在第9章中补充了“极限语言的统一”和“渐进式”两部分，并改变了函数极限的定义
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- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
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- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处可微且具有导数 $L$，记作 $f'(x_0):=L$，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 收敛到 $L$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处可微且具有导数 $L$，记作 $f'(x_0):=L$，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 收敛到 $L$。
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若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的聚点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
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若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的聚点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
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- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。
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- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。
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**证明**：联合命题 10.1.4 和 “$f$ 在任何孤立点 $x_0$ 处都连续” 这一事实。
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**证明**：联合定义 10.1.4 和 “$f$ 在任何孤立点 $x_0$ 处都连续” 这一事实。
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- **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
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- **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
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4. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $f-g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)$。
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4. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $f-g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(f-g)'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)$。
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5. 设 $c$ 是实数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $cf$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(cf)'(x_0)=cf'(x_0)$。
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5. 设 $c$ 是实数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $cf$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(cf)'(x_0)=cf'(x_0)$。
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6. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。
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6. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)$。
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7. 若 $g$ 在 $x_0$ 处可微，且对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\neq 0$，则 $\frac1g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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7. 若 $g$ 在 $x_0$ 处可微，且 $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac1g$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac1g\right)'(x_0)=-\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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8. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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8. 若 $f,g$ 在 $x_0$ 处均可微，且 $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处可微，且 $\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}$。
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**证明**：使用函数的极限算律即可。以 10.1.6.8 的证明为例：
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**证明**：使用函数的极限算律即可。以 10.1.6.8 的证明为例：
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\begin{aligned}
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\begin{aligned}
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\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)&=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0}\\
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\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0)&=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0}\\
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&=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}}{g(x)g(x_0)}\\
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&=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}}{g(x)g(x_0)}\\
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&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{(f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0))-(f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0))}{x-x_0}}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0))-(f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0))}{x-x_0}}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)-\left(\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{\left(\lim\limits_{x\to x_0}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)-\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right)}{g^2(x_0)}\\
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&=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}
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&=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g^2(x_0)}
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- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
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- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
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**证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根据命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
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**证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根据命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
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- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
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- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
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## 10.5 洛必达法则
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## 10.5 洛必达法则
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- **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 满足 $|x-x_0|<\delta$，都有 $g(x)\neq 0$。且对于任意合法的 $\delta$ 都有：
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- **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么：
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\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}
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\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}
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**证明**：假设不存在 $\delta$，那么对于任意 $\delta>0$，都存在 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 满足 $g(x)=g(x_0)=0$，即 $\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=0$，这与 $g'(x_0)\neq 0$ 矛盾。然后：
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**证明**：正确的顺序是从后往前推：
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\begin{aligned}\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\lim\limits_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\end{aligned}
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\begin{aligned}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\end{aligned}
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注意正确的顺序是从后往前推。
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- **命题 10.5.2（洛必达法则 2）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 都是在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微的函数，满足 $f(a)=g(a)=0$，且对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $g'(x)\neq 0$，且满足：
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- **命题 10.5.2（洛必达法则 2）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 都是在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微的函数，满足 $f(a)=g(a)=0$，且对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $g'(x)\neq 0$，且满足：
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\lim_{x\to a;x\in (a,b)}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
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\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
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那么对于任意 $x\in (a,b]$ 有 $g(x)\neq 0$，且：
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那么对于任意 $x\in (a,b]$ 有 $g(x)\neq 0$，且：
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\lim_{x\to a;x\in (a,b]}\frac{f(x)}{g(x)}=L
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\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L
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**证明**：若存在 $x\in (a,b]$ 使得 $g(x)=0$，根据拉格朗日中值定理，存在 $y\in(0,x)$ 使得 $g'(y)=0$，矛盾。
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**证明**：若存在 $x\in (a,b]$ 使得 $g(x)=0$，根据拉格朗日中值定理，存在 $y\in(0,x)$ 使得 $g'(y)=0$，矛盾。
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**证明**：根据引理 9.1.6 可知。
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**证明**：根据引理 9.1.6 可知。
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- **定义 9.1.9（聚点/孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的聚点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。
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- **定义 9.1.9（聚点、孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的聚点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。
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- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有聚点和孤立点组成。**证明**：略。
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- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有聚点和孤立点组成。
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引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。
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引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。
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- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的聚点。**证明**：略。
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- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的聚点。
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- **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。
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- **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。
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定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。
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定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。
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若对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\neq 0$，定义它们的商为函数 $\frac fg:X\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。
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定义它们的商为函数 $\frac fg:\{x\in X:g(x)\neq 0\}\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。
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定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。
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定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。
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## 9.3 函数的极限值
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## 9.3 函数的极限值
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- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。
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- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$，$X$ 的聚点 $x_0$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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称 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)$ 无定义。
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若 $f$ 在 $x_0$ 处不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 无定义。
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注意条件中是 $\delta>0$ 而非 $\delta\geq 0$。例如由 $f(x):=\begin{cases}0&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，在 $0$ 处沿着 $\mathbb R$ 不收敛，但在 $0$ 处沿着 $\{0\}$ 却是收敛的。
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注意条件中仅要求 $0<|x-x_0|<\delta$ 而非 $0\leq |x-x_0|<\delta$，这意味着在讨论 $f$ 在 $x_0$ 处的极限时，我们并不关注 $f$ 在 $x_0$ 处是否有定义以及其值是什么，仅关心 $f$ 在 $x_0$ 附近的趋势。
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- **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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- **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。
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那么 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。
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**证明**：若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$。设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 $n\geq N$ 都有 $|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。
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**证明**：若 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$。设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$ 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 $n\geq N$ 都有 $0<|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。
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若对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。反证，若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in E$、$|a_n-x_0|<\frac1n$ 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$ 但 $(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 并不收敛到 $L$，矛盾。
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若对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。反证，若 $f$ 在 $x_0$ 处不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 $x\in X$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in X$、$0<|a_n-x_0|<\frac1n$ 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$ 但 $(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 并不收敛到 $L$，矛盾。
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- **推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 至多收敛到一个实数 $L$。
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- **推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 在 $x_0$ 处至多收敛到一个实数 $L$。
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**证明**：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。
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**证明**：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。
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- **命题 9.3.4（函数的极限算律）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 都是函数。设 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $L$，$g$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $M$。那么：
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- **命题 9.3.4（函数的极限算律）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 都是函数。设 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到实数 $L$，$g$ 在 $x_0$ 处收敛到实数 $M$。那么：
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$$
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\begin{aligned}
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\begin{aligned}
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f+g)(x)&=L+M\\
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\lim\limits_{x\to x_0}(f+g)(x)&=L+M\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f-g)(x)&=L-M\\
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\lim\limits_{x\to x_0}(f-g)(x)&=L-M\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(fg)(x)&=LM\\
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\lim\limits_{x\to x_0}(fg)(x)&=LM\\
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
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\lim\limits_{x\to x_0}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
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\end{aligned}
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\end{aligned}
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$$
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$$
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最后，若 $M\neq 0$ 且 $g$ 在 $E$ 上不取零值（对于任意 $x\in E$ 有 $g(x)\neq 0$），那么：
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最后，若 $M\neq 0$，那么：
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$$
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\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
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\lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
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$$
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$$
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**证明**：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。
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**证明**：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。其中最后一条式子中，要先证明 $x_0$ 确是 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的聚点，这要通过 $g$ 在 $x_0$ 处收敛到一个非零数来证明。
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- **命题 9.3.5（极限是局部的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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- **命题 9.3.5（极限是局部的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in\mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
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设 $\delta>0$，那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0;x\in E\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}=L$。
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设 $\delta>0$，那么 $x_0$ 是 $X$ 的聚点当且仅当 $x_0$ 是 $X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 的聚点，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)}(x)=L$。
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- **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E'\subseteq E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E'$ 的附着点（从而是 $E$ 的附着点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0;x\in E'}f(x)=L$。
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- **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，$x_0$ 是 $Y$ 的聚点（从而是 $X$ 的聚点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0}f|_Y(x)=L$。
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接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中，但它们被使用之处很多都是不易察觉或容易忽略的，因为它们仅仅是变换了一下 “作用域”，但它们仍然是保证证明的严谨性的不可缺失的一环。
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接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中。
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## 9.4 连续函数
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## 9.4 连续函数
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- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。
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- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。
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称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$ 存在。否则称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的。
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称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。
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否则称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的。
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称 $f$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。
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称 $f$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。
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函数在一点连续可以理解为：在该点附近，能通过 $x$ 范围的缩小任意控制 $y$ 范围的缩小。
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函数在一点不连续可以理解为：在该点附近，不论 $x$ 范围怎么缩小都无法缩小到一个 $y$ 的范围。
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接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：
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接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：
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- 设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：
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- 设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：
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@ -150,19 +156,15 @@
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继续考察有关连续的性质：
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继续考察有关连续的性质：
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- **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的：
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- **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，等价于对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。
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- $f$ 在 $x_0$ 处连续。
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同时，若 $x_0$ 还是 $X$ 的聚点，那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，还等价于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
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- 对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。
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- 对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。
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**证明**：根据定义可知。
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- **命题 9.4.3（算术运算保持连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
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- **命题 9.4.3（算术运算保持连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
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若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg$ 都在 $x_0$ 处连续。
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若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg$ 都在 $x_0$ 处连续。
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若另有 $g$ 在 $X$ 上不取零值，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处连续。
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若另有 $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处连续。
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- **命题 9.4.4（指数函数是连续的）**：设实数 $a>0$，那么由 $f(x):=a^x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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- **命题 9.4.4（指数函数是连续的）**：设实数 $a>0$，那么由 $f(x):=a^x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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@ -170,11 +172,7 @@
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- **命题 9.4.5（幂函数是连续的）**：设实数 $p$，那么由 $f(x):=x^p$ 定义的函数 $f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R$ 是连续的。
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- **命题 9.4.5（幂函数是连续的）**：设实数 $p$，那么由 $f(x):=x^p$ 定义的函数 $f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R$ 是连续的。
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**证明**：使用实数的实数次幂。
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**证明**：使用类似定义 5.6.5 中的证明方法。
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//9.4.4 和 9.4.5 的证明我没细想，但看到习题说要用挤压判别法之类的，感觉可能我想简单了，留给slc作为习题
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//UPD：现在又不会证了，以后补
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- **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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- **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
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@ -184,25 +182,44 @@
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-f(x_0)|\leq \delta$ 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 $\omega>0$ 使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\omega$ 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-f(x_0)|\leq \delta$ 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 $\omega>0$ 使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\omega$ 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。
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- **命题 9.4.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是连续的，则 $f|_E$ 也是连续的。
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- **命题 9.4.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是连续的，则 $f|_Y$ 也是连续的。
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**证明**：结合定义与命题 9.3.6。
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- **命题 9.4.9（极限的复合）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $y_0$。
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## 9.5 左极限和右极限
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若 $y_0\in Y$ 且 $g$ 在 $y_0$ 处连续，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $g(y_0)$。
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若 $y_0$ 是 $Y$ 的聚点、$g$ 在 $y_0$ 处收敛到 $z_0$ 且对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 有 $f(x)\neq y_0$，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $z_0$。
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## 9.5 单侧极限与间断
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- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。
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- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点（这里等价于聚点），那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)$。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (-\infty,x_0)}f(x)$。
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若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (-\infty,x_0)}(x)$。
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当 $x_0$ 不是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，或 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$ 无定义，则 $f(x_0+)$ 无定义。同理可知 $f(x_0-)$ 何时无定义。
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当 $x_0$ 不是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，或 $\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)$ 无定义，则 $f(x_0+)$ 无定义。同理可知 $f(x_0-)$ 何时无定义。
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有时将 $f(x_0+)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 $f(x_0-)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。
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有时将 $f(x_0+)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 $f(x_0-)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。
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- **命题 9.5.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$ 且 $x_0$ 同是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 和 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点。那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当，$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在且都等于 $f(x_0)$。
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- **命题 9.5.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in\mathbb R$ 同是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 和 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点。
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**证明**：略。
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那么 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，当且仅当 $f(x_0+)=f(x_0-)$，且此时 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0+)=f(x_0-)$。
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若 $x_0\in X$，那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当 $f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在且都等于 $f(x_0)$。
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- **定义 9.5.3（间断点）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $X$ 的附着点。
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称 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处无定义或不连续。
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- **第一类间断点**：$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在。
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- **可去间断点**：$f(x_0+)=f(x_0-)$。
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- **跳跃间断点**：$f(x_0+)\neq f(x_0-)$。
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- **第二类间断点**：$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 有至少一者不存在。
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- **引理 9.5.4（可去间断点补齐为连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $f$ 的可去间断点。那么由 $g(x):=\begin{cases}f(x_0+)&x=x_0\\f(x)&x\neq x_0\end{cases}$ 定义的函数 $g:X\cup\{x_0\}\to\mathbb R$ 在 $x_0$ 处连续。
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注意，若补全或修改函数 $f$ 在其间断点 $x_0$ 处的值后使得 $f$ 在 $x_0$ 处连续了。除了 $x_0$ 是 $f$ 的可去间断点之外，还有可能是因为 $f$ 在 $x_0$ 某一侧无定义，从而 $f$ 在 $x_0$ 处这一侧的极限不存在，而使得 $x_0$ 成为第二类间断点。
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## 9.6 极值定理
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## 9.6 极值定理
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@ -236,7 +253,7 @@
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- **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
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- **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
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**证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X]\})$，那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。
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**证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X\})$，那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。
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根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
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根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
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@ -246,7 +263,7 @@
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同理可证 $x_{\min}$。
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同理可证 $x_{\min}$。
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有界闭集上的连续函数的性质：有界且存在极值点。
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有界闭集上的连续函数有界且存在极值点。
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## 9.7 介值定理
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## 9.7 介值定理
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@ -264,13 +281,11 @@
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综上，可以得到 $f(c)=y$。
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综上，可以得到 $f(c)=y$。
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连续函数把区间映为区间。
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- **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
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- **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
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**证明**：存在 $x_{\min}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。
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连续函数把闭区间映为闭区间。
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不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_{\min},x_{\max}]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_{\min},y_{\max}]$，存在 $x\in[x_{\min},x_{\max}]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_{\min},y_{\max}]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_{\min},y_{\max}]=f([a,b])$。
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闭区间上的连续函数的性质：值域非常稠密，以致于其填满了实数集的一个子区间。
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## 9.8 单调函数
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## 9.8 单调函数
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@ -288,27 +303,21 @@
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称 $f$ 是严格单调的，当且仅当 $f$ 是严格单调增的或是严格单调减的。
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称 $f$ 是严格单调的，当且仅当 $f$ 是严格单调增的或是严格单调减的。
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- **引理 9.8.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是单调增的，那么 $f$ 在 $a$ 处取到最小值，在 $b$ 处取到最小值。**证明**：略。
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- **引理 9.8.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 是严格单调增的，那么 $f$ 是 $X$ 到 $f(X)$ 的双射，且 $f^{-1}$ 也是严格单调增的。
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- **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 也是连续且严格单调增的。
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- **命题 9.8.3**：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f^{-1}$ 也是连续且严格单调增的。
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**证明**：利用介值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。
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**证明**：对于某一点 $y_0$，为使得 $x$ 能控制在 $f^{-1}(y_0)$ 附近的某一范围 $[x_l,x_r]$，任找 $[x_l,x)$ 中有定义的一点并取其 $f$ 值 $y_l$（若 $[x_l,x)$ 中无定义，那么随便选一个 $<y_0$ 的实数）并同理取出 $y_r$，那么只要 $y$ 落在 $[y_l,y_r]$ 范围内，对应的 $x$ 总会落在 $[x_l,x_r]$ 范围内，从而 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 连续。
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设 $y_0\in[f(a),f(b)]$，那么存在唯一的 $x_0$ 使得 $f(x_0)=y_0$。
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设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。我们需找到 $\delta>0$，使得对于任意 $y\in [f(a),f(b)]$ 且 $|y-y_0|\leq \delta$，令 $x=f^{-1}(y)$，都有 $|x-x_0|\leq\varepsilon$。
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设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&x_0-\varepsilon\geq a\\+\infty&x_0-\varepsilon<a\end{cases}$，$\delta_r:=\begin{cases}f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)&x_0+\varepsilon\leq b\\+\infty&x_0+\varepsilon>b\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 $\delta>0$ 且满足条件。
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引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。
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引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。
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- **命题 9.8.4**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:[a,b]\to Y$ 是连续函数且是双射。那么 $f$ 是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知， $f^{-1}$ 是也连续且严格单调的。
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作为对照，考虑将命题 9.8.3 中的定义域换为任意实数子集的情况：取 $f=\begin{cases}x&x<0\\x-1&x\geq 1\end{cases}$，发现 $f^{-1}$ 在 $0$ 处并不连续。
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**证明**：不妨设 $f(a)<f(b)$，欲证 $f$ 是严格单调增的。反证，若存在 $c,d\in [a,b]$ 满足 $c<d$ 且 $f(c)>f(d)$，不妨设 $a<c$，那么 $f([c,d])=[f(d),f(c)]$，从而对于任意 $x\in[a,c)$ 有 $f(x)\not\in [f(d),f(c)]$，然后说明 $f$ 在 $c$ 处间断即可。
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- **命题 9.8.4**：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 是 $I$ 到 $f(I)$ 的双射。那么 $f$ 是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知， $f^{-1}$ 是也连续且严格单调的。
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根据证明过程不难看出，命题 9.8.4 对于 $f$ 的定义域为开区间 $(a,b)$ 时同样成立。
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**证明**：假设 $f$ 不严格单调，不妨设存在 $a<b<c$ 使得 $f(a)<f(c)<f(b)$，那么存在 $a<d<b$ 使得 $f(d)=f(c)$，这与 $f$ 是双射矛盾。
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作为对比，该命题并不成立：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:(a,b)\to Y$ 是双射。设 $x_0\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可。
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作为对比，该命题并不成立：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$，且 $f$ 是 $I$ 到 $f(I)$ 的双射。设 $x_0\in I$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可，此时对应的 $x$ 为对应的 $\frac{2^k}{p}>1$。
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我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的单调函数的例子。
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我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的单调函数的例子。
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@ -328,25 +337,11 @@ $$
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称 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。
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称 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。
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可以看出，一致连续的函数一定是连续的。
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一致连续的函数可以理解为：可以通过 $x$ 的靠近来任意控制 $y$ 的靠近。
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//这里给出一致连续的很多种感性理解，slc帮忙看看怎么理解更好：
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不一致连续的函数可以理解为：不论 $x$ 怎么靠近，总存在一对 $x$ 使得 $y$ 无法靠近。
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//若某个函数 $f:X\to \mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 是一致连续的，等价于：对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf\bigg(\bigg\{\sup\big(\{\delta\in \mathbb R^+:\forall_{x\in X,|x-x_0|\leq\delta},|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon\}\big):x_0\in X\bigg\}\bigg)>0$。
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一致连续性并不等同于导数值有界（导数的概念将在第 10 章说明），例如由 $f(x):=\sqrt x$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 的导数 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ 在 $0$ 附近无界，但是它仍然是一致连续的。
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//或者对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf(\{|x-y|:x,y\in X\land |f(x)-f(y)|>\varepsilon\})>0$。
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////或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 $x$ 值无限接近，且 $y$ 值相差大过 $\varepsilon$。
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//即，对于任意无限接近的两个自变量，它们对应的函数值也应是无限接近的。
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//而连续指的是，对于某一个点，和另一个和它无限接近的点，它们对应的函数值是无限接近的。
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//原文中的一句话是：考察 $f(x):=\frac1x$，当 $x$ 不断接近 $0$ 时，函数的连续性会变得越来越 “差”，故它不是 “一致连续” 的。
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//也有人说，可以理解成，对于任意的 $\Delta y>0$，能找到一个高为 $\Delta y$、宽为 $\Delta x$ 的矩形，使得该矩形能完美地“串在”该函数上，满足函数曲线始终从左右两侧穿入并穿出矩形。
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//也有人说导数值有界，即斜率不能无限变大，这种说法可能会直观些，但得留到第10章看看对不对。
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- **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
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- **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
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@ -354,15 +349,15 @@ $$
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作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。
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作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。
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- **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。
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- **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。设 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in X$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在 $N\geq 0$ 使得对于任意 $n,m\geq N$ 都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。
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**证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in X$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在 $N\geq 0$ 使得对于任意 $n,m\geq N$ 都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。
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- **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$。
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- **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f$ 是连续函数。设 $x_0$ 是 $X$ 的聚点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。
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**证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。
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**证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。
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注意 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=x^2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 并不一致连续。
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注意 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=x^2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 并不一致连续。
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- **命题 9.9.5**：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f(X)$ 有界。
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- **命题 9.9.5**：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f(X)$ 有界。
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@ -378,7 +373,7 @@ $$
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**证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
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**证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
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根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in[a,b]$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。
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根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。
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根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in X$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。
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根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in X$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。
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@ -386,27 +381,190 @@ $$
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**证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。
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**证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。
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我们之前说了 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数该命题是成立的。
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我们之前说了 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数这两个命题的逆命题是成立的。
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- **引理 9.9.8**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当 $f$ 在 $X$ 的任意附着点 $x_0$ 处存在极限。
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- **引理 9.9.8**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当对任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，$(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。
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**证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。
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**证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。
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根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。
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根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，从而将 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 和 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，从而 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，这说明 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到同一个数，矛盾。
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## 9.10 在无限处的极限
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- **引理 9.9.9**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当 $f$ 连续且在 $X$ 的任意聚点 $x_0$ 处存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。
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**证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。
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根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2 和 9.4.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。
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## 9.10 在无限处的极限、极限语言的统一
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- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。
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- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。
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- **定义 9.10.2（在无限处的极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 且 $+\infty$ 是 $X$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
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- **定义 9.10.2（在无限处的极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 且 $+\infty$ 是 $X$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
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称当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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称当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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称当 $x\to-\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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称当 $x\to-\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
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- **引理 9.10.3**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n$ 存在当且仅当 $\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$ 存在，且若二者都存在，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$。
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容易看出，序列的极限的定义是相容于函数在无限处的极限的定义的。
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**证明**：根据定义可知。
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可以查觉到，序列的极限和函数的极限、函数在某点处和函数在无限处的极限，存在着大量相似的语言和结论。现在我们打算用一种语言把它们统一到一起，这其中最关键的，就是邻域的概念，有了邻域我们就能定义极限。
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由于在本书中我们不常使用无限处的极限，所以我们不对无限处的极限做深入拓展。
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- **定义 9.10.4（邻域）**：设 $x_0\in\mathbb R$。定义：
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$x_0$ 的邻域是一个含 $x_0$ 的开区间 $J$，去心邻域是一个含 $x_0$ 的开区间 $J$ 去掉 $\{x_0\}$ 的结果。
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$x_0^+$ 的邻域是一个区间 $[x_0,x_0+\delta)$，去心邻域是一个开区间 $(x_0,x_0+\delta)$，其中 $\delta>0$。
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$x_0^-$ 的邻域是一个区间 $(x_0-\delta,x_0]$，去心邻域是一个开区间 $(x_0-\delta,x_0)$，其中 $\delta>0$。
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$+\infty$ 的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(a,+\infty)$，其中 $a\in\mathbb R$。
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$-\infty$ 的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(-\infty,b)$，其中 $b\in\mathbb R$。
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$\infty$ 的邻域和去心邻域都是 $(-\infty,b)\cup(a,+\infty)$，其中 $b,a\in\mathbb R$。
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其中 $+\infty,-\infty$ 是已经被定义过的 $\mathbb R^*$ 中的元素，而 $\infty$ 被称为无符号无穷大。$+\infty,-\infty,\infty$ 被统称为无穷大。
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设 $X\subseteq\mathbb R$，定义 $X^{\sigma}:=X\cup\{x^+:x\in X\}\cup\{x^-:x\in X\}$。
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称 $c$ 有邻域，当且仅当 $c\in\mathbb R^{\sigma}\cup\{+\infty,-\infty,\infty\}$。
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- **定义 9.10.5（极限）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。定义 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$，当且仅当，对于任意 $A$ 的邻域 $W$，总存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)\in W$。
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注意，当 $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ 是无穷大时，我们仍说 $f$ 在 $c$ 处是发散、不收敛的。
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- **定义 9.10.6（同号、异号）**：记 $x_0,x_0^+,+\infty$ 的符号为正，其中 $x_0$ 是正实数。记 $x_0,x_0^-,-\infty$ 符号为负，其中 $x_0$ 为负实数。
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设 $A,B$ 都有邻域。称 $A,B$ 是同号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相同。称 $A,B$ 是异号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相异。
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- **引理 9.10.7（极限算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空，$\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=B$。那么：
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$$
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\begin{aligned}
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\lim_{x\to c}(f+g)(x)&=
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\begin{cases}
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A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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-\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
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\infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大}
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\end{cases}\\
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\lim_{x\to c}(fg)(x)&=
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\begin{cases}
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AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
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+\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\
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-\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\
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\infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\
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\text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大}
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\end{cases}
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\end{aligned}
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$$
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若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么：
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\lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)=
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\begin{cases}
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\frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\
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\infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\
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0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty)
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\end{cases}
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$$
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其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如：
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- 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。
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- 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。
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- 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。
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- 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。
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其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。
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- **引理 9.10.8（极限复合）**：设 $X,Y\subseteq\mathbb R$，$f:X\to Y$，$g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域。若下面两者中任意一者成立：
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- $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。对于任意 $A$ 的去心邻域 $W$，总存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)\in W$。$\lim\limits_{y\to A}g(y)=B$。
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- $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$。$A$ 的任意邻域与 $Y$ 的交非空。对于任意 $B$ 的去心邻域 $W$，总存在 $A$ 的邻域 $V$，使得对于任意 $y\in V\cap Y$ 有 $g(y)\in W$。
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那么 $\lim\limits_{x\to c}(g\circ f)(x)=B$。
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## 9.11 渐进式
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渐进式一般用来研究无穷小和无穷大的阶数问题——同样是收敛到 $0$ 或发散到无穷大，其实也可以更加细分。例如在 $x\to +\infty$ 时 $x^2$ 明显比 $x$ 发散得快得多，我们就可以用阶的语言来描述。同时，这样的细分在我们研究 $0/0$、$\infty/\infty$ 或者 $(+\infty)+(-\infty)$ 等等 9.10.7 中提及的未定型的极限时也有帮助。
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- **定义 9.11.1（大 $O$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=O(g)$，当且仅当存在正实数 $M>0$ 和 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq M|g(x)|$。
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注意，这里的等号实际上是属于的意思（毕竟显然不能通过 $f_1=O(g)$ 和 $f_2=O(g)$ 得到 $f_1=f_2$），而 $O(g)$ 实质上也是一个集合：
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$$
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\bigcup_{X\subseteq Y:\ c\text{的任意非空邻域与}X\text{的交非空}}\bigg\{f\in\mathbb R^{X}:\text{存在正实数 }M>0\text{ 和 }c\text{ 的非空邻域 }V\text{，使得对于任意 }x\in V\cap X\text{ 有 }|f(x)|\leq M|g(x)|\bigg\}
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$$
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但出于习惯和历史问题，我们现在仍然使用 $=$ 这个记号。但为了保证正确性，我们保证等号右边的一定是个集合（注意，形如 $O(g)$ 的记号也是集合），而当等号左边是个函数时，该等号就表示 $\in$；当等号左边是个集合时，该等号表示 $\subseteq$。下面的大 $\Theta$ 和小 $o$ 也是类似的。
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大 $O$ 记号有很多显然的规则。
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- **引理 9.11.2（大 $O$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
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\begin{aligned}
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f&=O(f)\\
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O(O(f))&=O(f)\\
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O(kf)&=O(f)\\
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O(f)+O(g)&=O(|f|+|g|)\\
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O(f)O(g)&=O(fg)\\
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O(fg)&=f\cdot O(g)
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\end{aligned}
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在实际应用中，还会用到其他的一些大 $O$ 的运算法则（比如上面很多式子反过来也是成立的），就不再详细列举，因为它们往往都是根据定义不难证明的。下面介绍大 $\Theta$ 和小 $o$ 时也是类似的。
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- **定义 9.11.3（大 $\Theta$、同阶）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 同阶（也记为 $f=\Theta(g)$），当且仅当 $f=O(g)$ 且 $g=O(f)$。
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即存在 $M>0$ 和 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $\frac{1}{M}|g(x)|\leq|f(x)|\leq M|g(x)|$。
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- **引理 9.11.4（大 $\Theta$ 算律）**：引理 9.11.2 的论述将 $O$ 替换为 $\Theta$ 后仍然成立。
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**证明**：由于大 $\Theta$ 的定义可以理解为，只是在大 $O$ 的定义上多加了 $|f(x)|\geq \frac{1}{M}|g(x)|$ 的限制，这和 $|f(x)|\leq M|g(x)|$ 很对称，所以可以类似证明。
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- **推论 9.11.5（同阶是等价关系）**：同阶满足自反性、对称性、传递性。
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**证明**：传递性：若 $f=O(g),g=O(h)$，那么 $f=O(g)=O(O(h))=O(h)$，反过来同理可证 $h=O(f)$。
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- **定义 9.11.6（小 $o$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$，当且仅当对任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq \varepsilon|g(x)|$。
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- **引理 9.11.7（小 $o$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
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$$
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\begin{aligned}
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o(kf)&=o(f)\\
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o(O(f))&=o(f)\\
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O(o(f))&=o(f)\\
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o(f)&=O(f)\\
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o(f)+o(g)&=o(|f|+|g|)\\
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O(f)o(g)&=o(fg)\\
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o(fg)&=f\cdot o(g)
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\end{aligned}
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$$
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当我们在讨论两个函数 $f,g$ 在 $c$ 附近的阶的关系的时候，一般来说 $f,g$ 的函数值会涉及到无穷大或无穷小，因为若 $f$ 在 $c$ 附近有界且远离零，那么 $f=\Theta(1)$，从而讨论 $f$ 与其他函数的阶的关系是很平凡的。
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- **定义 9.11.8（等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。
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即对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。
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- **引理 9.11.9**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价：
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1. 当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 是等价的。
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2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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4. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。
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**证明**：1->2：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$；若 $g(x)=0$，则有 $|f(x)|\leq 0$ 即 $f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 从而对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，即 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，从而 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
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2->1：若存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交为空，那么对于任意 $x\in V$ 有 $f(x)=g(x)=0$，此时容易证明 $f,g$ 等价；否则，若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，那么 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，同时对于 $V$ 中剩下的 $x$，一定有 $f(x)=g(x)=0$，从而也有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。
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2->3：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
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3<->4：利用 1<->2。
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- **引理 9.11.10（等价是等价关系）**：定义 9.11.8 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。
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**证明**：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。
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我们将在习题篇中看到阶的应用。
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