diff --git a/src/第2章 从头开始：自然数.md b/src/第2章 从头开始：自然数.md index 976a4af..9a3392b 100644 --- a/src/第2章 从头开始：自然数.md +++ b/src/第2章 从头开始：自然数.md @@ -1,28 +1,28 @@ -### 第 2 章 从头开始：自然数 +如果要按照尽可能严格的方式进行，我们不得不从最基础的内容开始讲起：数的概念及性质。什么是数，以及为什么代数法则总是起作用？这是一个值得探讨的问题。即使有的性质和命题看起来是十分显然的，但是证明它可能并不容易。下面我们将要介绍自然数系 $\mathbb N$。毫无疑问，这是所有数系中最基本的。因为随后我们将会使用自然数来构造整数，整数又被用来构造有理数，有理数被用于构造实数，而实数又被用来构造复数。于是，如果我们想要从最基本的内容开始，我们必须考察自然数。 -#### 2.1 Peano 公理 +## 2.1 皮亚诺公理 -Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后继，或 $n$ 增长后得到的结果，它是唯一的）的公理： +皮亚诺公理是关于 $0$ 以及增长运算 $^+$（将 $n^+$ 称为 $n$ 的后继，或 $n$ 增长后得到的结果，它是唯一的）的公理： -- **公理 2.1.1**：$0$ 是一个自然数。 +- **公理 2.1.1（零存在）**：$0$ 是一个自然数。 -- **公理 2.1.2**：若 $n$ 是自然数，则 $n++$ 也是自然数。 +- **公理 2.1.2（后继存在）**：若 $n$ 是自然数，则 $n^+$ 也是自然数。 -定义 $1$ 是数 $0++$，$2$ 是数 $(0++)++$，…… 这里只是自然数的一种表示方法。 +定义 $1$ 是数 $0^+$，$2$ 是数 $(0^+)^+$，…… 这里只是自然数的一种表示方法。 -- **公理 2.1.3**：$0$ 不是任何自然数的后继，即对于每个自然数 $n$，都有 $n++\neq 0$。 +- **公理 2.1.3（零不是任何数的后继）**：$0$ 不是任何自然数的后继，即对于每个自然数 $n$，都有 $n^+\neq 0$。 -- **公理 2.1.4**：不同的自然数有不同的后继。即，若 $n,m$ 为自然数且 $n\neq m$，则 $n++\neq m++$。 +- **公理 2.1.4（后继不相同）**：不同的自然数有不同的后继。即，若 $n,m$ 为自然数且 $n\neq m$，则 $n^+\neq m^+$。 -- **公理 2.1.5（数学归纳原理）**：设 $P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(0)$ 是真的，并假设有 “若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n$，$P(n)$ 都是真的。 +- **公理 2.1.5（数学归纳原理）**：设 $P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(0)$ 是真的，并假设有 “若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n$，$P(n)$ 都是真的。 -公理 2.1~2.5 就是关于自然数的所谓的 Peano 公理。我们据此作出假设： +公理 2.1~2.5 就是关于自然数的所谓的皮亚诺公理。我们据此作出假设： - **假设 2.1.6**：存在一个数系 $\mathbb{N}$，称其元素为自然数，公理 2.1.1~2.1.5 对于此数系成立。 这样的数系可能有很多（比如每个元素可以是 $0,1,2,\cdots$，也可以是罗马数字），但这些集合都是同构（称为皮亚诺结构）的，或者说只有命名之分，所以我们仅仅单独使用一个自然数系。 -这里再插入一个 “更正式的定义”： +这里再插入一个 “更正式的定义”（我们暂时没有采用这个公理，因为我们还没有定义集合）： > 一个皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组 $(X,x,f)$： > @@ -35,9 +35,9 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后 注：对比两种定义方式，可以看出： -1. 两种定义方式都是公理化的，而非构造性的。 +1. 两种定义方式都是**公理化**的，而非**构造性**的。 - 即，都不是告诉你自然数是什么（它们代表数量吗、代表物理对象吗……）——这不是关键，关键是自然数满足的性质（如公理 2.5 就说明自然数满足数学归纳法）——这决定我们怎么利用自然数这一工具。 + 即，它都不是告诉你自然数是什么（它们代表数量吗、代表物理对象吗……）——这不是关键，关键是自然数满足的性质（如公理 2.5 就说明自然数满足数学归纳法）——这决定我们怎么利用自然数这一工具。 2. 第一种定义方式，是直接地说明了运用自然数时所需要的种种性质。 @@ -45,7 +45,7 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后 （不严谨的）证明：首先根据公理 2.1.1~2.1.4 可以看出，自然数中存在一条以 $0$ 开头的无限长的链的结构。那么我们只用说明，整个自然数结构中，除了这条链之外没有其他东西。 - 定义命题 $P(n)$ 表示 $n=0$ 或 $\exist_m,m++=n$。根据公理 2.1.5，可证对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都为真。 + 定义命题 $P(n)$ 表示 $n=0$ 或 $\exist_m,m^+=n$。根据公理 2.1.5，可证对于任意自然数 $n$，$P(n)$ 都为真。 那么如果整个自然数结构中，除了那条链之外还存在其他东西，那么容易发现这些 “自然数” 的 $P$ 要么为假，要么是非良定义的（出现循环递归定义的情况），那么就和所有自然数的 $P$ 都为真矛盾了。 @@ -53,25 +53,25 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后 公理化的一个结果是，我们可以通过递归的方法定义无限数列了： -- **命题 2.1.7（递归定义）**：设对于每个自然数 $n$，都有某个函数 $f_n:\mathbb N\to \mathbb N$。设 $c$ 是一个自然数，那么可以对每个自然数 $n$ 指定唯一一个自然数 $a_n$，使得 $a_0=c$ 且 $a_{n++}=f_n(a_n)$。 +- **命题 2.1.7（递归定义）**：设对于每个自然数 $n$，都有某个函数 $f_n:\mathbb N\to \mathbb N$。设 $c$ 是一个自然数，那么可以对每个自然数 $n$ 指定唯一一个自然数 $a_n$，使得 $a_0=c$ 且 $a_{n^+}=f_n(a_n)$。 **证明**：命题用意在于证明 $a_n$ “存在” 且 “唯一”。 - 首先，$a_0$ 存在，且有 ”若 $a_n$ 存在，那么由 $a_{n++}=f_n(a_n)$ 可知 $a_{n++}$ 也存在”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都存在。 + 首先，$a_0$ 存在，且有 ”若 $a_n$ 存在，那么由 $a_{n^+}=f_n(a_n)$ 可知 $a_{n^+}$ 也存在”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都存在。 - 其次，对于 $n=0$，除了初始给 $a_0$ 指定值 $c$ 之外，根据公理 2.1.3 没有其他的定义 $a_{n++}:=f_n(a_n)$ 再次定义 $a_0$ 的值，故 $a_0$ 唯一，且有 “若 $a_n$ 唯一，它将赋予 $a_{n++}$ 一个单一的值 $a_{n++}:=f_n(a_n)$，且根据公理 2.1.4 可知没有其他的定义 $a_{m++}:=f_m(a_m)$ 能再次定义 $a_{n++}$，则 $a_{n++}$ 唯一”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都唯一。 + 其次，对于 $n=0$，除了初始给 $a_0$ 指定值 $c$ 之外，根据公理 2.1.3 没有其他的定义 $a_{n^+}:=f_n(a_n)$ 再次定义 $a_0$ 的值，故 $a_0$ 唯一，且有 “若 $a_n$ 唯一，它将赋予 $a_{n^+}$ 一个单一的值 $a_{n^+}:=f_n(a_n)$，且根据公理 2.1.4 可知没有其他的定义 $a_{m^+}:=f_m(a_m)$ 能再次定义 $a_{n^+}$，则 $a_{n^+}$ 唯一”，根据公理 2.1.5，对于每个自然数 $n$，$a_n$ 都唯一。 这是公理化结果中的一个较为模板性的结果。我们可以用递归定义的方法来定义加法和乘法。 -#### 2.2 加法 +## 2.2 加法 让我们定义加法，定义 $n$ 加上 $m$ 表示将 $n$ 增长 $m$ 次的结果，其准确定义如下： -- **定义 2.2.1（自然数的加法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0+m:=m$ 为一自然数。现归纳地假定已定义好 $n+m$ 为一自然数，那么定义 $(n++)+m:=(n+m)++$ 也为一自然数。 +- **定义 2.2.1（自然数的加法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0+m:=m$ 为一自然数。现归纳地假定已定义好 $n+m$ 为一自然数，那么定义 $(n^+)+m:=(n+m)^+$ 也为一自然数。 根据命题 2.1.7，对于每个自然数 $n$， $n+m$ 都有定义且唯一。（为了方便，以后这句话以及上面过程中用于强调加法封闭性（递归定义要求封闭性）的相关语句可能省略） -我们要证明加法的两个基本运算定律：交换律和结合律。为了较为清晰地显现出 $n+m$ 最初始的定义（且防止误用还未证明的交换律或结合律），我们暂时用 $f_m(n)$ 表示 $n+m$，那么 $f_m(0)=m,f_{m}(n++)=f_m(n)++$。 +我们要证明加法的两个基本运算定律：交换律和结合律。为了较为清晰地显现出 $n+m$ 最初始的定义（且防止误用还未证明的交换律或结合律），我们暂时用 $f_m(n)$ 表示 $n+m$，那么 $f_m(0)=m,f_{m}(n^+)=f_m(n)^+$。 - **命题 2.2.2（加法交换律）**：对于任何自然数 $n$ 和 $m$，$n+m=m+n$。 @@ -83,13 +83,13 @@ Peano 公理是关于 $0$ 以及增长运算 $++$（将 $n++$ 称为 $n$ 的后 $$ \begin{aligned} -f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\ -\iff f_m(n)++&=f_{n++}(m)\\ -\iff f_n(m)++&=f_{n++}(m) +&f_m(n^+)=f_{n^+}(m)\\ +\iff &f_m(n)^+=f_{n^+}(m)\\ +\iff &f_n(m)^+=f_{n^+}(m) \end{aligned} $$ - 同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)++=n++=f_{n++}(0)\\f_n(m++)++=(f_n(m)++)++=f_{n++}(m)++=f_{n++}(m++)\end{cases}$。 + 同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)^+=n^+=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)^+=(f_n(m)^+)^+=f_{n^+}(m)^+=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$。 - **命题 2.2.3（加法结合律）**：对于任何自然数 $a,b,c$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。 @@ -101,9 +101,9 @@ f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\ $$ \begin{aligned} -f_c((a++)+b)&=f_{b+c}(a++)\\ -\iff f_c((a+b)++)&=f_{b+c}(a)++\\ -\iff f_c(a+b)++&=f_{b+c}(a)++ +&f_c((a^+)+b)=f_{b+c}(a^+)\\ +\iff &f_c((a+b)^+)=f_{b+c}(a)^+\\ +\iff &f_c(a+b)^+=f_{b+c}(a)^+ \end{aligned} $$ @@ -115,7 +115,7 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 当 $a=0$ 时，$0+b=0+c$，即 $b=c$。 - 归纳地假设 $a+b=a+c\to b=c$。若 $(a++)+b=(a++)+c$，那么 $(a+b)++=(a+c)++$，根据公理 2.1.4，可知 $a+b=a+c$，那么 $b=c$。 + 归纳地假设 $a+b=a+c\to b=c$。若 $(a^+)+b=(a^+)+c$，那么 $(a+b)^+=(a+c)^+$，根据公理 2.1.4，可知 $a+b=a+c$，那么 $b=c$。 这样，我们就能做等式两边的化简了。 @@ -123,17 +123,19 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 - **定义 2.2.5（正自然数）**：一个自然数被称为正的，当且仅当它不等于 $0$。 -- **引理 2.2.6**：对于任意自然数 $n$，$n++$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。 +- **引理 2.2.6（后继是整数）**：对于任意自然数 $n$，$n^+$ 都是正的。**证明**：根据公理 2.1.3 可证。 -- **命题 2.2.7**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。**证明**：对 $b$ 归纳。 +- **命题 2.2.7（正数的感染性）**：若 $a$ 是正的且 $b$ 是自然数，那么 $a+b$ 是正的。 -- **推论 2.2.8**：$a+b=0$ 当且仅当 $a=0$ 且 $b=0$。 + **证明**：对 $b$ 进行数学归纳即可。 -- **引理 2.2.9**：设 $b$ 是正数，那么恰存在一个自然数 $a$，使得 $a++=b$。 +- **推论 2.2.8（零的非退化性）**：$a+b=0$ 当且仅当 $a=0$ 且 $b=0$。 + +- **引理 2.2.9（正数的前驱的存在性）**：设 $b$ 是正数，那么恰存在一个自然数 $a$，使得 $a^+=b$。 - **证明**：设命题 $P(b)$ 表示 $b=0$ 或恰存在一个自然数 $a$，使得 $a++=b$。 + **证明**：设命题 $P(b)$ 表示 $b=0$ 或恰存在一个自然数 $a$，使得 $a^+=b$。 - 对 $b$ 归纳，$P(0)$ 显然成立。假设 $P(b)$ 成立，根据公理 2.1.4，恰存在一个自然数 $a=b$ 使得 $a++=(b++)$，故 $P(b++)$ 成立。则对于任意自然数 $b$，$P(b)$ 成立。 + 对 $b$ 归纳，$P(0)$ 显然成立。假设 $P(b)$ 成立，根据公理 2.1.4，恰存在一个自然数 $a=b$ 使得 $a^+=(b^+)$，故 $P(b^+)$ 成立。则对于任意自然数 $b$，$P(b)$ 成立。 当 $b$ 为正数时，$P(b)$ 成立，而 $b\neq 0$，故原引理成立。 @@ -141,65 +143,67 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 一旦有了加法的概念，我们可以开始定义序的概念。 -- **定义 2.2.10（自然数的序）**：设 $n$ 和 $m$ 是自然数，称 $n$ 大于等于 $m$（记作 $n\geq m$ 或 $m\leq n$），当且仅当存在自然数 $a$，使得 $n=m+a$。 +- **定义 2.2.10（自然数的序）**：设 $n$ 和 $m$ 是自然数，称 $n$ 大于等于 $m$（记作 $n\geqslant m$ 或 $m\leqslant n$），当且仅当存在自然数 $a$，使得 $n=m+a$。 - 称 $n$ 严格大于 $m$（记作 $n>m$ 或 $mm$ 或 $mm$ 当且仅当存在正数 $a$ 使得 $n=m+a$。**证明**：根据定义可推得。 - **命题 2.2.12（自然数的序的基本性质）**：设 $a,b,c$ 为自然数，那么： - - **反对称性**：若 $a\geq b$ 且 $b\geq a$，则 $a=b$。 + - **反对称性**：若 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant a$，则 $a=b$。 证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=a+m$，代入得 $m+n=0$，根据推论 2.2.8，$m=n=0$，那么 $a=b$。 - - **传递性**：若 $a\geq b$ 且 $b\geq c$，则 $a\geq c$。 + - **传递性**：若 $a\geqslant b$ 且 $b\geqslant c$，则 $a\geqslant c$。 - 证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=c+m$，代入得 $a=c+(m+n)$，那么 $a\geq c$。 + 证明：根据定义，存在自然数 $n,m$ 满足 $a=b+n$ 且 $b=c+m$，代入得 $a=c+(m+n)$，那么 $a\geqslant c$。 - **三歧性**：$aa$ 中恰有一个是真的。 证明：根据定义和反对称性，可以证明三个命题中不可能有多个为真，下面证明三个命题中至少一个为真。 - 对 $b$ 进行归纳。当 $b=0$ 时，对于任意自然数 $a$，$a=a+0$，则 $a\geq b$，故 $a=b$ 或 $a>b$。 + 对 $b$ 进行归纳。当 $b=0$ 时，对于任意自然数 $a$，$a=a+0$，则 $a\geqslant b$，故 $a=b$ 或 $a>b$。 - 假设对 $b$ 我们已经证明了命题，现在要对 $b++$ 证明命题。 + 假设对 $b$ 我们已经证明了命题，现在要对 $b^+$ 证明命题。 - 对于 $a\leq b$，由于 $b\leq (b++)$，故仍然有 $a\leq (b++)$； + 对于 $a\leqslant b$，由于 $b\leqslant (b^+)$，故仍然有 $a\leqslant (b^+)$； - 对于 $a>b$，说明存在正数 $k$ 满足 $a=b+k$，根据引理 2.2.9，存在一个自然数 $k'$ 满足 $a=b+(k'++)=(b++)+k'$，故 $a\geq (b++)$。 + 对于 $a>b$，说明存在正数 $k$ 满足 $a=b+k$，根据引理 2.2.9，存在一个自然数 $k'$ 满足 $a=b+(k'^+)=(b^+)+k'$，故 $a\geqslant (b^+)$。 -其实也是全序的基本性质。作为补充的是，三歧性等价于完全性（$a\geq b$ 或 $b\geq a$），完全性蕴含自反性（$a\geq a$）；以及自然数的序还满足加法保序。 +其实也是全序的基本性质。作为补充的是，三歧性等价于完全性（$a\geqslant b$ 或 $b\geqslant a$），完全性蕴含自反性（$a\geqslant a$）；以及自然数的序还满足加法保序。 序的性质使得我们得到数学归纳原理的若干更强的形式： -- **命题 2.2.13（向前数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geq n_0$ 时，若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geq n_0$，$P(n)$ 都是真的。 +- **命题 2.2.13（向前数学归纳原理）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geqslant n_0$ 时，若 $P(n)$ 是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geqslant n_0$，$P(n)$ 都是真的。 **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $nn_0$ 或 “假设 $P(n)$ 是真的，那么对于每个自然数 $m\leq n$，$P(m)$ 都是真的” 成立。类似地利用序的三歧性和原始的数学归纳原理证明即可。 + **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $n>n_0$ 或 “假设 $P(n)$ 是真的，那么对于每个自然数 $m\leqslant n$，$P(m)$ 都是真的” 成立。类似地利用序的三歧性和原始的数学归纳原理证明即可。 -可见，利用序的性质，现在数学归纳法已经不局限于从 $0$ 开始推知整个自然数系了，它可以应用于更紧的要求内。 +由此可见，利用序的性质，现在数学归纳法已经不局限于从 $0$ 开始推知整个自然数系了，它可以应用于更紧的要求内。 那么，当我们以后使用数学归纳原理的“能较为显然地用类似方法证明的”其他拓展形式时，将不再作证明。 -- **命题 2.2.15（强归纳法原理/第二数学归纳法）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geq n_0$ 时，若 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leq n'\leq n$ 都是真的，则 $P(n++)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geq n_0$，$P(n)$ 都是真的。 +- **命题 2.2.15（强归纳法原理/第二数学归纳法）**：设 $n_0$ 是一个自然数，$P(n)$ 是关于自然数的一个性质。假设 $P(n_0)$ 是真的，并假设有 “当 $n\geqslant n_0$ 时，若 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leqslant n'\leqslant n$ 都是真的，则 $P(n^+)$ 也是真的”。那么对于每个自然数 $n\geqslant n_0$，$P(n)$ 都是真的。 - **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leq n'\leq n$ 都是真的。 + **证明**：设 $Q(n)$ 表示 $P(n')$ 对于所有 $n_0\leqslant n'\leqslant n$ 都是真的。 - 对 $n$ 归纳。当 $n=n_0$ 时，$Q(n)$ 是真的。当 $n\geq n_0$ 时，归纳地假设 $Q(n)$ 是真的，那么 $P(n++)$ 是真的，$Q(n++)$ 也是真的。根据数学归纳原理，对于任意 $n\geq n_0$，$Q(n)$ 都是真的。则原命题亦得证。 + 对 $n$ 归纳。当 $n=n_0$ 时，$Q(n)$ 是真的。当 $n\geqslant n_0$ 时，归纳地假设 $Q(n)$ 是真的，那么 $P(n^+)$ 是真的，$Q(n^+)$ 也是真的。根据数学归纳原理，对于任意 $n\geqslant n_0$，$Q(n)$ 都是真的。则原命题亦得证。 补充一个性质： -- **命题 2.2.16（加法保序）**：设 $a,b,c$ 为自然数，$a\geq b$ 当且仅当 $a+c\geq b+c$。**证明**：根据定义可知。 +- **命题 2.2.16（加法保序）**：设 $a,b,c$ 为自然数，$a\geqslant b$ 当且仅当 $a+c\geqslant b+c$。 -#### 2.3 乘法 + **证明**：根据定义可知。 + +## 2.3 乘法 就像加法是重复的增长运算一样，乘法是重复的加法。 -- **定义 2.3.1（自然数的乘法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0\times m:=m$。现归纳地假定已定义好 $n\times m$，那么定义 $(n++)\times m:=(n\times m)+m$。 +- **定义 2.3.1（自然数的乘法）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $0\times m:=m$。现归纳地假定已定义好 $n\times m$，那么定义 $(n^+)\times m:=(n\times m)+m$。 - **命题 2.3.2（乘法交换律）**：对于任何自然数 $n$ 和 $m$，$n\times m=m\times n$。 @@ -210,10 +214,12 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 归纳地假设 $f_m(n)=f_n(m)$，欲证： $$ - \begin{aligned}f_m(n++)&=f_{n++}(m)\\\iff f_m(n)+m&=f_{n++}(m)\\\iff f_n(m)+m&=f_{n++}(m)\end{aligned} + \begin{aligned}&f_m(n^+)=f_{n^+}(m)\\\iff &f_m(n)+m=f_{n^+}(m)\\\iff &f_n(m)+m=f_{n^+}(m)\end{aligned} $$ - 同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n++}(0)\\f_n(m++)+(m++)=(f_n(m)+n)+(m++)=f_{n++}(m)+(n++)=f_{n++}(m++)\end{cases}$。 + 同样再对 $m$ 进行归纳即可： + + $$\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)+(m^+)=(f_n(m)+n)+(m^+)=f_{n^+}(m)+(n^+)=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$$ 为了简便，我们现在将 $n\times m$ 简写为 $nm$，并按习惯规定先乘后加。 @@ -223,15 +229,15 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 - **命题 2.3.4（乘法分配律）**：对于任何自然数 $a,b,c$，有 $a(b+c)=ab+ac$。 - **证明**：乘法的定义中 $(n++)\times m=n\times m+m$ 其实奠定了乘法分配律的基本情形。然后对 $a$ 归纳即可。 + **证明**：乘法的定义中 $(n^+)\times m=n\times m+m$ 其实奠定了乘法分配律的基本情形。然后对 $a$ 归纳即可。 - **命题 2.3.5（乘法结合律）**：对于任何自然数 $a,b,c$ 有 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。 **证明**：和加法类似，对 $a$ 归纳。过程中需要用到乘法分配律。 -- **命题 2.3.6（乘法保序）**：设 $a,b$ 为自然数。若 $c$ 为自然数且 $a\leq b$，则 $ac\leq bc$；若 $c$ 为正数且 $an$，$(0,n)$ 即为一组合法解。 + - 对于 $q>n$，$(0,n)$ 即为一组合法解。 - - 对于 $00$。考虑使用命题 2.2.14 证明： + - 对于 $00$。考虑使用命题 2.2.14 证明： - 当 $q=n$ 时，$(1,0)$ 即为一组合法解。 + 当 $q=n$ 时，$(1,0)$ 即为一组合法解。 - 当 $00$），使得 $n=(q++)m+r=qm+(m+r)$。 + 当 $00$），使得 $n=(q^+)m+r=qm+(m+r)$。 - 该等式蕴含了 $n>m+r$，因为 $q>0,m>0$。那么根据归纳，$P(m+r)$ 成立，$Q_{m+r}(q)$ 成立，不妨设对应解为 $(m',r')$。 + 该等式蕴含了 $n>m+r$，因为 $q>0,m>0$。那么根据归纳，$P(m+r)$ 成立，$Q_{m+r}(q)$ 成立，不妨设对应解为 $(m',r')$。 - 那么 $n=qm+(m+r)=qm+(qm'+r')=q(m+m')+r'$，于是我们构造出了一组解 $(m+m',r')$，同时 $m+m'\geq m>0$。那么 $Q'_n(q)$ 成立。 + 那么 $n=qm+(m+r)=qm+(qm'+r')=q(m+m')+r'$，于是我们构造出了一组解 $(m+m',r')$，同时 $m+m'\geqslant m>0$。那么 $Q'_n(q)$ 成立。 - 于是对于任意 $0