是实数优于有理数的主要特征之一，我们将在后面各章中看到此事） -#### 6.5 某些基本的极限 +## 6.5 几个基本的极限 我们现在有了很多工具，我们接下来给出一些基本的极限。 - **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。**证明**：略。 -- **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为比例数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。**证明**：略。 +- **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为有理数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。 - **引理 6.5.3**：设 $x$ 是实数，那么： $$ \lim\limits_{n\to\infty}x^n= \begin{cases} - 0&\text{if }|x|<1\\ - 1&\text{if }x=1\\ - \text{undefined.}&\text{if }x=-1\\ - \text{undefined.}&\text{if }|x|>1 + 0&\text{如果 }|x|<1\\ + 1&\text{如果 }x=1\\ + \text{未定义}&\text{如果 }x=-1\\ + \text{未定义}&\text{如果 }|x|>1 \end{cases} $$ **证明**：先来证明当 $|x|<1$ 的情况。根据推论 6.4.7，只证明 $00$，存在 $n\geq 1$ 使得 $x^n<\varepsilon$，这需要对数，我们暂且做不到。 + 一种方法是直接证明 $L=0$，那么需要说明对于任意实数 $\varepsilon >0$，存在 $n\geqslant 1$ 使得 $x^n<\varepsilon$，这需要对数，我们暂且做不到。 - 另一种方法是，根据极限算律，我们知道 $\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})=x\lim\limits_{n\to\infty}x^n$，可以证明 $(x^{n+1})_{n=1}^{\infty}\sim (x^n)_{n=1}^{\infty}$（可以证明，若 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，那么对于任意 $k\geq 0$ 有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$），于是 $L=xL$，由于 $x\neq 1$，得 $L=0$。 + 另一种方法是，根据极限算律，我们知道 $\lim\limits_{n\to\infty}(x^{n+1})=x\lim\limits_{n\to\infty}x^n$，可以证明 $(x^{n+1})_{n=1}^{\infty}\sim (x^n)_{n=1}^{\infty}$（可以证明，若 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，那么对于任意 $k\geqslant 0$ 有 $(a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_{n+k})_{n=m}^{\infty}$），于是 $L=xL$，由于 $x\neq 1$，得 $L=0$。 - 对于 $x=1$ 和 $x=-1$，证明略去。 + 对于 $x=1$ 和 $x=-1$，证明显然。 - 对于 $|x|>1$，根据推论 6.4.8，只证明 $x>1$ 的情况即可。假设 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 存在且等于 $L$，注意到 $x^n$ 是单增的，那么根据命题 6.3.3，$\sup(x^n)_{n=1}^{\infty}=L$ 是有限的。那么存在 $N\geq 1$ 使得 $\frac{L}{x}L$，矛盾。 + 对于 $|x|>1$，根据推论 6.4.8，只证明 $x>1$ 的情况即可。假设 $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ 存在且等于 $L$，注意到 $x^n$ 是单增的，那么根据命题 6.3.3，$\sup(x^n)_{n=1}^{\infty}=L$ 是有限的。那么存在 $N\geqslant 1$ 使得 $\frac{L}{x}L$，矛盾。 - **引理 6.5.4**：设 $x>0$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{1}{n}}=1$。 @@ -304,15 +279,15 @@ 类似的，也可以证明存在极限 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}$。然后考虑证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac{2}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{\frac1n}$，从而 $L^2=L$，那么 $L=1$。 - 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。因为 $(x^{\frac2n})_{n=1}^{\infty}$ 存在极限，那么它是柯西序列，那么存在 $N\geq 1$，使得对于任意 $n\geq N$ 有 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{2}{2n}}|\leq \varepsilon$ 即 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{1}{n}}|\leq\varepsilon$。那么 $(x^{\frac{2}{n}})_{n=1}^{\infty}\sim(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$，根据引理 6.1.8 即证。 + 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。因为 $(x^{\frac2n})_{n=1}^{\infty}$ 存在极限，那么它是柯西序列，那么存在 $N\geqslant 1$，使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{2}{2n}}|\leqslant \varepsilon$ 即 $|x^{\frac{2}{n}}-x^{\frac{1}{n}}|\leqslant\varepsilon$。那么 $(x^{\frac{2}{n}})_{n=1}^{\infty}\sim(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$，根据引理 6.1.8 即证。 -#### 6.6 子序列 +## 6.6 子序列 -//关于子序列起始项的问题，我还没想清楚，暂时先按照书上的，默认都以 $0$ 为起始。 +我们子序列起始项默认都以 $0$ 为起始。 为了更方便地描述极限点，我们引入子序列的概念。 -- **定义 6.6.1（子序列）**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$。若存在一个函数 $f:\mathbb N\to \mathbb N$，它严格增（即对于任意 $n\geq 0$，$f(n)0$ 是任意正实数，那么存在 $N_a\geq 0$ 使得对于任意 $n\geq N_a$ 有 $|a_n-L|\leq \varepsilon$，存在 $N_b\geq N_a$ 使得 $f(N_b)\geq N_a$，那么对于任意 $n\geq N_b$，$|b_n-L|\leq\varepsilon$，证毕。 + **证明**：设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $N_a\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_a$ 有 $|a_n-L|\leqslant \varepsilon$，存在 $N_b\geqslant N_a$ 使得 $f(N_b)\geqslant N_a$，那么对于任意 $n\geqslant N_b$，$|b_n-L|\leqslant\varepsilon$，证毕。 - **命题 6.6.5**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 和实数 $L$。那么 $L$ 是序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点当且仅当存在 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列收敛到 $L$。 - **证明**：设 $L$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点，递归构造 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$：根据定义，存在 $p> f(n-1)$（初始当 $n=1$ 时，这里改为 $p\geq 0$），使得 $|a_p-L|\leq \frac{1}{n}$，那么令 $f(n)=p$ 且 $b_n=a_{f(n)}=a_p$。根据命题 2.1.7，该定义成功。然后容易验证 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $L$。 + **证明**：设 $L$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点，递归构造 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$：根据定义，存在 $p> f(n-1)$（初始当 $n=1$ 时，这里改为 $p\geqslant 0$），使得 $|a_p-L|\leqslant \frac{1}{n}$，那么令 $f(n)=p$ 且 $b_n=a_{f(n)}=a_p$。根据命题 2.1.7，该定义成功。然后容易验证 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $L$。 - 设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列且收敛到 $L$。设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数和 $N\geq 0$ 为任意整数。根据定义，存在 $N_b\geq 0$ 使得对于任意 $n\geq N_b$ 有 $|b_n-L|\leq\varepsilon$。根据引理 6.6.3，存在 $N_a\geq 0$ 使得 $f(N_a)\geq N$，那么取任意 $n\geq \max(N_a,N_b)$，满足 $f(n)\geq N$ 且 $|b_n-L|\leq \varepsilon$ 即 $|a_{f(n)}-L|\leq\varepsilon$。证毕。 + 设 $(b_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 关于 $f$ 的子序列且收敛到 $L$。设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数和 $N\geqslant 0$ 为任意整数。根据定义，存在 $N_b\geqslant 0$ 使得对于任意 $n\geqslant N_b$ 有 $|b_n-L|\leqslant\varepsilon$。根据引理 6.6.3，存在 $N_a\geqslant 0$ 使得 $f(N_a)\geqslant N$，那么取任意 $n\geqslant \max(N_a,N_b)$，满足 $f(n)\geqslant N$ 且 $|b_n-L|\leqslant \varepsilon$ 即 $|a_{f(n)}-L|\leqslant\varepsilon$。证毕。 一个很著名的定理是： @@ -345,35 +318,35 @@ **证明**：由于 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 有界，那么 $\limsup\limits_{n\to\infty}a_n$ 有限，那么它就是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 的极限点。 -#### 6.7 实数的指数运算 +## 6.7 实数的指数运算 -现在，我们定义实数的实数次幂的指数运算，以完善实数的指数运算。 +现在，我们定义实数的实数次幂的指数运算，以完善指数运算。 -- **定义 6.7.1（实数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是比例数序列，定义 $x^{\alpha}:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}$。 +- **定义 6.7.1（实数次幂的指数运算）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有理数序列，定义 $x^{\alpha}:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}$。 **证明**：先假设 $x>1$。我们需证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 收敛，即它是柯西序列。 - 需要估计 $|x^{a_i}-x^{a_j}|$ 的上界，并用 $|a_i-a_j|$ 来表示。不妨设 $a_i\geq a_j$，那么 $|x^{a_i}-x^{a_j}|=x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)$。又由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设界为 $M$，那么 $x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)\leq x^M(x^{a_i-a_j}-1)$。 + 需要估计 $|x^{a_i}-x^{a_j}|$ 的上界，并用 $|a_i-a_j|$ 来表示。不妨设 $a_i\geqslant a_j$，那么 $|x^{a_i}-x^{a_j}|=x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)$。又由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，不妨设界为 $M$，那么 $x^{a_j}(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant x^M(x^{a_i-a_j}-1)$。 - 我们将对任意 $\varepsilon>0$ 要求 $x^M(x^{a_i-a_j}-1)\leq \varepsilon$，即 $x^{a_i-a_j}\leq \frac{\varepsilon}{x^M}+1$。（再化下去应该是 $a_i-a_j\leq \log_x(\frac{\varepsilon}{x^M}+1)$，但我们还未定义对数函数）。在引理 6.5.4 中我们证明了，$(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$ 是收敛于 $1$ 的，那么存在 $k\geq 1$ 使得 $|x^{\frac{1}{k}}-1|\leq\frac{\varepsilon}{x^M}$ 即 $x^{\frac1k}\leq\frac\varepsilon{x^M}+1$。于是，我们只需 $|a_i-a_j|\leq\frac1k$ 即可，这是可以做到的。 + 我们将对任意 $\varepsilon>0$ 要求 $x^M(x^{a_i-a_j}-1)\leqslant \varepsilon$，即 $x^{a_i-a_j}\leqslant \frac{\varepsilon}{x^M}+1$。再化下去应该是 $a_i-a_j\leqslant \log_x(\frac{\varepsilon}{x^M}+1)$，但我们还未定义对数函数（而且会导致循环定义）。但在引理 6.5.4 中我们证明了，$(x^{\frac{1}{n}})_{n=1}^{\infty}$ 是收敛于 $1$ 的，那么存在 $k\geqslant 1$ 使得 $|x^{\frac{1}{k}}-1|\leqslant\frac{\varepsilon}{x^M}$ 即 $x^{\frac1k}\leqslant\frac\varepsilon{x^M}+1$。于是，我们只需 $|a_i-a_j|\leqslant\frac1k$ 即可，这是可以做到的。 对于 $00$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=m'}^{\infty}$ 都是比例数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a'_n}$。 +- **命题 6.7.2（实数关于实数次求幂遵从代入公理）**：设实数 $x>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(a'_n)_{n=m'}^{\infty}$ 都是有理数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a'_n}$。 **证明**：我们需要证明 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(x^{a_{n}})_{n=m'}^{\infty}$ 等价。这需要我们估计 $|x^{a_n}-x^{a_{n'}}|$ 的上界，并用 $|a_n-a_{n'}|$ 来表示。那么接下里的类似定义 6.7.1 的证明。 -容易证明，实数关于比例数次求幂是相容于上述定义的。 +容易证明，实数关于有理数次求幂是相容于上述定义的。 -我们现在想要证明，引理 5.6.9 提及的实数关于比例数次幂的性质对于实数也成立。但是这并不简单，我们需要一些引理。 +我们现在想要证明，引理 5.6.9 提及的实数关于有理数次幂的性质对于实数也成立。但是这并不简单，我们需要不少引理。 -- **引理 6.7.3**：设 $E\subseteq\mathbb R^+$ 和比例数 $q$。若 $q\geq 0$，那么 $\sup (E^q)=\sup(E)^q$；若 $q<0$，那么 $\sup(E^q)=\inf(E)^q$。 +- **引理 6.7.3**：设 $E\subseteq\mathbb R^+$ 和有理数 $q$。若 $q\geqslant 0$，那么 $\sup (E^q)=\sup(E)^q$；若 $q<0$，那么 $\sup(E^q)=\inf(E)^q$。 - **证明**：略。 + **证明**：由定义可得。 -- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。 +- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。 - **证明**：不妨设 $q\geq 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geq m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。 + **证明**：不妨设 $q\geqslant 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geqslant m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。 同理可证 $L_b^-=(L_a^-)^q$。根据命题 6.4.4.7，有 $L_a^-=L_a^+=L$，那么 $L_b^-=L_b^+=L^q$，那么 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L^q$。 @@ -381,23 +354,26 @@ 1. $x^\alpha>0$。 - 证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geq 1},x^{a_n}\geq x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $01$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geqslant 1},x^{a_n}\geq x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $01$，那么 $x^\alpha\beta$。 + 证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。 - $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}\beta$，则 $x^{\alpha}>x^{\beta}$ 矛盾。若 $\alpha=\beta$，则 $x^{\alpha}=x^{\beta}$（代入公理）矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $\alpha<\beta$。 @@ -411,8 +387,8 @@ 7. 若 $\alpha>0$，$x>y\iff x^\alpha>y^\alpha$。 - 证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geq m$，$a_n>0$。 + 证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n>0$。 - $x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geq m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。 + $x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geqslant m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。 - $x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alphay^\alpha$。 + $x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alphay^\alpha$。 \ No newline at end of file