在 4.6 中添加一条引理

src/第4章 整数和有理数.md

@@ -364,11 +364,15 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
 
 - **推论 4.6.17**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，则 $0<1$。
 
+- **引理 4.6.18**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$a,b,c\in\mathbb F$，则 $a\leq b\land c\leq 0\implies ac\geq bc$。
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+  **证明**：只需证明 $-a\geq -b$ 即可。反证，若 $-a<-b$，又 $a\leq b$，结合引理 4.6.14 可知 $a+(-a)<b+(-b)$ 即 $0<0$，矛盾。
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 显然有理数集是一个序域，现在我们来推导它们间更深入的关系。
 
-- **定义 4.6.18（归纳集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，称 $A\subseteq \mathbb F$ 是 $\mathbb F$ 的归纳子集，当且仅当 $0\in A$ 且 $\forall_{a\in\mathbb F},a\in A\implies a+1\in A$。
+- **定义 4.6.19（归纳集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，称 $A\subseteq \mathbb F$ 是 $\mathbb F$ 的归纳子集，当且仅当 $0\in A$ 且 $\forall_{a\in\mathbb F},a\in A\implies a+1\in A$。
 
-- **命题 4.6.19（序域的最小归纳集是自然数集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:A\text{ 是 }\mathbb F\text{ 的归纳子集}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $(X,0,f)$ 是一个皮亚诺结构，其中 $f:X\to X$ 是由 $f(x):=x+1$ 定义的函数（根据归纳集的定义，容易证明 $X$ 作为 $f$ 的对应域是合理的）。
+- **命题 4.6.20（序域的最小归纳集是自然数集）**：设 $((\mathbb F,+,\times,0,1),\leq)$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:A\text{ 是 }\mathbb F\text{ 的归纳子集}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $(X,0,f)$ 是一个皮亚诺结构，其中 $f:X\to X$ 是由 $f(x):=x+1$ 定义的函数（根据归纳集的定义，容易证明 $X$ 作为 $f$ 的对应域是合理的）。
 
   **证明**：显然 $\mathbb F\in U$ 从而 $U$ 非空。取 $X:=\bigcap U$。容易证明 $X$ 也是一个归纳子集，从而也容易证明它就是 $U$ 的最小元，现在证明 $(X,0,f)$ 是皮亚诺结构。
 
@@ -378,6 +382,6 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
 
   - $\forall_{Y\subseteq X},0\in Y\land (\forall_{x\in X},x\in Y\implies f(x)\in Y)\implies Y=X$：$Y$ 一定是归纳集，又 $X$ 是最小归纳集，故 $Y=X$。
 
-- **推论 4.6.20（最小的序域是有理数集）**：设 $((\mathbb F,+',\times',0',1'),\leq')$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:((A,+',\times',0',1'),\leq')\text{ 是序域}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $((X,+',\times',0',1'),\leq')$ 与 $((\mathbb Q,+,\times,0,1),\leq)$ 同构。
+- **推论 4.6.21（最小的序域是有理数集）**：设 $((\mathbb F,+',\times',0',1'),\leq')$ 是序域，$U:=\{A\subseteq \mathbb F:((A,+',\times',0',1'),\leq')\text{ 是序域}\}$。那么偏序集 $(U,\subseteq)$ 存在最小元 $X$，且 $((X,+',\times',0',1'),\leq')$ 与 $((\mathbb Q,+,\times,0,1),\leq)$ 同构。
 
-  **证明**：根据引理 4.6.19 可知自然数集在任何一个序域中，从而通过域的加法逆元和乘法逆元的定义可知有理数集也在任何一个序域中，而有理数集本身也是序域，所以有理数集就是最小的序域。（这里的 “在……中” 是指同构意义下的）
+  **证明**：根据引理 4.6.20 可知自然数集在任何一个序域中，从而通过域的加法逆元和乘法逆元的定义可知有理数集也在任何一个序域中，而有理数集本身也是序域，所以有理数集就是最小的序域。（这里的 “在……中” 是指同构意义下的）