From ceab9af08f9c70037bd3a8bb3d232424a8ab5049 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: lcw Date: Sun, 29 Oct 2023 21:20:07 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=96=B0=E5=A2=9E=E4=B9=A0=E9=A2=98=E7=AB=A0~9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/~9.md | 263 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ src/第9章 R上的连续函数.md | 4 + 2 files changed, 267 insertions(+) create mode 100644 src/~9.md diff --git a/src/~9.md b/src/~9.md new file mode 100644 index 0000000..63596a0 --- /dev/null +++ b/src/~9.md @@ -0,0 +1,263 @@ +## ~9.1 极限的计算 + +计算函数极限过程中经常用到 “换元”，其背后的本质是复合函数的极限。 + +- **例 ~9.1.1**：计算 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 时，一般来说的换元方式是： + + 将 $f(x)$ 中的子式 $g(x)$ 全部用 $y$ 替代。这实际上可以看成是将 $f$ 拆成了 $h\circ g$，那么若在 $a$ 某去心邻域 $V$ 内有 $v\in V\implies g(v)\neq \lim\limits_{x\to a}g(x)$，或替代后的式子（此时它是关于 $y$ 的）是个连续函数，那么该换元合法，此时 $y=g(x)$ 应该对应地趋向 $\lim\limits_{x\to a}g(x)$。 + + 例：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x^2)^{\sqrt 2}-1}{x^2}\overset{y=x^2}{=}\lim\limits_{y\to 0}\frac{(1+y)^{\sqrt 2}-1}{y}=\sqrt 2$，这是因为 $x\neq 0\implies x^2\neq 0$。 + +- **例 ~9.1.2**：计算 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 时。考虑如下的换元方式： + + 将 $f(x)$ 中的 $x$ 全部用关于 $y$ 的子式 $g(y)$ 替代，并改为 $y\to b$，其中 $\lim_{y\to b}g(y)=a$。例如：$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{\sqrt 2}-1}{x-1}\overset{x=1+y}{=}\lim\limits_{y\to 0}\frac{(1+y)^{\sqrt 2}-1}{y}=\sqrt 2$。 + + 这种换元方式是不合理的，因为 $b$ 附近的 $g(y)$ 不一定能取遍 $a$ 附近的所有值。 + + 为了规避这个问题，一般来说，当 $g$ 是可逆函数时，我们会改成 $y=g^{-1}(x)$ 再根据例 ~9.1.1 进行换元。例如上面的换元应该改成：$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{\sqrt 2}-1}{x-1}\overset{y=x-1}{=}\lim\limits_{y\to 0}\frac{(1+y)^{\sqrt 2}-1}{y}=\sqrt 2$。 + + 又或者可以提前证明 $f$ 确在 $a$ 处有极限。又或者可以利用 $f$ 的特殊性，例如： + $$ + \lim_{N\to\infty}\left(1+\frac mN\right)^N\overset{N=nm}{=}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac m{nm}\right)^{nm}=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^m=e^m + $$ + 其中第一步的等号并不仅是因为 $\lim_{n\to\infty} nm=\infty$，而且还因为 $(1+\frac mN)^N$ 关于 $N$ 是单调的。 + +可以采用自然数->整数->有理数->实数的方法来计算极限。这种方法一般用于解决一些没有先验结论的、全新的问题，而且是从极限定义的角度入手解决。 + +- **例 ~9.1.3**：设 $\alpha$ 为实数，计算 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$。 + + **解**：当 $\alpha$ 为自然数时，$(1+x)^{n}$ 可以二项式展开，得到 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^{n}-1}{x}=n$。当 $\alpha$ 为正有理数时， + $$ + \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac mn}-1}{x}\overset{y=(1+x)^{\frac 1n}-1}{=}\lim_{y\to 0}\frac{(1+y)^m-1}{(1+y)^n-1}=\frac{\lim\limits_{y\to 0}\frac{(1+y)^m-1}{y}}{\lim\limits_{y\to 0}\frac{(1+y)^n-1}{y}}=\frac{m}{n} + $$ + 当 $\alpha$ 为正实数时，我们知道在 $x=0$ 附近（事实上在任意 $x$ 处）$\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$ 关于 $\alpha$ 是个单调函数。那么对于任意 $\varepsilon$，只需找两个有理数 $\alpha-\varepsilon0$，求 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac 1{x^k}}$。 + + **解**：将 $x^k$ 换元为 $y$，那么 $y$ 应该趋向于 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^k=+\infty$，得到： + + $$ + \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{x^k}}=\lim_{y\to+\infty}(y^{\frac 1k})^{\frac 1y}=(\lim_{y\to+\infty}y^{\frac 1y})^{\frac 1k}=1 + $$ + + 其中 $\lim\limits_{y\to+\infty}y^{\frac 1y}=1$ 可以从 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1$ 用自然数夹挤实数得到。 + + 2. 设 $\alpha>1$，求 $\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\alpha^x)^{\frac 1x}$。 + + **解**： + $$ + \lim_{x\to+\infty}(1+\alpha^x)^{\frac 1x}=\alpha\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{\alpha^x}+1\right)^{\frac 1x}=\alpha + $$ + 其中 $\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{\alpha^x}+1)^{\frac 1x}=1$ 可以从 $1\leq (\frac{1}{\alpha^x}+1)^{\frac 1x}\leq \frac{1}{\alpha^x}+1$ 应用夹挤定理得到。 + +## ~9.2 阶的应用 + +在了解阶是如何运用的之前，我们有必要先熟知一些基本初等函数的渐近展开。 + +- **例 ~9.2.2**：基本初等函数的渐近展开： + + 1. 当 $x\to 0$ 时，$\ln(1+x)=x+o(x)$。 + + **证明**： + + $$ + \lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\ln\left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}\right)=\ln e=1 + $$ + + 2. 当 $x\to 0$ 时，$e^x=1+x+o(x)$。 + + **证明**： + + $$ + \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\ln(1+y)}=1 + $$ + + 3. 当 $x\to 0$ 时，$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+o(x)$。 + + **证明**：一种方法是直接利用例 ~9.1.3 的结论： + $$ + \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}=\alpha + $$ + 另一种方法是：当 $x\to 0$ 时， + $$ + (1+x)^{\alpha}=e^{\alpha \ln(1+x)}=e^{\alpha x+o(x)}=1+\alpha x+o(x)+o(\alpha x+o(x))=1+\alpha x+o(x) + $$ + 其中当 $x\to 0$ 时，$\alpha x+o(x)$ 这个集合也整体趋于 $0$，从而对任意 $y\in\alpha x+o(x)$，$e^{y}=1+y+o(y)$。那么 $e^{\alpha x+o(x)}=1+(\alpha x+o(x))+o(\alpha x+o(x)),x\to 0$ 是合理的。 + + 4. 三角函数和反三角函数在 $0$ 处的的渐近展开。待主线补充三角函数的相关内容后再补。 + +初等函数也可以求更高阶展开，此时往往更具技巧性。 + +- **例 ~9.2.3**：设 $q=\frac mn$ 是有理数，那么当 $x\to 0$ 时，$(1+x)^q=1+qx+\frac{q(q-1)}{2}x^2+o(x^2)$。 + + **证明**：证明方法也是从自然数推广到有理数。设 $(1+x)^q=1+qx+f(x)x$，那么 $f(x)=o(1),x\to 0$。 + + 将 $q$ 替换为 $\frac mn$ 并在等式两侧取 $n$ 次幂后得到 $(1+x)^m=(1+\frac mn x+f(x)x)^n$。当 $x\to 0$ 时，根据幂次为整数的二项式定理，可知： + $$ + (1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+o(x^2) + $$ + 同时： + $$ + \begin{aligned} + \left(1+\frac mn x+f(x)x\right)^n&=1+n\left(\frac mnx+f(x)x\right)+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac{m}{n}x+f(x)x\right)^2+o\left(\left(\frac mnx+f(x)x\right)^2\right)\\ + &=1+mx+nf(x)x+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac mnx\right)^2+o(x^2) + \end{aligned} + $$ + 那么： + $$ + \begin{aligned} + 1+mx+nf(x)x+\frac{n(n-1)}{2}\left(\frac mnx\right)^2&=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+o(x^2)\\ + f(x)&=\frac{\frac{m(m-1)}2-\frac{n(n-1)}{2}(\frac mn)^2}{n}x+o(x)\\ + &=\frac{\frac mn(\frac mn-1)}{2}x+o(x) + \end{aligned} + $$ + 故 $(1+x)^q=1+qx+\frac{q(q-1)}{2}x^2+o(x^2),x\to 0$。 + +接下来的 $e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x\to 0$ 时的更高阶展开方法，依赖于下面这个引理。 + +- **引理 ~9.2.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 包含 $0$ 的某个邻域，函数 $f:X\to\mathbb R$ 在 $x=0$ 处连续，$f(0)=0$，且 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lambda$。那么当 $x\to 0$ 时，$f(x)=\lambda x+o(x)$。 + + **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x$ 有 $0<|x|<\varepsilon\implies |f(2x)-f(x)-\lambda x|<\varepsilon|x|$。 + + 设 $x$ 满足 $0<|x|<\varepsilon$。归纳假设 $|f(x)-f(\frac{x}{2^n})-\lambda(1-\frac 1{2^n})x|<(1-\frac1{2^n})\varepsilon|x|$ 对自然数 $n$ 成立，那么： + + $$ + \begin{aligned} + &\left|f(x)-f\left(\frac x{2^{n+1}}\right)-\lambda\left(1-\frac 1{2^{n+1}}\right)x\right|\\ + =&\left|f(x)-f\left(\frac x{2^n}\right)-\lambda\left(1-\frac 1{2^n}\right)x+f\left(\frac x{2^n}\right)-f\left(\frac x{2^{n+1}}\right)-\lambda \frac 1{2^{n+1}} x\right|\\ + \leq &\left|f(x)-f\left(\frac x{2^n}\right)-\lambda\left(1-\frac 1{2^n}\right)x\right|+\left|f\left(\frac x{2^n}\right)-f\left(\frac x{2^{n+1}}\right)-\lambda \frac 1{2^{n+1}} x\right|\\ + <&\left(1-\frac 1{2^n}\right)\varepsilon|x|+\varepsilon \left|\frac x{2^{n+1}}\right|=\left(1-\frac 1{2^{n+1}}\right)\varepsilon|x| + \end{aligned} + $$ + + 对于 $|f(x)-f(\frac x{2^n})-\lambda(1-\frac 1{2^n})x|<(1-\frac 1{2^n})\varepsilon|x|$，让 $n\to +\infty$，得到 $|f(x)-\lambda x|\leq \varepsilon|x|$。从而当 $x\to 0$ 时，$f(x)=\lambda x+o(x)$。 + +- **例 ~9.2.5**：$e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x\to 0$ 时的更高阶展开。 + + 1. 当 $x\to 0$ 时，$e^x=1+x+\frac {x^2}2+o(x^2)$。 + + **证明**：已知 $e^x=1+x+o(x),x\to 0$。定义 $f:\mathbb R\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}\frac{e^x-1-x}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$，那么 $f(x)=o(1),x\to 0$，那么 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$ 故 $f$ 在 $x=0$ 处连续。当 $x\to 0$ 时， + + $$ + \begin{aligned} + 1+2x+f(2x)2x&=e^{2x}=(e^x)^2\\ + &=(1+x+f(x)x)^2\\ + &=1+2x+x^2+2f(x)x+2f(x)x^2+f(x)^2x^2\\ + f(2x)-f(x)&=\frac 12 x+f(x)x+\frac 12 f(x)^2x=\frac 12 x+o(x) + \end{aligned} + $$ + + 从而 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}x=\frac 12$，那么当 $x\to 0$ 时，$f(x)=\frac 12 x+o(x)$，$e^x=1+x+f(x)x=1+x+\frac 12 x^2+o(x^2)$。 + + 2. 当 $x\to 0$ 时，$\sin x=x-\frac 16 x^3+o(x^3)$。 + + **证明**：已知 $\sin x=x+o(x),x\to 0$。定义 $f:\mathbb R\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}\frac{\sin x-x}x &x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$，那么 $f(x)=o(1),x\to 0$，那么 $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$ 故 $f$ 在 $x=0$ 处连续。当 $x\to 0$ 时， + + $$ + \begin{aligned} + 2x+f(2x)2x&=\sin 2x=2\sin x \cos x\\ + &=2(x+f(x)x)\left(1-\frac{x^2}2+o(x^2)\right)\\ + &=2x+2f(x)x+o(x^2)\\ + f(2x)-f(x)&=o(x) + \end{aligned} + $$ + + 从而 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}x=0$，那么当 $x\to 0$ 时，$f(x)=o(x)$，$\sin x=x+f(x)x=x+o(x^2)$。 + + 定义 $g:\mathbb R\to \mathbb R$ 满足 $g(x):=\begin{cases}\frac{\sin x-x}{x^2} &x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$，那么 $g(x)=o(1),x\to 0$，那么 $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0=g(0)$ 故 $g$ 在 $x=0$ 处连续。当 $x\to 0$ 时， + $$ + \begin{aligned} + 2x+g(2x)(2x)^2&=\sin 2x=2\sin x \cos x\\ + &=2(x+g(x)x^2)\left(1-\frac{x^2}2+o(x^2)\right)\\ + &=2x-x^3+2g(x)x^2+o(x^3)\\ + 2g(2x)-g(x)&=-\frac 12 x+o(x) + \end{aligned} + $$ + + 这里使用类似引理 ~9.2.4 的证明方法，归纳证明对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x$ 满足 $|x|<\delta$ 和自然数 $k$ 有： + $$ + \left|g(x)-\frac{1}{2^{k}}g\left(\frac{x}{2^{k}}\right)+\frac 12\left(\frac{1}{4}+\frac 1{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^{k}}\right)x\right|\leq \varepsilon\left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)|x| + $$ + 然后对 $k$ 取极限得到 $|g(x)+\frac 16x|\leq \varepsilon|x|$。从而可以说明当 $x\to 0$ 时，$g(x)=-\frac 16x+o(x)$，$\sin x=x-\frac 16x^3+o(x^3)$。 + +这种方法的思路可以理解为：我们知道待展开函数 $f$ 的 $f(x)$ 和 $f(\frac x2)$ 有关系，并且 $f$ 在 $0$ 处收敛到 $L$，那么我们就能利用这个关系，推出 $f(x)$ 与 $f(\frac x2),f(\frac x4),\cdots,f(\frac x{2^k}),\cdots$ 的关系，再利用 $f$ 在 $0$ 处收敛，推出 $f(x)$ 与 $L$ 的关系，也就得到一个仅描述 $f(x)$ 而不与 $f(\frac x2)$ 有关的式子。 + +## ~9.3 应用：9.12 一些其他的工具 + +有界闭区间套的经典应用是二分法，这样闭区间的长度收敛到 $0$，从而它们的交集只含唯一的实数。这里就不举例了。 + +压缩不动点定理的应用中，一个很重要的问题就是压缩值 $\lambda$ 的找寻，这其中可能涉及到一些运算技巧。 + +- **例 ~9.3.1**：设 $0<\varepsilon<1$。证明由 $f(x)=x-\varepsilon \sin x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是双射，且 $f^{-1}$ 连续。 + + **证明**：先证明双射，设 $a\in\mathbb R$，只需证明存在唯一的 $x\in\mathbb R$ 使得 $f(x)=a$ 即可。 + + 这等价于 $x-(f(x)-a)$ 存在唯一的不动点，即 $F(x)=a+\varepsilon\sin x$ 存在唯一的不动点。考虑证明 $F$ 有压缩性质： + $$ + \begin{aligned} + |F(x)-F(y)|&=\varepsilon|\sin x-\sin y|\\ + &=\varepsilon\left|2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\ + &\leq \varepsilon\left|2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\ + &\leq \varepsilon\left|2\frac{x-y}{2}\right|=\varepsilon|x-y| + \end{aligned} + $$ + 同时： + $$ + \begin{aligned} + |x-y|&=|f(x)+\varepsilon \sin x-f(y)-\varepsilon \sin y|\\ + &\leq |f(x)-f(y)|+\varepsilon|x-y|\\ + |x-y|&\leq(1+\varepsilon)|f(x)-f(y)|\\ + \end{aligned} + $$ + 从而 $f^{-1}$ 是一致连续的。 + +上述证明中，就运用了和差化积和 $|\sin x|\leq |x|$ 的三角函数技巧和结论。 + +- **例 ~9.3.2**：设 $0<\lambda<1$，$y_0>0$，$y_{n+1}=\frac{1-\lambda}{y_n}+\lambda$。证明 $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n$ 存在，并求它的值。 + + **证明**：可以看出，若 $y_n<1$，那么 $\frac{1-\lambda}{y_n}>1-\lambda\implies y_{n+1}>1$；同理，若 $y_{n}>1$，那么 $\frac{1-\lambda}{y_{n}}<1-\lambda\implies y_{n+1}<1$。于是 $y_n$ 肯定是在 $1$ 左右横跳的，且最终若收敛则必收敛于 $1$。 + + 处理这类来回横跳问题的一种方法是奇偶分类，不妨设 $y_{2n}>1$ 且 $y_{2n+1}<1$，那么根据猜测和试验，只需换元 $d_{2n}=y_{2n}-1$ 和 $d_{2n+1}=\frac{1}{y_{2n+1}}-1$，然后可证明 $\lim\limits_{n\to+\infty}d_n=0$ 从而 $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=1$。 + + 另一种方法是直接看 $y_{n+2}$ 相较于 $y_n$ 的变化： + $$ + y_{n+2}=\frac{1-\lambda}{\frac{1-\lambda}{y_n}+\lambda}+\lambda=\frac{1-\lambda}{1-\lambda+\lambda y_n}y_n+\lambda + $$ + 然后就是比较神奇地发现这里存在压缩性质。具体地，定义函数 $F:(0,+\infty)$ 满足 $F(y):=\frac{1-\lambda}{y}+\lambda$，那么 $F(y)>\lambda$，且 $y_{n+1}=F(y_n)$。且对于任意 $x,y\geq \lambda$： + $$ + \begin{aligned} + |F^2(x)-F^2(y)|&=(1-\lambda)\left|\frac{x}{1-\lambda+\lambda x}-\frac{y}{1-\lambda+\lambda y}\right|\\ + &=(1-\lambda)^2\left|\frac{1}{(1-\lambda+\lambda x)(1-\lambda+\lambda y)}\right||x-y|\\ + &\leq \left(\frac{1-\lambda}{1-\lambda+\lambda^2}\right)^2|x-y| + \end{aligned} + $$ + 其中 $0<1-\lambda<1-\lambda+\lambda^2$，从而 $F^2$ 具有压缩性质，同时它又是闭集 $[\lambda,+\infty)$ 到自身的映射。那么根据压缩不动点定理，$F^2$ 存在唯一的不动点。而易知 $F^2(1)=1$，于是 $F^2$ 存在唯一的不动点 $1$。 + + 那么 $\lim\limits_{n\to+\infty}F^{2n}(y_0)=1$。同时，由于 $F$ 是连续函数，有 $\lim\limits_{n\to+\infty} F^{2n+1}(y_0)=\lim\limits_{n\to+\infty}F(F^{2n}(y_0))=F(\lim\limits_{n\to+\infty}F^{2n}(y_0))=F(1)=1$。从而 $\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=\lim\limits_{n\to+\infty}F^n(y_0)=1$。 + +这一问题的关键，在于根据论题推断任意一个点不断 $F^2$ 后是越来越靠近 $1$ 的，而且始终在 $1$ 同侧，然后就猜想 $F^2$ 是否存在压缩性质。这里的猜想来自于一个（刻板的）直觉：当一个点从 $1$ 某侧通过不断作用 $F^2$ 靠近 $1$ 时，这个点越靠近 $1$，作用 $F^2$ 的变化量就越小。 \ No newline at end of file diff --git a/src/第9章 R上的连续函数.md b/src/第9章 R上的连续函数.md index d981afa..a324f13 100644 --- a/src/第9章 R上的连续函数.md +++ b/src/第9章 R上的连续函数.md @@ -623,6 +623,10 @@ $$ - **引理 9.11.11（函数等价是等价关系）**：定义 9.11.9 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。 **证明**：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。 + +- **推论 9.11.2**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么若存在函数 $h:X\to\mathbb R$，使得 $h=f+o(f)$ 且 $h=g+o(g)$，那么 $f$ 和 $g$ 等价。 + + **证明**：$h$ 和 $f,g$ 都等价，再根据传递性即证。 ## 9.12 一些其他的工具