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9a943b567c
@ -35,7 +35,7 @@
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注：对比两种定义方式，可以看出：
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1. 两种定义方式都是**公理化**的，而非**构造性**的。
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1. 两种定义方式都是公理化的，而非构造性的。
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即，它都不是告诉你自然数是什么（它们代表数量吗、代表物理对象吗……）——这不是关键，关键是自然数满足的性质（如公理 2.5 就说明自然数满足数学归纳法）——这决定我们怎么利用自然数这一工具。
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@ -123,9 +123,9 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概
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- **定义 2.2.5（正自然数）**：一个自然数被称为正的，当且仅当它不等于 $0$。
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- **引理 2.2.6（后继是整数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
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- **引理 2.2.6（后继是正数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。
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- **命题 2.2.7（正数的感染性）**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。
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- **命题 2.2.7（正数的传染性）**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。
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**证明**：对 $b$ 进行数学归纳即可。
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我们现在介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。我们下面给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，可以证明，我们将要建立的集合公理体系是等价于ZF公理集合论的。
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## 3.1 基本事项
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纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。
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我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些仅适用于集合间的二元关系。
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我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些集合间的二元关系。
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- **定义 3.1.1（子集）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。形式化地说 $A\subseteq B\iff\forall_{x\in A}x\in B$。
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@ -30,17 +31,23 @@
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**证明**：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\nsubseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\nsubseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
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集合的真包含关系显然是一种**偏序关系**，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A\subsetneq B$ 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种**全序关系**。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\left\{1,2\right\}$ 和 $B=\left\{2,3\right\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。
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集合的真包含关系显然是一种**偏序关系**，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A\subsetneq B$ 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种**全序关系**。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\left\{1,2\right\}$ 和 $B=\left\{2,3\right\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。我们将在第8章更正式地讨论偏序集。
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- **定义 3.1.3（集合之相等）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A=B$（称为 $A,B$ 相等），当且即当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
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- **命题 3.1.4（集合的相等关系的基本性质）**：设 $A,B,C$ 为集合，那么：
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- **自反性**：$A=A$。**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
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- **自反性**：$A=A$。
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**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
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- **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。**证明**：根据定义可知。
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- **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。
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**证明**：根据定义可知。
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- **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。
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- **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。
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**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。
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可以证明 “若 $A=B$，则 $x\in A\iff x\in B$”，即集合关于命题 “某个对象 $x$ 是否属于该集合 ” 遵从代入公理。
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这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。
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但另一方面，我们还不能对于任意给定的自然数 $n$ 定义由 $n$ 个对象组成的集合。这将要求重复使用双并公理 $n$ 次，然而 $n$ 次重复的概念尚不曾被严格地定义（没有关于集合的归纳方法）。根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合。现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：
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现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：
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- **公理 3.1.11（分类公理）**：设 $A$ 是一个集合，并对于每个 $x\in A$，设 $P(x)$ 是一个关于 $x$ 的命题。那么存在一个集合 $\{x\in A:P(x)\}$（或 $\{x\in A|P(x)\}$），它的元素恰恰是 $A$ 中使 $P(x)$ 成立的 $x$。即，对于任意对象 $y$，
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y\in\{x\in A:P(x)\}\iff (y\in A\land P(y))
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$$
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分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。
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分类可以看成关于集合 $A$ 和命题 $P$ 的运算。可以证明 “若 $A=B$，则 $\{x\in A:P(x)\}=\{x\in B:P(x)\}$”，即集合关于分类运算遵从代入公理。为了方便指明一个数集的的连续的一段我们使用记号 $A_{l..r}$ 表示 $\{x\in A:l\leqslant x\leqslant r\}$，特别地，我们记 $A_{l..}:=\{x\in A:l\leqslant x\},A_{..r}:=\{x\in A:x\leqslant r\}$。
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利用分类运算和分类公理，我们可以定义集合的其他一些运算。
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设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。
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1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$。
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2. **最大元**：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$。
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3. **恒等式**：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$。
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4. **交换律**：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$。
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5. **结合律**：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。
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6. **分配律**：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$。
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7. **分差法则**：$A\cup(X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$。
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1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$；
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2. **最大元**：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$；
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3. **恒等式**：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$；
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4. **交换律**：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$；
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5. **结合律**：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$；
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6. **分配律**：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$；
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7. **分差法则**：$A\cup(X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$；
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8. **摩根定律**：$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B)$。
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这些公理还不能满足我们的要求，例如把集合中的元素每个都加上 $1$，把 $\left\{1,6, 15\right\}$ 变为 $\left\{2,7,16\right\}$，这是我们现在有的公理无法办到的。我们需要更加强大的数学工具，因此让我们再添加一个公理：
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这些公理还不能满足我们的要求，比如我们不能定义一个集合，满足 $\{0\},\{1\},\cdots$ 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：
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- **公理 3.1.15（替换公理）**：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$
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y\in\{x:P(x)\}\iff P(y)
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该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理**不能**被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：
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该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：
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> 罗素悖论：
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> 即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，发现不管 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，都会引出矛盾。
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为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是**原始对象**（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了**正则公理**。
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为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。
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- **公理 3.2.2 （正则公理）** ：对于一个非空的集合 $A$，$A$ 中至少存在一个元素 $x$ 满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$。
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- **命题 3.2.3（集合不能包含其本身）**：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\not\in A$。
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**证明**：（反证法）假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。$B$ 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 $B$ 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 $A$ 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 $B$ 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。
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命题 3.2.3 排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。（注意我们并没有将万有分类公理引入集合论中，所以不存在公理矛盾）
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但正则公理跟我们刚刚的设想 “层次结构” 有什么关系呢？可以这么理解：若我们刚刚所述的 “层次结构” 存在，那么对于一个集合 $A$，设其所有元素中，所在层次最小的那个元素为 $x$，它所在的层次为 $k$，那么考虑 $x\cap A$ 中的元素，它们所在的层次一定小于 $x$ 所在的层次（即 $k$），那么 $x\cap A$ 一定为空（即正则公理成立），否则与 “$x$ 是 $A$ 中层次最小的元素” 矛盾。
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@ -252,7 +256,7 @@
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为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。
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- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集类（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
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- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集族（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
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x\in \bigcup A\iff \exists_{S\in A},x\in S
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现在我们扩展序偶的概念。
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- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n\}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$。
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- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\mathbb{N}_{1..n}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$。
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那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 和 $(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i=y_i$。
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@ -316,7 +320,7 @@
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a\in \prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\land (\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i)\bigg)
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**证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\right)^{\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。
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**证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\right)^{\mathbb{N}_{1..n}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。
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设 $f:X_1\times X_2\times X_3\to Y$ 是一个函数。我们认为，$f$ 可以被看做是一个变元 $(x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3$ 的函数，或三个变元 $x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3$ 的函数，或两个变元 $x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3$ 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。
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@ -330,7 +334,7 @@
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容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。
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- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\operatorname{card}X$），当且仅当它与集合 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 具有相同的基数。
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- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\operatorname{card}X$），当且仅当它与集合 $\mathbb{N}_{1..n}$ 具有相同的基数。
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- **引理 3.6.3（基数的非退化性）**：$X=\varnothing\iff\operatorname{card}X=0$，即一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集，且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。
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@ -338,7 +342,7 @@
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- **引理 3.6.4（基数的可减性）**：设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
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**证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n^+\}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\{i\in \mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：
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**证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\mathbb{N}_{1..n^+}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\mathbb{N}_{1..n}$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：
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- 若 $f(x)=n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。
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- **定理 3.6.7**：$\mathbb N$ 是无限集。
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**证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。
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**证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\mathbb{N}_{1..n}$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。
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通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leqslant i\leqslant n},f(i)\leqslant M$。
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@ -386,11 +390,11 @@
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3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant \operatorname{card}X+\operatorname{card}Y$，当且仅当 $X,Y$ 不交时等号成立。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
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考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n+m\}$。
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考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb{N}_{1..n+m}$。
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根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\operatorname{card}Z\leqslant n+m$，当且仅当 $Z=\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n+m\}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n+m\}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时等号成立。
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根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\operatorname{card}Z\leqslant n+m$，当且仅当 $Z=\mathbb{N}_{1..n+m}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb{N}_{1..n+m}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时等号成立。
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4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。
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@ -408,19 +412,19 @@
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5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(X\times Y)=\operatorname{card}X\times \operatorname{card}Y$。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
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构造映射 $h:X\times Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant nm\}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。
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构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb{N}_{1..nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。
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容易证明 $h$ 是个双射，证毕。
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6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(Y^X)=(\operatorname{card}Y)^{\operatorname{card}X}$。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。
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**证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb{N}_{1..n}$ 和 $g:Y\to \mathbb{N}_{1..m}$。
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构造映射 $h:Y^X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m^n\}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。
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构造映射 $h:Y^X\to \mathbb{N}_{1..m^n}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。
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此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\{i\in \mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n\}\to \mathbb N$。
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此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb{N}_{1..n}\to \mathbb N$。
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容易证明 $h$ 是个双射，证毕。
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@ -2,7 +2,7 @@
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## 4.1 整数
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- **定义 4.1.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\ominus b$（注意中间不是减号，这只是一个形式记号）。
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- **定义 4.1.1（整数）**：对于任意自然数 $a$ 和 $b$，都存在一个整数 $a\ominus b$（注意中间不是减号，这只是一个形式记号）。
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定义两个整数 $a\ominus b$ 和 $c\ominus d$ 相等，当且仅当 $a+d=b+c$。
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@ -10,11 +10,11 @@
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整数的定义并不需要公理，因为我们可以用集合论的语言来构造整数：我们先对自然数的序偶建立一个等价关系 $\sim$，使得 $(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$，然后令整数 $a \ominus b:=\{(c,d)\in\mathbb N\times \mathbb N:(a,b)\sim(c,d)\}$，表示一个关于 $\sim$ 的等价类。那么此时两个整数相等即为二者是同一个等价类。然后我们再利用替换公理构造出集合 $\mathbb Z:=\{a\ominus b:(a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N\}$。形象的说，所谓整数，就是可以写成两个自然数的形式差的数。
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- **命题 4.1.1.1（整数的相等关系是等价关系）**：整数相等满足自反性、对称性和传递性。
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容易发现，整数相等满足自反性、对称性和传递性。
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- **定义 4.1.2.1（整数的加法）**：定义两个整数的和为 $(a\ominus b)+(c\ominus d):=(a+c)\ominus (b+d)$。
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- **定义 4.1.2（整数的加法和乘法）**：定义两个整数的和为 $(a\overline\quad b)+(c\overline\quad d):=(a+c)\overline\quad (b+d)$。
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- **定义 4.1.2.2（整数的乘法）** ：定义两个整数的积为 $(a\ominus b)\times (c\ominus d):=(ac+bd)\ominus(ad+bc)$。
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定义两个整数的积为 $(a\overline\quad b)\times (c\overline\quad d):=(ac+bd)\overline\quad(ad+bc)$。
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可以证明，整数关于加法和乘法遵从代入公理。
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@ -55,7 +55,7 @@
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**证明**：把整数都表示成 $a\ominus b$ 的形式，注意 $a$ 和 $b$ 此时是自然数，那么再运用自然数的性质即可。
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满足上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个**交换环**（如果去掉恒等式 $xy=yx$ 并补上 $1x=x$ 及右分配律，那么仅能够确定 $\mathbb Z$ 构成一个环。如果你对相关知识感兴趣，可以参考一本抽象代数书籍）。
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满足上述恒等式的集合有一个名称，它们确定整数集 $\mathbb Z$ 构成一个交换环（如果去掉恒等式 $xy=yx$ 并补上 $1x=x$ 及右分配律，那么仅能够确定 $\mathbb Z$ 构成一个环。如果你对相关知识感兴趣，可以参考一本抽象代数书籍）。
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至此，我们成功定义了整数并得到了一些关于整数的基本性质。
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@ -83,7 +83,7 @@
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- **定义 4.1.10（整数的序）**：设 $x$ 和 $y$ 是整数。称 $x>y$ 当且仅当 $x-y$ 是正整数。称 $x<y$ 当且仅当 $x-y$ 是负整数。称 $x\geq y$ 当且仅当 $x>y$ 或 $x=y$。称 $x\leq y$ 当且仅当 $x<y$ 或 $x= y$。
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- **命题 4.1.11（有理数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数，那么
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- **命题 4.1.11（整数的序的基本性质）**：设 $x,y,z$ 为整数，那么
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- **反对称性**：$x<y\iff y>x$；
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- **传递性**：$(x<y\land y<z)\implies x<z$；
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@ -136,7 +136,7 @@
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**证明**：把有理数都表示成 $a\oslash b$ 的形式，再运用整数的性质代入验证即可。
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上述恒等式的集合有一个名称，它们确定有理数集 $\mathbb Q$ 构成一个**域**（同样为抽象代数名词）。
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上述恒等式的集合有一个名称，它们确定有理数集 $\mathbb Q$ 构成一个域（同样为抽象代数名词）。
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现在让我们来定义除法：
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@ -234,11 +234,11 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
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- **引理 4.4.4（指数拆分）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n$ 是整数，那么 $x^{n+1}=x^{n}\times x$。
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**证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.3.6 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.3.6 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
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**证明**：若 $n$ 是自然数，则根据定义 4.4.1 可知命题成立。若 $n$ 是负整数，设 $n=-m$（则 $m$ 为正数），那么 $x^n\times x=\frac{1}{x^m}\times x=\frac{1}{x^m/x}$，根据定义 4.4.1 可知 $x^m/x=x^{m-1}$，故 $x^n\times x=\frac{1}{x^{m-1}}$，再分 $m-1$ 是零还是负数讨论即可。
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- **引理 4.4.5（指数消去率）**：设 $x$ 是一个非零的有理数，$n,m$ 是自然数，那么 $x^{n-m}=\frac{x^n}{x^m}$。
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**证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.3.9。
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**证明**：对 $n$ 归纳，利用引理 4.4.4。
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- **命题 4.4.6（整数指数运算律）**：设 $x,y$ 是非零的有理数，$n,m$ 是整数。
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@ -247,7 +247,7 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
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3. 若 $x,y>0$ 且 $n\neq 0$，那么 $x^n=y^n\implies x=y$。
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4. $|x^n|=|x|^n$。
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**证明**：先利用整数的定义和引理 4.3.10 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
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**证明**：先利用整数的定义和引理 4.4.5 将 $x^n$ 表示成 $x^{a-b}=\frac{x^a}{x^b}$ 的形式（其中 $a,b$ 均为自然数），再证明即可。
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## 4.5 有理数中的空隙
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@ -269,7 +269,7 @@ $\varepsilon$ 接近性的定义是在给极限的定义做铺垫。我们将给
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**证明**：显然 $x\neq 0$。又由于 $(-x)^2=x^2$，所以不妨设 $x$ 是正的，那么存在正整数 $p,q$ 使得 $x=\frac{p}{q}$。根据 $x^2=2$，可得 $p^2=2q^2$。
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我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.4.3，这显然是不可能的。
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我们还没有定义奇数和偶数的概念，不过我们可以暂且使用：$p^2=2q^2$ 可知 $p^2$ 是偶数，即 $p$ 是偶数。不妨设 $p=2k$，其中 $k$ 应是一个小于 $p$ 的正数。那么存在 $(2k)^2=2q^2$ 即 $q^2=2k^2$。我们每次从 $(p,q)$ 递归到 $(q,k)$，而括号内的两数中至少一个变小。也就是说，我们能无限地让括号内的两数 $a,b$ 变小下去（准确地说是轮流除 $2$），并说它们一直是正数，根据引理 4.5.3，这显然是不可能的。
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另一方面，我们可以得到任意接近 $2$ 的平方根的有理数：
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@ -262,13 +262,17 @@
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在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。
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- **命题 5.4.10（用有理数来界定实数）**：设 $x$ 是一个正的实数，那么存在一个正有理数 $q$ 使得 $q<x$，同时存在一个正整数 $N$ 使得 $x<N$。
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- **命题 5.4.10（实数在相邻整数之间）**：设 $x$ 是实数，那么存在唯一的整数 $n$ 使得 $n\leqslant x<n+1$，记 $n$ 为 $x$ 的整部 $n=[x]$。
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**证明**：设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
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**证明**：唯一性反证，现证存在性。设柯西序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n$。
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由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么存在有理数 $c$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\geqslant c>0$。那么易证 $x>\frac{c}{2}$。
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存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$ 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_N-\frac12\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac12$。
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由于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的，那么存在有理数 $M$ 使得对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M$。又根据命题 4.5.1，存在正整数 $N$ 使得 $M<N$，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant M<N$。
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取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leqslant (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正比例数。
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那么对于任意 $n\geqslant N$，$A\leqslant a_n\leqslant A+2-c$。于是 $A\leqslant x\leqslant A+2-c<A+2$（因为排版的历史遗留问题，这里要用到推论 5.4.14，但并不会导致循环论证）。
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根据 $A+1$ 和 $x$ 的大小关系分类讨论，即可构造出 $A\leqslant x<A+1$ 或 $A+1\leqslant x<A+2$。存在性证毕。
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- **推论 5.4.11（阿基米德性质）**：设 $x$ 和 $\varepsilon$ 是任意正实数，那么存在正整数 $M$，使得 $M\varepsilon>x$。
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@ -344,7 +348,7 @@
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- **定义 5.5.4（sup）**：设 $E\subseteq \mathbb R$。若 $E$ 非空且存在上界，那么定义 $\sup E$ 为 $E$ 的上确界；若 $E$ 非空且不存在上界，那么定义 $\sup E:=+\infty$；若 $E$ 为空，那么定义 $\sup E:=-\infty$。
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在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是没有形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。
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在这里，$+\infty$ 和 $-\infty$ 都是形式上的记号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。
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我们举一个例子来说明定义上确界的作用：
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@ -1,3 +1,4 @@
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现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。
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## 6.1 收敛及极限的算律
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@ -13,19 +14,33 @@
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上一章中我们默认 “序列” 指的都是 “有理数序列”，而在这一章中，除特殊标明外，我们默认 “序列” 指的都是 “实数序列”。
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- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
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- **定义 6.1.3（柯西序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当对于任意 $j,k\geqslant N$，$d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 稳定的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 稳定的。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，该序列都是终极 $\varepsilon$ 稳定的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是柯西序列，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $j,k\geqslant N$ 有 $|a_j-a_k|\leqslant \varepsilon$。
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- **定义 6.1.4（等价的序列）**：称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
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- **定义 6.1.4（等价的序列）**：设实数 $\varepsilon>0$。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记 $m=\max(m_a,m_b)$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
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称序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant m$，$d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon$。
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称序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于序列 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$（记 $m=\max(m_a,m_b)$），使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $(b_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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称两个序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的（记作 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}$），当且仅当对于任意实数 $\varepsilon >0$，它们都是终极 $\varepsilon$ 接近的。
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更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。
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看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。
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接下来我们将正式定义收敛和极限。
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- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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- **定义 6.1.5（序列的收敛）**：设实数 $\varepsilon>0$ 和实数 $L$。
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称一个序列 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $n\geqslant N$，$a_n$ 都是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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称一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是终极 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $N\geqslant m$，使得 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
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@ -130,7 +145,7 @@
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## 6.3 序列的上确界和下确界
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- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\geqslant m\})$，其中 $\{a_n:n\geqslant m\}$ 是 $\{a_n:n\in \{i\in\mathbb Z:i\geqslant m\}\}$ 的简写。
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- **定义 6.3.1（序列的 $\sup$）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列，定义 $\sup(a_n)_{n=m}^{\infty}:=\sup(\{a_n:n\in\mathbb Z_{m..}\})$。
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容易发现，一个序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是有界的当且仅当该序列的 $\sup$ 和 $\inf$ 都是实数。
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@ -151,7 +166,9 @@
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有时候，某个序列并不收敛，但一直存在它的元素在某个数附近浮动（如序列 $(1.1,-1.01,1.001,-1.0001,\cdots)$ 不收敛，但对于 $-1$ 和 $1$，都一直有数在它们附近浮动）。为了表示这种情况，我们引入极限点的概念。
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- **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geqslant m$ 使得 $d(a_n,x)\leqslant\varepsilon$。
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- **定义 6.4.1（极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和实数 $x,\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$。
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称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的，当且仅当存在 $n\geqslant m$ 使得 $d(a_n,x)\leqslant\varepsilon$。
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称 $x$ 是持续 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，当且仅当对于任意 $N\geqslant m$，$x$ 都是 $\varepsilon$ 附着于 $(a_n)_{n=N}^{\infty}$ 的。
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@ -165,12 +182,14 @@
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- **命题 6.4.2（极限是极限点）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到实数 $c$。那么 $c$ 是 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 唯一的极限点。
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**证明**：略。
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**证明**：存在性易证。唯一性反证。
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现在我们来考察一种特殊的极限点。
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- **定义 6.4.3（上极限）**：设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是一个序列。我们定义一个新序列 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，其中 $a_N^+:=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$。然后我们定义序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的上极限为 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n:=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$。
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类似地也有关于下极限的记号 $a_N^-$ 和 $\liminf$。
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注意，符号 $\limsup\limits_{n\to\infty} a_n$ 并未关注 $m$：由于 $(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$ 是单减的，所以归纳证明对于任意 $m'\geqslant m$，$\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}=\inf(a_N^+)_{N=m'}^{\infty}$（可以证明，对于 $S\subseteq \mathbb R^*$ 和广义实数 $x$，若存在 $y\in S$ 使得 $y\leqslant x$，那么 $\inf(S\cup\{x\})=\inf(S)$）。
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为什么说上极限是一种特殊的极限点？若上极限有限，它一定是极限点中最大的那个：因为后缀最大值最终会不断趋近于上极限，那么考虑取到最大值的那些位置，这些位置就会不断趋近于上极限，所以上极限是极限点。而且上极限一定会大于等于最大的那个极限点，于是上极限就是最大的那个极限点。
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@ -205,10 +224,12 @@
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证明：对于任意的实数 $\varepsilon>0$，根据命题 6.3.2，存在 $N_1\geqslant m$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_1}^+\geqslant L^+$，又由于对于任意 $N_2\geqslant N_1$，$a_{N_1}^+\geqslant a_{N_2}^+\geqslant L^+$，于是对于任意 $N\geqslant m$，总存在 $N_2\geqslant N$ 使得 $L^++\varepsilon>a_{N_2}^+\geqslant L^+$，那么总存在 $n\geqslant N_2$ 使得 $a_{N_2}^+\geqslant a_n>L^+-\varepsilon$，蕴含 $|a_n-L^+|<\varepsilon$，证毕。
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7. $L^+=L^-=c\implies \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。
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7. $L^+=L^-=c\iff \lim\limits_{n\to\infty}a_n=c$。
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证明：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $N^+\geqslant m$ 使得 $c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant c$，存在 $N^-\geqslant m$ 使得 $c\geqslant a_{N^-}^->c-\varepsilon$，那么对于任意 $n\geqslant \max(N^+,N^-)$，$c+\varepsilon>a_{N^+}^+\geqslant a_n\geqslant a_{N^-}^->c+\varepsilon$，蕴含 $|a_n-c|<\varepsilon$，证毕。
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结合 “收敛序列有界” 和命题 6.4.2，可知 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=c\iff L^+=L^-=c$。
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对于某个收敛于 $L$ 的序列来说，上极限实际上提供了一个序列，使得它的每一元素都大于等于 $L$，且它也收敛于 $L$。这是十分有用的，导出了一些很好的性质：
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@ -354,7 +375,7 @@
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1. $x^\alpha>0$。
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证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geqslant 1},x^{a_n}\geq x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
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证明：设 $x>1$。找到 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 的界 $M$，那么 $\forall_{n\geqslant 1},x^{a_n}\geqslant x^{-M}$，于是 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 正远离零。对于 $0<x<1$ 和 $x=1$，情况类似。
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2. $x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta$。
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@ -373,7 +394,7 @@
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$\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $z_2\leqslant b_n$。
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那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant z_1<z_2\leqslant b_n$，那么 $x^{a_n}\leq x^{z_1}<x^{z_2}\leq x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leq x^{z_1}<x^{z_2}\leq x^{\beta}$。
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那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant z_1<z_2\leqslant b_n$，那么 $x^{a_n}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{\beta}$。
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$x^{\alpha}<x^{\beta}\implies \alpha<\beta$：若 $\alpha>\beta$，则 $x^{\alpha}>x^{\beta}$ 矛盾。若 $\alpha=\beta$，则 $x^{\alpha}=x^{\beta}$（代入公理）矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $\alpha<\beta$。
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@ -391,4 +412,4 @@
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$x^\alpha>y^\alpha\implies x>y$：$x^{\alpha}>y^{\alpha}$ 说明存在 $n\geqslant m$ 使得 $x^{a_n}>y^{a_n}$，那么 $x>y$。
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$x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alpha<y^\alpha$，那么 $x<y$ 矛盾。若 $x^\alpha=y^\alpha$，那么 $(x^\alpha)^{\frac1\alpha}=(y^\alpha)^\frac1\alpha$ 即 $x=y$ 矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $x^\alpha>y^\alpha$。
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$x>y\implies x^{\alpha}>y^{\alpha}$：若 $x^\alpha<y^\alpha$，那么 $x<y$ 矛盾。若 $x^\alpha=y^\alpha$，那么 $(x^\alpha)^{\frac1\alpha}=(y^\alpha)^\frac1\alpha$ 即 $x=y$ 矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $x^\alpha>y^\alpha$。
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