ez_lcw/lcw-analyze
1
1
Fork 0
Code Issues 4 Pull Requests Releases Activity

完成 #6使用二级标题标记章节内的小节标题

Browse Source
This commit is contained in:
lcw 2023-10-21 01:19:07 +08:00
parent 99d86a386d
commit d542163c8a
5 changed files with 30 additions and 40 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

12
src/第10章 函数的微分.md
View File

@ -1,6 +1,4 @@
### 第 10 章 函数的微分 ## 10.1 基本定义
#### 10.1 基本定义
- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。 - **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
@ -86,7 +84,7 @@
证毕。 证毕。
#### 10.2 局部极值和导数 ## 10.2 局部极值和导数
- **定义 10.2.1（局部极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。 - **定义 10.2.1（局部极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
@ -132,7 +130,7 @@
注意推论 10.2.6 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sqrt x$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 是可微且一致连续的函数，但其导数无界。 注意推论 10.2.6 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sqrt x$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 是可微且一致连续的函数，但其导数无界。
#### 10.3 单调函数和导数 ## 10.3 单调函数和导数
- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。 - **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
@ -142,7 +140,7 @@
**证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。 **证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
#### 10.4 反函数和导数 ## 10.4 反函数和导数
- **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$y_0=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的聚点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。 - **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$y_0=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的聚点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
@ -168,7 +166,7 @@
**证明**：不知道为啥没写，待补。 **证明**：不知道为啥没写，待补。
#### 10.5 洛必达法则 ## 10.5 洛必达法则
- **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 满足 $|x-x_0|<\delta$，都有 $g(x)\neq 0$。且对于任意合法的 $\delta$ 都有： - **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 满足 $|x-x_0|<\delta$，都有 $g(x)\neq 0$。且对于任意合法的 $\delta$ 都有：

23
src/第11章 黎曼积分.md
View File

@ -1,7 +1,4 @@
## 11.1 划分
### 第 11 章 黎曼积分
#### 11.1 划分
- **定义 11.1.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 $X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。 - **定义 11.1.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 $X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。
@ -29,7 +26,7 @@
- **引理 11.1.9**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。那么 $P\# P'$ 也是 $I$ 的划分，且同时是 $P$ 和 $P'$ 的加细。 - **引理 11.1.9**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。那么 $P\# P'$ 也是 $I$ 的划分，且同时是 $P$ 和 $P'$ 的加细。
#### 11.2 逐段常值函数 ## 11.2 逐段常值函数
- **定义 11.2.1（常值函数）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。 - **定义 11.2.1（常值函数）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
@ -71,7 +68,7 @@
6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。 6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。
7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。 7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。
#### 11.3 上黎曼积分和下黎曼积分 ## 11.3 上黎曼积分和下黎曼积分
- **定义 11.3.1**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f:X\to R$ 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\geq f(x)$。 - **定义 11.3.1**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f:X\to R$ 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\geq f(x)$。
@ -119,7 +116,7 @@
**证明**：设 $A=\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}$，$B=\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 $b\in B$ 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 $a\in A$ 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。 **证明**：设 $A=\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}$，$B=\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 $b\in B$ 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 $a\in A$ 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。
#### 11.4 黎曼积分的基本性质 ## 11.4 黎曼积分的基本性质
- **定理 11.4.1（黎曼积分算律）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。 - **定理 11.4.1（黎曼积分算律）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。
@ -173,7 +170,7 @@
**证明**：结合定理 11.4.1.7，对 $\operatorname{card}P$ 归纳。 **证明**：结合定理 11.4.1.7，对 $\operatorname{card}P$ 归纳。
#### 11.5 连续函数的黎曼可积性 ## 11.5 连续函数的黎曼可积性
- **定理 11.5.1**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的一致连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。 - **定理 11.5.1**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的一致连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
@ -216,7 +213,7 @@
- **命题 11.5.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界逐段连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。 - **命题 11.5.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界逐段连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。
#### 11.6 单调函数的黎曼可积性 ## 11.6 单调函数的黎曼可积性
- **命题 11.6.1**：设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的单调函数。那么 $f$ 是黎曼可积的。 - **命题 11.6.1**：设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的单调函数。那么 $f$ 是黎曼可积的。
@ -240,7 +237,7 @@
**证明**：不太懂，感觉需要用积分和导数的关系。 **证明**：不太懂，感觉需要用积分和导数的关系。
#### 11.7 一个非黎曼可积的函数 ## 11.7 一个非黎曼可积的函数
- **命题 11.7.1**：由 $f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 $f$ 有界但不黎曼可积。 - **命题 11.7.1**：由 $f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 $f$ 有界但不黎曼可积。
@ -248,7 +245,7 @@
//无法用逐段常值函数拟合，从而不能用黎曼积分算积分（面积） //无法用逐段常值函数拟合，从而不能用黎曼积分算积分（面积）
#### 11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ## 11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分
- **定义 11.8.1（$\alpha$ 长度）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=0$。 - **定义 11.8.1（$\alpha$ 长度）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=0$。
@ -311,7 +308,7 @@
$$ $$
同理可证 $\underline\int_{[-1,1]}f\text d\operatorname{sgn}\geq 2f(0)-2\varepsilon$。从而可知 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。 同理可证 $\underline\int_{[-1,1]}f\text d\operatorname{sgn}\geq 2f(0)-2\varepsilon$。从而可知 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。
#### 11.9 微积分基本定理 ## 11.9 微积分基本定理
- **定理 11.9.1（微积分第一基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。 - **定理 11.9.1（微积分第一基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。
@ -344,7 +341,7 @@
**证明**：不妨设 $f$ 单调不降。设 $F$ 在 $x_0$ 处可微，而 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处不连续。那么存在 $\varepsilon>0$ 使得对于任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 $f$ 是单调不降的，那么对于任意 $x\in (x_0,b]$ 都有 $f(x)>f(x_0)+\varepsilon$ 或对于任意 $x\in [a,x_0)$ 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。不妨设前者成立，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|>\varepsilon$。从而 $F$ 在 $x_0$ 处不可微，矛盾。 **证明**：不妨设 $f$ 单调不降。设 $F$ 在 $x_0$ 处可微，而 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处不连续。那么存在 $\varepsilon>0$ 使得对于任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 $f$ 是单调不降的，那么对于任意 $x\in (x_0,b]$ 都有 $f(x)>f(x_0)+\varepsilon$ 或对于任意 $x\in [a,x_0)$ 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。不妨设前者成立，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|>\varepsilon$。从而 $F$ 在 $x_0$ 处不可微，矛盾。
#### 11.10 基本定理的推论 ## 11.10 基本定理的推论
- **命题 11.10.1（分部积分公式）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$F:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $G:[a,b]\to\mathbb R$ 都是可微函数，$F',G'$ 都是黎曼可积函数。那么 $FG',F'G$ 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。 - **命题 11.10.1（分部积分公式）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$F:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $G:[a,b]\to\mathbb R$ 都是可微函数，$F',G'$ 都是黎曼可积函数。那么 $FG',F'G$ 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。

2
src/第7章 级数.md
View File

@ -391,7 +391,7 @@
- **命题 7.5.4**：设 $a_n:=\frac1n$ 和 $b_n:=\frac1{n^2}$，那么级数 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}a_n$ 条件发散而 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}b_n$ 绝对收敛，且满足 $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}|b_n|^{\frac1n}=1$ 和 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=1$。 - **命题 7.5.4**：设 $a_n:=\frac1n$ 和 $b_n:=\frac1{n^2}$，那么级数 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}a_n$ 条件发散而 $\sum\limits^{\infty}_{n=1}b_n$ 绝对收敛，且满足 $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}|b_n|^{\frac1n}=1$ 和 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=1$。
**证明**：只需证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=1$（从而根据引理 7.5.3 可知 $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}|b_n|^{\frac1n}=1$）： **证明**：只需证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}=1$（从而根据引理 7.5.3 可知 $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|^{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}|b_n|^{\frac1n}=1$）：
$$ $$
\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})=1\\ \begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})=1\\
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}&=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_n|}{|b_{n+1}|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{1}{1}=1\end{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_{n+1}|}{|b_n|}&=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|b_n|}{|b_{n+1}|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}=\frac{1}{1}=1\end{aligned}

10
src/第8章 无限集合.md
View File

@ -1,8 +1,6 @@
### 第 8 章 无限集合
我们将延伸集合论的学习，并将重点放在关于无限集的研究上。本章有部分内容属于拓展，但我仍然认为了解并学习它们有助于增长数学视野，或在本书之外的领域发挥作用。 我们将延伸集合论的学习，并将重点放在关于无限集的研究上。本章有部分内容属于拓展，但我仍然认为了解并学习它们有助于增长数学视野，或在本书之外的领域发挥作用。
#### 8.1 可数性 ## 8.1 可数性
我们定义无限集中一种特殊的集合：可数集。 我们定义无限集中一种特殊的集合：可数集。
@ -88,7 +86,7 @@
推论 8.1.13 得到的一个很有趣的事实是，我们可以把所有有理数按某种顺序排在一个无限序列上，这导致了一个更有趣的事实——对于任意 $x\in \mathbb R$，$x$ 都是该序列的极限点（于是，这还蕴含了序列的极限点的个数可以是无限多的）。 推论 8.1.13 得到的一个很有趣的事实是，我们可以把所有有理数按某种顺序排在一个无限序列上，这导致了一个更有趣的事实——对于任意 $x\in \mathbb R$，$x$ 都是该序列的极限点（于是，这还蕴含了序列的极限点的个数可以是无限多的）。
#### 8.2 在无限集合上的求和 ## 8.2 在无限集合上的求和
延续第 7 章，我们考虑定义无限集上的级数，让我们先来定义可数集上的级数，因为它可以转化为无限序列上的级数。 延续第 7 章，我们考虑定义无限集上的级数，让我们先来定义可数集上的级数，因为它可以转化为无限序列上的级数。
@ -290,7 +288,7 @@
至此，我们结束了对于无限集合上级数的基本研究。 至此，我们结束了对于无限集合上级数的基本研究。
#### 8.3 不可数的集合 ## 8.3 不可数的集合
接下来我们来研究不可数的集合。我们想先找一个不可数集合的例子。 接下来我们来研究不可数的集合。我们想先找一个不可数集合的例子。
@ -371,7 +369,7 @@
**证明**：构造 $f:X\to 2^X$ 满足 $f(x):=\{x\}$，那么 $f$ 为单射。再根据定理 8.3.1 即证。 **证明**：构造 $f:X\to 2^X$ 满足 $f(x):=\{x\}$，那么 $f$ 为单射。再根据定理 8.3.1 即证。
#### 8.4 选择公理 ## 8.4 选择公理
接下来我们介绍ZFC公理集合论中的最后一条公理：选择公理。 接下来我们介绍ZFC公理集合论中的最后一条公理：选择公理。

23
src/第9章 R上的连续函数.md
View File

@ -1,7 +1,4 @@
## 9.1 $\mathbb R$ 的子集合
### 第 9 章 $\mathbb R$ 上的连续函数
#### 9.1 $\mathbb R$ 的子集合
- **定义 9.1.1（区间）**：设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$； - **定义 9.1.1（区间）**：设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$；
@ -58,7 +55,7 @@
**证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。 **证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。
#### 9.2 实值函数的代数 ## 9.2 实值函数的代数
- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f$ 限制在 $Y$ 上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。 - **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f$ 限制在 $Y$ 上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。
@ -80,7 +77,7 @@
需注意函数乘法和函数复合的区分。 需注意函数乘法和函数复合的区分。
#### 9.3 函数的极限值 ## 9.3 函数的极限值
- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。 - **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。
@ -131,7 +128,7 @@
接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中，但它们被使用之处很多都是不易察觉或容易忽略的，因为它们仅仅是变换了一下 “作用域”，但它们仍然是保证证明的严谨性的不可缺失的一环。 接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中，但它们被使用之处很多都是不易察觉或容易忽略的，因为它们仅仅是变换了一下 “作用域”，但它们仍然是保证证明的严谨性的不可缺失的一环。
#### 9.4 连续函数 ## 9.4 连续函数
- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。 - **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。
@ -191,7 +188,7 @@
**证明**：结合定义与命题 9.3.6。 **证明**：结合定义与命题 9.3.6。
#### 9.5 左极限和右极限 ## 9.5 左极限和右极限
- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。 - **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。
@ -207,7 +204,7 @@
**证明**：略。 **证明**：略。
#### 9.6 极值定理 ## 9.6 极值定理
- **定义 9.6.1（函数有界）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$。 - **定义 9.6.1（函数有界）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$。
@ -251,7 +248,7 @@
有界闭集上的连续函数的性质：有界且存在极值点。 有界闭集上的连续函数的性质：有界且存在极值点。
#### 9.7 介值定理 ## 9.7 介值定理
- **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。 - **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。
@ -275,7 +272,7 @@
闭区间上的连续函数的性质：值域非常稠密，以致于其填满了实数集的一个子区间。 闭区间上的连续函数的性质：值域非常稠密，以致于其填满了实数集的一个子区间。
#### 9.8 单调函数 ## 9.8 单调函数
- **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。 - **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
@ -325,7 +322,7 @@ $$
而 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ 是绝对收敛的，从而 $f(x)$ 是定义成功的。可以证明 $f$ 就是一个满足要求的函数。 而 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ 是绝对收敛的，从而 $f(x)$ 是定义成功的。可以证明 $f$ 就是一个满足要求的函数。
#### 9.9 一致连续性 ## 9.9 一致连续性
- **定义 9.9.1（一致连续）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。 - **定义 9.9.1（一致连续）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。
@ -397,7 +394,7 @@ $$
根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。 根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。
#### 9.10 在无限处的极限 ## 9.10 在无限处的极限
- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。 - **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。