From a25ea7fe0bf67162577c10f8a1071d2c8eee93ad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ez_lcw Date: Thu, 15 Sep 2022 19:33:21 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=AE=8C=E6=88=90=201.=20#5=E5=9C=A8cases?= =?UTF-8?q?=E4=B8=AD=E4=B8=8D=E4=BD=BF=E7=94=A8if=E6=88=96=E8=80=85?= =?UTF-8?q?=E2=80=9C=E5=A6=82=E6=9E=9C=E2=80=9D=E8=BF=99=E6=A0=B7=E7=9A=84?= =?UTF-8?q?=E6=8F=90=E7=A4=BA=E8=AF=8D=202.=20#8=E4=BD=BF=E7=94=A8?= =?UTF-8?q?=E2=80=9C=E6=9C=89=E7=90=86=E6=95=B0=E2=80=9D=E8=80=8C=E9=9D=9E?= =?UTF-8?q?=E2=80=9C=E6=AF=94=E4=BE=8B=E6=95=B0=E2=80=9D=E7=9A=84=E7=A7=B0?= =?UTF-8?q?=E5=91=BC?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/第10章 函数的微分.md | 2 +- src/第2章 从头开始：自然数.md | 6 ++---- ...4章 整数和比例数.md => 第4章 整数和有理数.md} | 0 src/第5章 实数.md | 2 +- src/第6章 序列的极限.md | 16 ++++++++-------- src/第7章 级数.md | 17 +++++++---------- src/第8章 无限集合.md | 8 +++++--- src/第9章 R上的连续函数.md | 4 ++-- 8 files changed, 26 insertions(+), 29 deletions(-) rename src/{第4章 整数和比例数.md => 第4章 整数和有理数.md} (100%) diff --git a/src/第10章 函数的微分.md b/src/第10章 函数的微分.md index 5966b57..a934e28 100644 --- a/src/第10章 函数的微分.md +++ b/src/第10章 函数的微分.md @@ -22,7 +22,7 @@ //连续不一定可微。例如绝对值函数 $f(x):=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可微。 -//利用同样的思路，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\text{if }\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\text{if }\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{otherwise}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 $f(\frac1n):=a_n$ 把序列的反例放到函数啥上。 +//利用同样的思路，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{true}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 $f(\frac1n):=a_n$ 把序列的反例放到函数啥上。 - **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。 diff --git a/src/第2章 从头开始：自然数.md b/src/第2章 从头开始：自然数.md index 0586653..26d24e2 100644 --- a/src/第2章 从头开始：自然数.md +++ b/src/第2章 从头开始：自然数.md @@ -217,9 +217,7 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 \begin{aligned}&f_m(n^+)=f_{n^+}(m)\\\iff &f_m(n)+m=f_{n^+}(m)\\\iff &f_n(m)+m=f_{n^+}(m)\end{aligned} $$ - 同样再对 $m$ 进行归纳即可： - - $\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)+(m^+)=(f_n(m)+n)+(m^+)=f_{n^+}(m)+(n^+)=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$ + 同样再对 $m$ 进行归纳即可：$\begin{cases}f_n(0)+0=0=f_{n^+}(0)\\f_n(m^+)+(m^+)=(f_n(m)+n)+(m^+)=f_{n^+}(m)+(n^+)=f_{n^+}(m^+)\end{cases}$ 为了简便，我们现在将 $n\times m$ 简写为 $nm$，并按习惯规定先乘后加。 @@ -287,4 +285,4 @@ $b=c\to a+b=a+c$ 是显然的，但由于我们还没建立减法和负数的概 - **定义 2.3.9（自然数的指数运算）**：设 $m$ 是自然数，首先定义 $m^0:=1$。现归纳地假定已定义好 $m^n$，那么定义 $m^{n^+}:=m^n\times m$。 -我们暂时不更深入地建立指数运算的理论，等到我们定义了比例数（即有理数）后再探讨。 +我们暂时不更深入地建立指数运算的理论，等到我们定义了有理数后再探讨。 diff --git a/src/第4章 整数和比例数.md b/src/第4章 整数和有理数.md similarity index 100% rename from src/第4章 整数和比例数.md rename to src/第4章 整数和有理数.md diff --git a/src/第5章 实数.md b/src/第5章 实数.md index c542481..92669fe 100644 --- a/src/第5章 实数.md +++ b/src/第5章 实数.md @@ -268,7 +268,7 @@ 存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $i,j\geqslant N$ 有 $|a_i-a_j|\leq\frac12$。那么对于任意 $n\geqslant N$，$a_N-\frac12\leqslant a_n\leqslant a_N+\frac12$。 - 取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leqslant (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正比例数。 + 取 $A=[a_N-\frac12]$，则 $0\leqslant (a_N-\frac12)-A<1$。记 $c=1-((a_N-\frac{1}{2})-A)$ 为正有理数。 那么对于任意 $n\geqslant N$，$A\leqslant a_n\leqslant A+2-c$。于是 $A\leqslant x\leqslant A+2-c1 + 0&|x|<1\\ + 1&x=1\\ + \text{未定义}&x=-1\\ + \text{未定义}&|x|>1 \end{cases} $$ @@ -365,13 +365,13 @@ **证明**：由定义可得。 -- **引理 6.7.4**：设比例数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。 +- **引理 6.7.4**：设有理数 $q$ 和收敛序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n>0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n^q=(\lim\limits_{n\to\infty}a_n)^q$。 **证明**：不妨设 $q\geqslant 0$（$q<0$ 同理）。记 $L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$，$b_n=a_n^q$。根据引理 6.7.3，对于任意 $N\geqslant m$，由于 $a_N^+=\sup(a_n)_{n=N}^{\infty}$，那么 $b_N^+=\sup(a_n^q)_{n=N}^{\infty}=(a_N^+)^q$。又由于 $L_a^+=\inf(a_N^+)_{N=m}^{\infty}$，于是 $L_b^+=\inf((a_N^+)^q)_{N=m}^{\infty}=(L_a^+)^q$。 同理可证 $L_b^-=(L_a^-)^q$。根据命题 6.4.4.7，有 $L_a^-=L_a^+=L$，那么 $L_b^-=L_b^+=L^q$，那么 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到 $L^q$。 -- **命题 6.7.5（实数的指数运算的基本性质）**：设实数 $x,y>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\beta=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是比例数序列 。 +- **命题 6.7.5（实数的指数运算的基本性质）**：设实数 $x,y>0$ 和实数 $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,\beta=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$，其中 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 都是有理数序列 。 1. $x^\alpha>0$。 @@ -389,7 +389,7 @@ 证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。 - $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}0$ 是比例数。那么级数 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^q}$ 当 $q>1$ 时收敛而当 $q\leqslant 1$ 时发散。 +- **推论 7.3.5**：设 $q>0$ 是有理数。那么级数 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^q}$ 当 $q>1$ 时收敛而当 $q\leqslant 1$ 时发散。 **证明**：当 $q>0$ 时，$\frac{1}{n^q}$ 是正的减的，于是根据柯西准则，只需关注级数 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}2^k\frac{1}{2^{kq}}=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{k(q-1)}}$。 diff --git a/src/第8章 无限集合.md b/src/第8章 无限集合.md index f96983d..fe97b92 100644 --- a/src/第8章 无限集合.md +++ b/src/第8章 无限集合.md @@ -78,7 +78,7 @@ **证明**：令 $f:\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{0\})\to \mathbb Q$ 满足 $f(a,b):=\frac{a}{b}$。易证 $f$ 是满射，于是 $f(\mathbb Z\times (\mathbb Z\setminus\{0\}))=\mathbb Q$，那么 $\mathbb Q$ 是至多可数集。又由于 $\mathbb Z\subseteq \mathbb Q$ 不是有限集蕴含了 $\mathbb Q$ 不是有限集，故 $\mathbb Q$ 是可数集。 -推论 8.1.13 得到的一个很有趣的事实是，我们可以把所有比例数按某种顺序排在一个无限序列上，这导致了一个更有趣的事实——对于任意 $x\in \mathbb R$，$x$ 都是该序列的极限点（于是，这还蕴含了序列的极限点的个数可以是无限多的）。 +推论 8.1.13 得到的一个很有趣的事实是，我们可以把所有有理数按某种顺序排在一个无限序列上，这导致了一个更有趣的事实——对于任意 $x\in \mathbb R$，$x$ 都是该序列的极限点（于是，这还蕴含了序列的极限点的个数可以是无限多的）。 #### 8.2 在无限集合上的求和 @@ -132,7 +132,7 @@ 第二部分：当 $f(n,m)$ 可以为负时。 - 构造 $f_+:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$ 和 $f_-:f:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$，满足 $f_+(n,m):=\begin{cases}f(n,m)&\text{if }f(n,m)> 0\\0&\text{otherwise}\end{cases}$ 和 $f_-(n,m):=\begin{cases}-f(n,m)&\text{if }f(n,m)<0\\0&\text{otherwise}\end{cases}$，那么 $f_+(n,m)$ 和 $f_-(n,m)$ 都非负且 $f(n,m)=f_+(n,m)-f_-(n,m)$。 + 构造 $f_+:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$ 和 $f_-:f:\mathbb N\times \mathbb N\to \mathbb R$，满足 $f_+(n,m):=\begin{cases}f(n,m)&f(n,m)> 0\\0&f(n,m)\leq 0\end{cases}$ 和 $f_-(n,m):=\begin{cases}-f(n,m)&f(n,m)<0\\0&f(n,m)\geq 0\end{cases}$，那么 $f_+(n,m)$ 和 $f_-(n,m)$ 都非负且 $f(n,m)=f_+(n,m)-f_-(n,m)$。 根据 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f(g(k))$ 绝对收敛，易证 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f_+(g(k))$ 和 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f_+(g(k))$ 都绝对收敛（从而收敛）。 @@ -238,6 +238,7 @@ 归纳地假设对于任意 $-1\leq i0\\0&\text{if }x=0\\-1&\text{if }x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，那么 $f$ 在 $0$ 处是间断的，但 $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的，$f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。 +注意定义域 $X$ 很重要，例如：设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，那么 $f$ 在 $0$ 处是间断的，但 $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的，$f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。 - **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的： @@ -296,7 +296,7 @@ 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。我们需找到 $\delta>0$，使得对于任意 $y\in [f(a),f(b)]$ 且 $|y-y_0|\leq \delta$，令 $x=f^{-1}(y)$，都有 $|x-x_0|\leq\varepsilon$。 - 设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&\text{if }x_0-\varepsilon\geq a\\+\infty&\text{if }x_0-\varepsilonb\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 $\delta>0$ 且满足条件。 + 设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&x_0-\varepsilon\geq a\\+\infty&x_0-\varepsilonb\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 $\delta>0$ 且满足条件。 引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。