diff --git a/src/第9章 R上的连续函数.md b/src/第9章 R上的连续函数.md index 8aaac2e..1998567 100644 --- a/src/第9章 R上的连续函数.md +++ b/src/第9章 R上的连续函数.md @@ -438,46 +438,49 @@ $$ 设 $A,B$ 都有邻域。称 $A,B$ 是同号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相同。称 $A,B$ 是异号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相异。 - **引理 9.10.7（极限算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空，$\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=B$。那么： - $$ - \begin{aligned} - \lim_{x\to c}(f+g)(x)&= - \begin{cases} - A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ - +\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ - -\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ - \infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\ - \text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大} - \end{cases}\\ - \lim_{x\to c}(fg)(x)&= - \begin{cases} - AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ - +\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\ - -\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\ - \infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\ - \text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大} - \end{cases} - \end{aligned} - $$ - - 若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么： - $$ - \lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)= - \begin{cases} - \frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\ - \infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\ - 0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty) - \end{cases} - $$ - 其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如： - - - 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。 - - 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。 - - 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。 - - 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。 - - 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。 - - 其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。 - + + $$ + \begin{aligned} + \lim_{x\to c}(f+g)(x)&= + \begin{cases} + A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ + +\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ + -\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\ + \infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\ + \text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大} + \end{cases}\\ + \lim_{x\to c}(fg)(x)&= + \begin{cases} + AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\ + +\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\ + -\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\ + \infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\ + \text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大} + \end{cases} + \end{aligned} + $$ + + 若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么： + + $$ + \lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)= + \begin{cases} + \frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\ + \infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\ + 0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty) + \end{cases} + $$ + + 其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如： + + - 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。 + - 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。 + - 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。 + - 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。 + - 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。 + + 其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。 + - **引理 9.10.8（极限复合）**：设 $X,Y\subseteq\mathbb R$，$f:X\to Y$，$g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域。若下面两者中任意一者成立： - $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。对于任意 $A$ 的去心邻域 $W$，总存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)\in W$。$\lim\limits_{y\to A}g(y)=B$。 @@ -500,6 +503,7 @@ $$ 大 $O$ 记号有很多显然的规则。 - **引理 9.11.2（大 $O$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么： + $$ \begin{aligned} f&=O(f)\\ @@ -510,8 +514,6 @@ $$ O(fg)&=f\cdot O(g) \end{aligned} $$ - -- 在实际应用中，还会用到其他的一些大 $O$ 的运算法则（比如上面很多式子反过来也是成立的），就不再详细列举，因为它们往往都是根据定义不难证明的。下面介绍大 $\Theta$ 和小 $o$ 时也是类似的。 @@ -527,9 +529,12 @@ $$ **证明**：传递性：若 $f=O(g),g=O(h)$，那么 $f=O(g)=O(O(h))=O(h)$，反过来同理可证 $h=O(f)$。 +若两个函数的比值存在非零极限，那么这两个函数同阶，但注意这不是必要条件。 + - **定义 9.11.6（小 $o$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$，当且仅当对任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq \varepsilon|g(x)|$。 - **引理 9.11.7（小 $o$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么： + $$ \begin{aligned} o(kf)&=o(f)\\ @@ -541,30 +546,42 @@ $$ o(fg)&=f\cdot o(g) \end{aligned} $$ + +- **引理 9.11.8**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价： + + 1. 当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$。 + 2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$。 + +从引理 9.11.8 可以看出，$f=o(g)$ 几乎和 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ 等价，这和 $f=\Theta(g)$ 不同。 当我们在讨论两个函数 $f,g$ 在 $c$ 附近的阶的关系的时候，一般来说 $f,g$ 的函数值会涉及到无穷大或无穷小，因为若 $f$ 在 $c$ 附近有界且远离零，那么 $f=\Theta(1)$，从而讨论 $f$ 与其他函数的阶的关系是很平凡的。 -- **定义 9.11.8（等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。 +- **定义 9.11.9（函数等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。 即对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。 -- **引理 9.11.9**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价： +- **引理 9.11.10**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面几个命题等价： 1. 当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 是等价的。 - 2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 - 3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。 - 4. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。 + 2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 + 3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 + 4. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。 + 5. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。 - **证明**：1->2：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$；若 $g(x)=0$，则有 $|f(x)|\leq 0$ 即 $f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 从而对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，即 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，从而 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。 + **证明**：1<->2：利用引理 9.11.8。 - 2->1：若存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交为空，那么对于任意 $x\in V$ 有 $f(x)=g(x)=0$，此时容易证明 $f,g$ 等价；否则，若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 有 $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|\leq \varepsilon$，那么 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$，同时对于 $V$ 中剩下的 $x$，一定有 $f(x)=g(x)=0$，从而也有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。 + 1->3：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$。 - 2->3：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。 + 3->2：显然。 - 3<->4：利用 1<->2。 + 3->4：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。 -- **引理 9.11.10（等价是等价关系）**：定义 9.11.8 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。 + 4->3：类似 3->4。 + + 4<->5：利用 1<->3。 + +- **引理 9.11.11（函数等价是等价关系）**：定义 9.11.9 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。 **证明**：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。 -我们将在习题篇中看到阶的应用。 \ No newline at end of file +我们将在习题篇中看到阶的具体应用。 \ No newline at end of file