From b7d685764710c845dfea2c14d558163dc58d1075 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E6=96=B9=E8=80=8C=E9=9D=99?= Date: Fri, 16 Sep 2022 12:15:37 +0000 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A2=9E=E5=8A=A0=205A=EF=BC=88=E7=95=AA?= =?UTF-8?q?=E5=A4=96=E7=AF=87=EF=BC=9A=E6=88=B4=E5=BE=B7=E9=87=91=E5=88=86?= =?UTF-8?q?=E5=89=B2=E4=B8=8E=E5=AE=9E=E6=95=B0=E7=90=86=E8=AE=BA=EF=BC=89?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 叙述戴德金分割的主要理论 Signed-off-by: 方而静 --- src/extras/5A 戴德金分割与实数理论.md | 285 ++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 285 insertions(+) create mode 100644 src/extras/5A 戴德金分割与实数理论.md diff --git a/src/extras/5A 戴德金分割与实数理论.md b/src/extras/5A 戴德金分割与实数理论.md new file mode 100644 index 0000000..17aebcb --- /dev/null +++ b/src/extras/5A 戴德金分割与实数理论.md @@ -0,0 +1,285 @@ +在集合理论和有理数理论的基础上，我们可以开始构建实数理论。下面将要介绍的是实数系 $\mathbb{R}$ 的一种（通过有理数系 $\mathbb Q$ 出发的）构造方法，是由戴德金于 1872 年提出。这种方法以戴德金分割而著称。除此之外，实数系还可以使用柯西序列的形式极限或者十进制下的小数表示来构造。 + +## 5A.1 动机 + +在定义新东西之前，我们通常要考察这个定义的动机，这里即我们为何需要实数集，有理数集的不足是什么？我们下面将给出两个理由。 + +我们早先在有理数集上定义了乘法，考虑这样一个式子： + +$$r^2=2$$ + +能找到有理数 $r\in\mathbb Q$ 满足上面式子吗？ + +- **命题 5A.1.1（$\sqrt2$ 不是有理数）**：$r^2=2\Rightarrow r\not\in\mathbb{Q}$，即不存在一个有理数 $r$，使得 $r^2=2$。 + + **证明**：（反证法）如果 $r\in\mathbb Q\land r^2=2$，记 $r=p/q$，其中 $p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N,p\perp q$，则有 $r^2=p^2/q^2=2$，即 $p^2=2q^2$。这说明 $p$ 是一个偶数，记 $p=2k$，带回得到 $4k^2=2q^2$，即 $q^2=2k^2$ ，这说明 $q$ 也是一个偶数，与假设 $p\perp q$ 矛盾，假设不成立。因此，$r^2=2\Rightarrow r\not\in\mathbb{Q}$ + +这是一个常见的例子，可谓是老生常谈，但是这个例子事实上具有指导性意义，它表明虽然有理数是稠密的，但是有理数有无穷多个“洞”（你可以把 $2$ 换成任何一个不是完全平方数的自然数）。这充分说明了 $\mathbb Q$ 还不够完整，是我们需要定义实数集的一个很好的理由。考虑下面另一个例子： + +我们尝试在拥有无限个元素的数集上定义仿造有限数集所定义的最大值。具体而言，我们定义数集的上界。 + +- **定义 5A.1.2（上界）**：对于一个数集 $A$，若 $\forall_{x\in A}x\leqslant m$，则称 $m$ 为数集 $A$ 的一个**上界**。 + +注意这个定义不能保证一个数集的上界是唯一的。举个例子，考虑数集 + +$$A=\left\{x\in \mathbb Q\vert x<10\right\}$$ + +由定义 $10$ 显然是 $A$ 的一个上界，但是 $A$ 还有很多上界，例如 $11$ 也是 $A$ 的上界。然而有限的数集的最大值显然是唯一的，因此我们尝试定义数集的上确界。 + +- **定义 5A.1.3（上确界）**：对于一个存在上界的数集 $A$，若 $m$ 是 $A$ 的一个上界且对于 $A$ 的任意一个上界 $m'$，都满足 $m\leqslant m'$，则称 $m$ 是 $A$ 的上确界。 + +这个定义对于有理数集 $\mathbb Q$ 而言，是不太合适的。具体而言，在有理数体系中，我们不能断言对于任意一个存在上界的数集，存在上确界。下面将要给出一个反例，但是在此之前，请允许我先证明一个引理。 + +- **引理 5A.1.4（平方根的不可趋近性）**：$\forall_{m\in\mathbb{Q^+},m^2>n\in\mathbb{Z^+}}\exists_{s\in\mathbb{Q^+}}sn$，即对于任意的 $m\in\mathbb{Q^+}$ ，满足 $m^2>n$，其中 $n$ 是一个正整数，总能找到一个正有理数 $sn$。 + + **证明**：（构造性证明）由于 $m\in\mathbb Q^+$，我们可以把 $m$ 写作 $m=p/q$ 的形式，其中 $p,q\in\mathbb {Z^+},p\perp q$。由于 $m^2>n$，故 + + $$ + p^2-nq^2>0 + $$ + + 我们取 + + $$ + s=\frac{p^2+nq^2}{2pq}>0 + $$ + + 于是 + + $$ + m-s=\frac{p^2-nq^2}{2pq}>0 + $$ + + 即 $s\frac{4np^2q^2}{4p^2q^2}=n + $$ + + 由此可见，这个 $s$ 满足要求，原命题得证。 + +- **命题 5A.1.5（有的集合不存在有理数上确界）**：在有理数体系中，存在存在（有理数）上界，但是不存在上确界的数集。 + + **证明**：（构造性证明）考虑数集 $A=\left\{r\in\mathbb Q:r^2<2\right\}$，我们首先证明 $A$ 存在上界，例如 $2$ 就是 $A$ 的上界，然后证明根据定义 $A$ 不存在上确界。 + + 1. （反证法）假设 $2$ 不是 $A$ 的上界。则根据定义，$\exists_{x\in A}x>2$，因此 $x>0$，故 $x^2>2^2=4$，但是根据 $A$ 的定义 $x^2<2$，矛盾，假设不成立。因此，$2$ 是 $A$ 的上界，即 $A$ 存在上界； + + 2. （反证法）假设有理数 $m$ 是 $A$ 的上确界。显然有 $m>0$（分类讨论）， + + 1. 若 $m^2<2$，取 + + $$s=m-\frac{m^2-2}{m+2}>m$$ + + 同时有 + + $$s^2-2=\frac{2(m^2-2)}{(m+2)^2}<0$$ + + 根据定义 $s\in A$，且 $s>m$，矛盾，假设不成立； + + 2. 由 5A.1.1 知不存在 $m\in\mathbb Q$，满足 $m^2=2$； + + 3. 若 $m^2>2$，由 5A.1.4 知，存在 $m'\in\mathbb Q^+$，满足 $m'2$，由定义可以知道，$m'$ 也为 $A$ 的一个上界。于是 $m$ 不满足上确界的定义，矛盾，假设不成立。 + + 综上所述，假设不成立。所以 $A$ 不存在上确界，原命题得证。 + +其实，我们很容易发现，$A$ 的上确界是 $\sqrt2$，但是我们尚未定义实数集时，$A$ 确实不存在上确界。这个例子也表明了有理数的不完备性。 + +## 5A.2 实数集的构造 + +我们通过 5A.1.5 发现，有理数集合的上确界有时不是一个有理数。因此，实数系所具有的一个重要特征应该是实数系中定义的全序关系 $\leqslant$ 是完备的，即该集合的任意有上界的非空真子集存在上确界。受这个思想启发而得到的实数系的构造方法，就是戴德金分割。除非特殊说明，我们下面使用的补集记号 $\overline{A}$，均指 $A$ 关于 $\mathbb Q$ 的补集，即 $\overline{A}:=\mathbb Q\setminus A$。 + +- **定义 5A.2.1（戴德金分割）**：对于 $\mathbb Q$ 任意一个子集 $\alpha$，称 $\alpha$ 为一个**分割**，当且仅当 $a$ 满足以下全部条件： + + 1. $\alpha\neq\varnothing\land\alpha\neq\mathbb Q$； + 2. 对于任意 $x\in\alpha,y\in\overline{\alpha}$，均有 $x0$，均存在整数 $n$，使得 $xn\in\alpha\land x(n+1)\in\overline{\alpha}$。 + + **证明**：TODO + +通俗地说，实数是由有理数和无理数组成的。因此，每个有理数都应该对应了一个实数，也就是一个分割。 + +- **定义 5A.2.3（有理数的嵌入）**：对于一个有理数 $r\in\mathbb Q$，其对应的分割为 $\left\{s\in\mathbb Q\vert s,\geqslant$，可以按照一般法则从上述定义中推导，故不再展开。这个定义的实数的次序关系显然是良好且自然的，一方面，对于两个有理数 $r,s\in\mathbb Q$，若 $r=s$，则一定有 $r^*=s^*$；若 $r\gamma$，与 $\gamma$ 是 $A$ 的上界矛盾，假设不成立。原命题得证。 + +对称地，如果非空集合 $A\subseteq\mathbb R$ 有下界，则 $A$ 有下确界，证明只需要把集合并改为集合交即可。下面是关于有理数与实数之间次序关系的两个结论，它们在后面将会经常被使用。 + +- **命题 5A.3.6（嵌入基本定理）**：设 $\alpha\in\mathbb R,r\in\mathbb Q$，那么 $\alpha\leqslant r\iff r\in\overline{\alpha}$。 + + **证明**：设 $r\in\overline{\alpha}$。根据分割的定义，对于任意 $a\in\alpha$，均有 $ar\land s\in\beta$，即 $\beta>s>r\geqslant\alpha$。 + +## 5A.4 实数的加减运算 + +我们下面把有理数的四则运算拓展到实数系上。 + +- **定义 5A.4.1（加法）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，定义 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和为 + + $$\alpha+\beta=\left\{r+s:r\in\alpha,s\in\alpha\right\}$$ + + **证明**：首先证明 $\alpha+\beta$ 是一个分割。（构造性证明）任取 $a\in\alpha,b\in\beta$，根据定义有 $a+b\in \mathbb \alpha+\beta$，故 $\alpha+\beta$ 非空。再任取 $a'\in\overline{\alpha},b'\in\overline{\beta}$，根据分割的定义有 $a+ba$，则 $c+b\in\alpha+\beta$。综上所述，$\alpha+\beta$ 确实是一个分割。 + + 容易证明，有理数嵌入实数后的与实数的加法运算是相容的，即 $(r+s)^*=r^*+s^*$。 + +实数的加法一样拥有有理数的运算律。根据定义，这很容易从有理数的运算律中直接推出。 + +- **命题 5A.4.2（实数加法交换律）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，有 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$。 + + **证明**：根据实数加法的定义和有理数的交换律可以推出。 + +- **命题 5A.4.2（实数的加法结合律）**：设 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R$，有 $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$。 + + **证明**：根据实数加法的定义和有理数的结合律可以推出。 + +实数的加法和有理数的加法有相同的单位元（如果我们不区分 $0$ 和 $0^*$ 的话）。 + +- **命题 5A.4.3（实数的加法单位元）**：设 $\alpha\in\mathbb R$，$\alpha+0=\alpha$。 + + **证明**：对于任意 $a\in\alpha,b\in0^*$，根据定义有 $b<0$，故 $a+b\alpha\right\}$$ + + **证明**：首先证明 $-\alpha$ 是一个分割，（构造性证明）任取 $r\in\overline{\alpha}$，根据 5A.3.6，有 $\alpha\alpha$，且 $-b\leqslant\alpha$，根据序的传递性，有 $-b<-a$，即 $a\alpha,a<\alpha$，有 $-b>a$，即 $a+b\in0$，故 $\alpha+(-\alpha)\subseteq0$。 + + 另一方面，对于任意 $t\in0$，显然 $-t/2>0$。根据 5A.2.2.2，存在整数 $n$，使得 $-nt/2\in\alpha$，且 $-(n+1)t/2\in\overline{\alpha}$，根据 5A.3.6，$\alpha\leqslant-(n+1)t/2$，故 $\alpha<-(n+2)t/2$，即 $(n+2)t/2\in-\alpha$，同时 $t=-nt/2+(n+2)t/2\in\alpha+(-\alpha)$，所以 $0\subseteq\alpha+(-\alpha)$。 + + 综上所述，$\alpha+(-\alpha)=0$。 + +容易验证，我们定义的减法与有理数的减法是相容的。 + +- **定义 5A.4.5（减法）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，定义 $\alpha$ 和 $\beta$ 的差为 $\alpha+(-\beta)$，记作 $\alpha-\beta$。 + +我们应该更多地推广有理数所具有的性质。下面是关于加减法和大小关系的另一些结论。 + +- **引理 5A.4.6（加法的非退化性）**：设 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R$，那么 $\alpha=\beta\iff\alpha+\gamma=\beta+\gamma$。 + +- **推论 5A.4.7（加法逆元的唯一性）**：设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$，那么 $\alpha+\beta=0\iff\beta=-\alpha$。 + +- **命题 5A.4.8（加法保序）**：设 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R$，那么 $\alpha<\beta\iff\alpha+\gamma<\beta+\gamma$。 + + **证明**：根据 5A.3.7，存在有理数 $r$，满足 $\alpha0$ 和 $-\alpha>0$ 中恰好有一个成立，换而言之，$\alpha>0\iff-\alpha<0$。 + +## 5A.5 实数的乘法运算 + +- **定义 5A.5.1（乘法）**：乘法是分段定义的。设 $\alpha,\beta\in\mathbb R$。定义 $\alpha$ 和 $\beta$ 的积为 + + $$\alpha\times \beta=\begin{cases}0&\alpha=0\lor\beta=0\\\left\{r\in\mathbb Q:\exists_{00\\(-\alpha)\times(-\beta)&\alpha,\beta<0\\-((-\alpha)\times\beta)&\alpha<0\land\beta>0\\-(\alpha\times(-\beta))&\alpha>0\land\beta<0\end{cases}$$ + + 在合理的情况下，我们通常省略 $\times$，直接写作 $\alpha\beta$。 + + **证明**：通过 5A.4.9，我们知道每对 $\alpha,\beta$ 满足且恰好满足上述条件中的一个。首先证明当 $\alpha,\beta>0$ 时 $\alpha\beta$ 是一个分割。（构造性证明）任取 $0ab$，故 $rr$。 + + 然后我们证明实数的乘法运算与有理数是相容的。设 $r,s\in\mathbb Q$，这里只给出 $r,s>0$ 的证明，因为其他情况是容易验证的。根据定义， + + $$\begin{aligned}r^*s^*&=\left\{p\in\mathbb Q:\exist_{00$ 的证明，其余情况是容易验证的。根据定义，有 + + $$\begin{aligned}\alpha1&=\left\{p\in\mathbb Q:\exists_{00\iff\alpha^{-1}>0$。 + + **证明**：我们还是只给出 $\alpha>0$ 的证明，其余情况是相当显然的。（同一法）我们首先证明存在性，构造 + + $$\beta:=\left\{p\in\mathbb Q:\exists_{r\geqslant\alpha}pr'^{-1}$，即 $r^{-1}\not\in\beta$，故 $\beta\neq\mathbb Q$。 + + 设 $a\in\beta,b\in\overline{\beta}$，那么根据 $\beta$ 的定义，结合 5A.3.6，我们有 $\forall_{r\in\overline{\alpha}}b\geqslant r^{-1}$，同时 $\exists_{r\in\overline{\alpha}}aa$。 + + 我们现在证明 $\beta>0$ 成立。（构造性证明）任取有理数 $r\geqslant\alpha>0$，根据有理数的性质，有 $r^{-1}>0$，根据 5A.3.7，存在有理数 s，满足 $00$。 + + 我们现在验证 $\beta$ 确实是 $\alpha$ 的乘法逆元，即 $\alpha\beta=1$。注意到 $\alpha,\beta>0$，设 $p\in\alpha\beta$，根据定义，存在 $0t\alpha t^{-1}>\alpha$，同时我们有 $s