From a3aa4f4df1f736afa4b0a453056e65caf1d18a86 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: ez_lcw <ez_lcw@foxmail.com>
Date: Thu, 15 Sep 2022 16:21:03 +0800
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index 4417a14..80c7e9c 100644
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@@ -26,7 +26,9 @@
 
 - **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
 
-- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。**证明**：略。
+- **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。
+
+    **证明**：联合命题 10.1.4 和 “$f$ 在任何孤立点 $x_0$ 处都连续” 这一事实。
 
 - **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
 
@@ -104,8 +106,28 @@
 
     **证明**：根据极值定理，$f$ 在某点 $x_\max$ 处达到最大值，那么它也是局部最大值。若 $x_\max=a$ 或 $x_\max=b$，则可以证明对于任意 $x\in [a,b]$ 都有 $f'(x)=0$；若 $x_\max\in(a,b)$，根据命题 10.2.2，$f'(x_\max)=0$。
 
-- **推论 10.2.4（平均值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
+- **推论 10.2.4（拉格朗日中值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
 
     **证明**：设 $k:=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 和由 $g(x):=f(x)-kx$ 定义函数 $g:[a,b]\to \mathbb R$。那么 $g$ 也是连续函数，且 $g|_{(a,b)}$ 也可微，且 $g(a)=g(b)$。根据罗尔定理，存在 $x\in(a,b)$ 使得 $g'(x)=0$，那么 $f'(x)=g'(x)+k=k$。证毕。
 
-    
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+//习题
+
+//$f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续函数，$f|_{(a,b)}$ 可微，是否意味着 $f$ 可微？
+
+#### 10.3 单调函数和导数
+
+- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
+
+    **证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
+
+- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
+
+    **证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据平均值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
+
+#### 10.4 反函数和导数
+
+- **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$y_0:=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的极限点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
+
+    **证明**：根据链式法则，有 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=(f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)$，又 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=1$ 可得。
+
+- **定理 10.4.2（反函数定理）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R $，$f:X\to Y$ 是双射， 
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diff --git a/src/第6章 序列的极限.md b/src/第6章 序列的极限.md
index 7122e22..10a4411 100644
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@@ -381,31 +381,28 @@
 
         证明：$x^{\alpha+\beta}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}x^{b_n}=(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})(\lim\limits_{n\to\infty}x^{b_n})=x^{\alpha}x^{\beta}$。
 
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-
     3. $x^{-\alpha}=\frac{1}{x^\alpha}$。
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+    
         证明：$x^{-\alpha}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{-a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{x^{a_n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}1}{\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n}}=\frac{1}{x^{\alpha}}$。
-
+    
     4. 若 $x>1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha<\beta$。若 $x<1$，那么 $x^\alpha<x^\beta\iff \alpha>\beta$。
 
-
         证明：假设 $x>1$，对于 $x<1$ 的情况类似。
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+    
         $\alpha<\beta\implies x^{\alpha}<x^{\beta}$：存在比例数 $z_1,z_2$，使得 $\alpha<z_1<z_2<\beta$。容易证明，存在比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $a_n\leqslant z_1$，存在比例数序列 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$ 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\beta$ 且对于任意 $n\geqslant m$ 有 $z_2\leqslant b_n$。
-
+    
         那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n\leqslant z_1<z_2\leqslant b_n$，那么 $x^{a_n}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{b_n}$，根据引理 6.4.5 可知 $x^{\alpha}\leqslant x^{z_1}<x^{z_2}\leqslant x^{\beta}$。
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+    
         $x^{\alpha}<x^{\beta}\implies \alpha<\beta$：若 $\alpha>\beta$，则 $x^{\alpha}>x^{\beta}$ 矛盾。若 $\alpha=\beta$，则 $x^{\alpha}=x^{\beta}$（代入公理）矛盾。又根据三歧性可知，一定有 $\alpha<\beta$。
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+    
     5. （极限算律补充）设 $(c_n)_{n=m}^{\infty}$ 是收敛的实数序列，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}x^{c_n}=x^{(\lim\limits_{n\to\infty}c_n)}$。
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+    
         证明：设比例数序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 满足它和 $(\alpha_n)_{n=m}^{\infty}$ 等价，那么只需证明 $(x^{\alpha_n})_{n=m}^{\infty}$ 和 $(x^{a_n})_{n=m}^{\infty}$ 等价即可。接下来的证明过程和命题 6.7.2 的很相似，需要用到命题 6.7.5.2 和命题 6.7.5.4。
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+    
     6. $(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}$。
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+    
         证明：$(x^{\alpha})^\beta=\lim\limits_{m\to\infty}(\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_n})^{b_m}=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}x^{a_nb_m}=\lim\limits_{m\to\infty}x^{\alpha b_m}=x^{\alpha\beta}$。第二个等号是引理 6.7.4。
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+    
     7. 若 $\alpha>0$，$x>y\iff x^\alpha>y^\alpha$。
     
         证明：由于 $\alpha>0$，不妨设 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 是正远离零的，那么对于任意 $n\geqslant m$，$a_n>0$。