From 86da095e7d103d484fea4c9bfc3fb5be738e3c7b Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 19 Sep 2022 01:19:24 +0000
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通过乘法逆元，完成除法的定义

Signed-off-by: 方而静 <szdytom@163.com>
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@@ -283,3 +283,9 @@ $$A=\left\{x\in \mathbb Q\vert x<10\right\}$$
 	我们现在验证 $\beta$ 确实是 $\alpha$ 的乘法逆元，即 $\alpha\beta=1$。注意到 $\alpha,\beta>0$，设 $p\in\alpha\beta$，根据定义，存在 $0<a<\alpha\leqslant r$，满足 $p<ar^{-1}$，故 $p<1$，即 $\alpha\beta\subseteq1$。设有理数 $s<1$，根据定义 $s<0$ 时显然有 $s\in\alpha\beta$。存在有理数 $t$，满足 $s<t<1$，存在有理数 $a$，满足 $t\alpha<a<\alpha$，因此 $at^{-1}>t\alpha t^{-1}>\alpha$，同时我们有 $s<t<aa^{-1}t<a(at^{-1})^{-1}$，所以 $s\in\alpha\beta$，即 $1\subseteq\alpha\beta$。综上所述，$\alpha\beta=1$。
 
 	考虑到对于任意的实数 $\alpha,\beta,\gamma$，均有 $\alpha=\beta\iff\alpha\gamma=\beta\gamma$。故乘法逆元是唯一的。
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+由此，我们就可以定义除法。
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+- **定义 5A.5.7（除法）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，定义 $\alpha$ 除 $\beta$ 的商为 $\alpha^{-1}\beta$，记作 $\beta/\alpha$。
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