完成#3翻译定理的名字

src/第10章 函数的微分.md

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     若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的极限点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
 
-- **命题 10.1.2（Newton 逼近）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
+- **命题 10.1.2（牛顿逼近）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
 
     那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微且导数为 $L$，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon|x-x_0|$。
 

src/第3章 集合论.md

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 我们需要一个公理来引入无限集合：
 
-- **公理 3.1.10（无限）**：存在一个集合 $\mathbb{N}$，其元素叫作自然数，满足 $0$ 是 $\mathbb{N}$ 中的一个对象，并且对于任意 $n\in\mathbb{N}$，由 $n$ 所指定的满足 Peano 公理的对象 $n++$ 也在 $\mathbb{N}$ 中。
+- **公理 3.1.10（无限）**：存在一个集合 $\mathbb{N}$，其元素叫作自然数，满足 $0$ 是 $\mathbb{N}$ 中的一个对象，并且对于任意 $n\in\mathbb{N}$，由 $n$ 所指定的满足皮亚诺公理的对象 $n++$ 也在 $\mathbb{N}$ 中。
 
 这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。
 

src/第6章 序列的极限.md

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     同理可证 $L_b^-=(L_a^-)^q$。根据命题 6.4.4.7，有 $L_a^-=L_a^+=L$，那么 $L_b^-=L_b^+=L^q$，那么 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L^q$。
 
-- **命题 6.7.5**：设实数 $x,y>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\beta=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是比例数序列 。
+- **命题 6.7.5（实数的指数运算的基本性质）**：设实数 $x,y>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\beta=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是比例数序列 。
 
     1. $x^\alpha>0$。
 

src/第7章 级数.md

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 有限序列上的级数满足很多我们耳熟能详的性质：
 
-- **引理 7.1.2**：设整数 $m,n$ 满足 $m\leqslant n$ 和有限序列 $(a_i)_{i=m}^n,(b_i)_{i=m}^n$。
+- **引理 7.1.2（有限级数的基本性质）**：设整数 $m,n$ 满足 $m\leqslant n$ 和有限序列 $(a_i)_{i=m}^n,(b_i)_{i=m}^n$。
 
     1. 设整数 $p$ 满足 $m\leqslant p<n$，则 $\sum\limits_{i=m}^pa_i+\sum\limits_{i=p+1}^{n}a_i=\sum\limits_{i=m}^na_i$。
     2. 设 $k$ 是整数，则 $\sum\limits_{i=m}^na_i=\sum\limits_{j=m+k}^{n+k}a_{j-k}$。 
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 有限集合上的求和依赖于有限级数，也类似地会导出很多性质：
 
-- **命题 7.1.4**：除特殊说明，默认 $X$ 为基数为 $n$ 的有限集合，$f:X\to\mathbb R$ 为函数。
+- **命题 7.1.4（有限集合上求和的基本性质）**：除特殊说明，默认 $X$ 为基数为 $n$ 的有限集合，$f:X\to\mathbb R$ 为函数。
 
     1. 若 $X=\{x_0\}$，那么 $\sum\limits_{x\in X}f(x)=f(x_0)$。
 
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     **证明**：设 $Z:=Y\setminus X$，那么 $Y=X\cup Z$ 且 $X\cap Z=\varnothing$，于是 $\sum\limits_{x\in X}f(x)+\sum\limits_{z\in Z}f(z)=\sum\limits_{y\in Y}f(y)$。可以归纳证明 $\sum\limits_{z\in Z}f(z)\geqslant 0$，于是 $\sum\limits_{x\in X}f(x)\leqslant \sum\limits_{y\in Y}f(y)$。
 
-- **命题 7.4.2**：设 $\sum\limits^{\infty}_{n=s}a_n$ 是收敛的非负实数的级数，并设 $f:\mathbb Z_{s..}\to\mathbb Z_{s..}$ 是双射，那么 $\sum\limits^{\infty}_{m=s}a_{f(m)}$ 也收敛到同一实数。
+- **命题 7.4.2（非负级数的重排）**：设 $\sum\limits^{\infty}_{n=s}a_n$ 是收敛的非负实数的级数，并设 $f:\mathbb Z_{s..}\to\mathbb Z_{s..}$ 是双射，那么 $\sum\limits^{\infty}_{m=s}a_{f(m)}$ 也收敛到同一实数。
 
     **证明**：只需证明 $S_N:=\sum\limits_{n=s}^Na_n$ 和 $T_M:=\sum\limits_{m=s}^Ma_{f(m)}$ 拥有同样的上确界。设 $L=\sup(S_N)_{N=s}^{\infty}$。
 

src/第8章 无限集合.md

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     **证明**：存在 $h:\mathbb N\to X$ 是双射。那么 $g^{-1}\circ h$ 是 $\mathbb N$ 到 $Y$ 的双射，那么 $\sum\limits_{y\in Y}f(g(y))=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(g(g^{-1}(h(n))))=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(h(n))=\sum\limits_{x\in X}f(x)$。
 
-- **定理 8.2.3（关于无限和的 Fubini 定理）**：设函数 $f:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$ 满足 $\sum\limits_{(n,m)\in\mathbb N\times \mathbb N}f(n,m)$ 是绝对收敛的，那么 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)=\sum\limits_{(n,m)\in\mathbb N\times \mathbb N}f(n,m)$。
+- **定理 8.2.3（关于无限和的富比尼定理）**：设函数 $f:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$ 满足 $\sum\limits_{(n,m)\in\mathbb N\times \mathbb N}f(n,m)$ 是绝对收敛的，那么 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)=\sum\limits_{(n,m)\in\mathbb N\times \mathbb N}f(n,m)$。
 
     **证明**：任取双射 $g:\mathbb N\to\mathbb N\times \mathbb N$，那么 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f(g(k))$ 是绝对收敛的。
 
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 #### 8.3 不可数的集合
 
-- **定理 8.3.1（Cantor 定理）**：设 $X$ 是任意集合，那么 $X$ 和 $2^X$ 不可能拥有同样的基数。
+- **定理 8.3.1（康托尔定理）**：设 $X$ 是任意集合，那么 $X$ 和 $2^X$ 不可能拥有同样的基数。
 
     **证明**：反证。假设存在一个双射 $f:X\to 2^X$。考虑集合 $A:=\{x\in X:x\not\in f(x)\}$。显然 $A\in 2^X$，那么存在 $x\in X$ 满足 $f(x)=A$。然后发现，无论 $x$ 是否属于 $A$，都会引出矛盾。
 
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     然后可以证明 $g$ 是双射。故 $A,B$ 具有相同的基数。
 
-- **定理 8.3.6（Schröder-Bernstein 定理）**：设 $A,B$ 是集合，满足 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数、$B$ 的基数小于等于 $A$ 的基数，那么 $A,B$ 有相同的基数。
+- **定理 8.3.6（施罗德-伯恩斯坦定理）**：设 $A,B$ 是集合，满足 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数、$B$ 的基数小于等于 $A$ 的基数，那么 $A,B$ 有相同的基数。
 
     **证明**：存在 $f:B\to A$ 和 $g:A\to B$ 是单射。那么 $g(A)\subseteq B$，且 $(g\circ f)$ 是 $B\to g(A)$ 的单射。于是根据引理 8.3.4，可知 $B$ 和 $g(A)$ 具有相同的基数，从而 $B$ 和 $A$ 具有相同的基数。
     
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 //这个定理的证明感觉太麻烦了，想找个简单点的，但是不太好想，姑且留给 slc 作为习题。
 
-- **引理 8.5.9（Zorn 引理）**：设 $(X,\leq)$ 是非空偏序集，满足 $\leq$ 是定义在 $X$ 上的。若对于任意 $Y\subseteq X$ 且 $(Y,\leq)$ 是全序集，都存在上界，那么 $X$ 至少含有一个最大元。
+- **引理 8.5.9（佐恩引理）**：设 $(X,\leq)$ 是非空偏序集，满足 $\leq$ 是定义在 $X$ 上的。若对于任意 $Y\subseteq X$ 且 $(Y,\leq)$ 是全序集，都存在上界，那么 $X$ 至少含有一个最大元。
 
     **证明**：任选 $x_0\in X$，根据引理 8.5.8，存在一个良序集 $Y\subseteq X$，它以 $x_0$ 为最小元，且没有严格上界。又由于 $Y$ 有上界，于是存在 $x\in Y$，使得对于任意 $y\in Y$ 都有 $y\leq x$。而若存在 $M\in X$ 使得 $x<M$，则对于任意 $y\in Y$ 都有 $y<M$，于是 $Y$ 有严格上界，矛盾。故不存在 $M\in X$ 使得 $x<M$。
 

src/第9章 R上的连续函数.md

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 - **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。
 
-- **定理 9.1.13（直线上的 Heine-Borel 定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的并且是有界的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中的某数 $L$。
+- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的并且是有界的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中的某数 $L$。
 
     **证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。
 
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 //习题9.6.1很有意思，我另外补充一道：构造函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$，它连续并有界，但没有最大值也没有最大值。一起留给slc作为习题。
 
-#### 9.7 中值定理
+#### 9.7 介值定理
 
-- **定理 9.7.1（中值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。
+- **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。
 
     **证明**：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。
 
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     **证明**：存在 $x_\min\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。
 
-    不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_\min,x_\max]}$ 是连续的，那么根据中值定理，对于任意 $y\in [y_\min,y_\max]$，存在 $x\in[x_\min,x_\max]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_\min,y_\max]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_\min,y_\max]=f([a,b])$。
+    不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_\min,x_\max]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_\min,y_\max]$，存在 $x\in[x_\min,x_\max]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_\min,y_\max]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_\min,y_\max]=f([a,b])$。
 
 #### 9.8 单调函数
 
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 - **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是也连续且严格单调增的。
 
-  **证明**：利用中值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。
+  **证明**：利用介值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。
 
   设 $y_0\in[f(a),f(b)]$，那么存在唯一的 $x_0$ 使得 $f(x_0)=y_0$。