diff --git a/src/第12章 度量空间.md b/src/第12章 度量空间.md index a871a62..2c62fc3 100644 --- a/src/第12章 度量空间.md +++ b/src/第12章 度量空间.md @@ -31,6 +31,8 @@ - **命题 12.1.4（极限的唯一性）**： 设 $(X,d)$ 是度量空间，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 上的序列，$x,x'\in X$，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d$ 收敛到 $x$ 和 $x'$，那么 $x=x'$。 + **证明**：$d(x,x')$ 可以被 $d(x,x_n)+d(x_n,x')$ 压缩到任意小。 + - **定义 12.1.5（范数）**：设 $\mathbb F$ 是 $\mathbb C$ 的子域，$(V,\mathbb F)$ 是向量空间。范数 $p$ 是一个 $V\to \mathbb R$ 的函数，满足对任意 $x,y\in V$ 和 $\lambda\in \mathbb F$： - $p(x)\geq 0$，且 $p(x)=0\iff x=0$。 @@ -85,7 +87,7 @@ $E$ 中的元素一定不可能是 $E$ 的外点，$E$ 外的元素一定不可能是 $E$ 的内点。 -- **定义 12.2.3（闭包）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。称 $x_0$ 是 $E$ 的附着点，当且仅当 $x_0$ 是 $E$ 的内点或是 $E$ 的边界点。$X$ 中所有 $E$ 的附着点组成的集合被称为 $E$ 的闭包，记为 $\overline E$。 +- **定义 12.2.3（附着点、闭包）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。称 $x_0$ 是 $E$ 的附着点，当且仅当 $x_0$ 是 $E$ 的内点或是 $E$ 的边界点。$X$ 中所有 $E$ 的附着点组成的集合被称为 $E$ 的闭包，记为 $\overline E$。 - **命题 12.2.4**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。那么下列命题等价： 1. $x_0$ 是 $E$ 的附着点。 2. 对任意 $r>0$，$B(x_0,r)\cap E\neq\varnothing$。 @@ -109,6 +111,8 @@ $E$ 中的元素一定不可能是 $E$ 的外点，$E$ 外的元素一定不可 $\overline{B(x_0,r)}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}$ 不一定成立。比如若存在一个点 $o\in X$ 和 $r>0$ 使得 $B(o,r)=\{o\}$，那么对 $X$ 内的任何其他点 $x_0\neq o$，$\overline{B(x_0,d(x_0,o))}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq d(x_0,o)\}$ 不成立，因为 $o$ 在后者中，却不是开球的边界点。 +- **定义 12.2.7（聚点、孤立点）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。称 $x_0$ 是 $E$ 的聚点，当且仅当 $x_0$ 是 $E\setminus \{x_0\}$ 的附着点。称 $x_0$ 是 $E$ 的孤立点，当且仅当 $x_0\in E$ 且 $x_0$ 不是 $E$ 的聚点。 + ## 12.3 相对拓扑 - **定义 12.3.1（相对拓扑）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq Y\subseteq X$。称 $E$ 是关于 $Y$ 相对开的，当且仅当 $E$ 在 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 中是开的。称 $E$ 是关于 $Y$ 相对闭的，当且仅当 $E$ 在 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 中是闭的。 @@ -136,36 +140,46 @@ $\overline{B(x_0,r)}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}$ 不一定成立。比如若存 引理 12.4.5 的逆命题在一般的度量空间中不一定成立。例如在度量空间 $(X,d)$ 上有一个由 $X\setminus \{x_0\}$ 中元素组成的收敛到 $x_0\in X$ 的序列，那么该序列在 $\left(X\setminus\{x_0\},d|_{(X\setminus \{x_0\})\times (X\setminus \{x_0\})}\right)$ 上是柯西序列，但不是收敛序列。 -//R一定是完备的吗？（无论度量） - - **引理 12.4.6**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的柯西序列。若它的一个子序列收敛到某 $L\in X$，那么它也收敛到 $L$。 - - **定义 12.4.7（完备度量空间）**：称度量空间 $(X,d)$ 是完备的，当且仅当 $(X,d)$ 上的柯西序列都是收敛序列。 +确实有度量可以使得 $\mathbb R$ 不是完备的。考虑在默认的度量上，将 $x\neq \sqrt 2$ 的 $d(\sqrt2,x)$ 整体加一，这将保持三角形不等式，从而仍然是个度量。而在这个度量上，原来收敛到 $\sqrt 2$（但不包含 $\sqrt 2$）的序列仍然是柯西的，但不再收敛到任何数。 + - **命题 12.4.8**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$(Y,d|_{Y\times Y})$ 是 $(X,d)$ 的子空间。如果 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是完备的，那么 $Y$ 在 $(X,d)$ 中是闭的。 **证明**：对 $Y$ 的任意一个边界点 $x_0$，存在 $Y$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$。那么该序列是柯西列，从而是 $Y$ 上的收敛列，再根据极限的唯一性可知 $x_0\in Y$。 +命题 12.4.8 说明了，如果一个度量空间自身是完备的，那么在其自然延拓（保持度量函数的延拓）中，它自然地是一个闭集。某种意义上，这解释了为什么我们称它是“完备的”，因为任意一个延拓的点，到原集合整体会有一个正的距离。 + - **命题 12.4.9**：设 $(X,d)$ 是完备度量空间，$Y\subseteq X$ 是闭集。那么子空间 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是完备的。 **证明**：由于 $(X,d)$ 完备，子空间上的柯西列一定收敛，再根据闭集的性质可知一定收敛到 $Y$ 中，从而是子空间上的收敛列。 -- **命题 12.4.10**：设 $(X,d)$ 是度量空间。存在一个完备度量空间 $(\overline X,\overline d)$ 以 $(X,d)$ 作为子空间，且 $X$ 在 $(\overline X,\overline d)$ 中的闭包为 $\overline X$。 +- **命题 12.4.10**：设 $(X,d)$ 是度量空间。存在唯一的完备度量空间 $(\overline X,\overline d)$ 以 $(X,d)$ 作为子空间，且 $X$ 在 $(\overline X,\overline d)$ 中的闭包为 $\overline X$。 - **证明**：待补（考虑形式极限）。 - -//该空间唯一吗？ + **证明**：证明思路其实和从 $\Q$ 扩展到 $\R$ 类似，所以这里只给出证明概要。 + + 首先为 $(X,d)$ 上的每个柯西列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 都定义形式极限 $\text{LIM}_{n\to\infty}x_n$。定义 $\text{LIM}_{n\to\infty}x_n$ 和 $\text{LIM}_{n\to\infty}y_n$ 等价当且仅当 $\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n)=0$，可以证明这确实是等价关系。考虑等价类划分 $\overline X$，在其上定义新的度量，$\overline d(\text{LIM}_{n\to\infty}x_n,\text{LIM}_{n\to\infty}y_n)=\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n)$，可以证明这是良定义的。然后我们得到了度量空间 $(\overline X,\overline d)$，可以证明它是完备的。 + + 接下来我们将 $X$ 中的元素 $x$ 映到 $\overline X$ 中的 $(x)_{n=1}^{\infty}$，可以证明这是双射，且度量也不变，从而 $(X,d)$ 是 $(\overline X,\overline d)$ 的子空间。最后 $X$ 在 $(\overline X,\overline d)$ 中的闭包为 $\overline X$ 这一点是根据 $\overline X$ 的定义得到的。 + + 接下来我们证明 $X$ 的完备化是唯一的。假设有两个完备化 $(\overline X,\overline d),(\overline X',\overline d')$，我们要证明它们同构。由于 $\overline X$ 是 $X$ 的闭包，所以 $\lim_{n\to\infty}x_n$（$(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 是 $X$ 上的柯西列）覆盖了 $\overline X$ 中的所有元素，同理 $\lim_{n\to\infty}x_n'$ 覆盖了 $\overline X'$ 中的所有元素。然后定义映射 $\lim_{n\to\infty}x_n\mapsto \lim_{n\to\infty}x_n'$，证明这个映射是良定义的双射，就可证明同构性。 ## 12.5 紧致度量空间 - **定义 12.5.1（紧致性）**：称度量空间 $(X,d)$ 是紧致的，当且仅当 $(X,d)$ 上的每个序列都至少有一个收敛子列。称 $Y\subseteq X$ 是紧致的，当且仅当 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是紧致的。 - **定义 12.5.2（有界集合）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$Y\subseteq X$。称 $Y$ 是有界的，当且仅当存在 $x\in X$ 和 $r>0$ 使得 $Y\subseteq B(x,r)$。 + +根据三角形不等式，如果 $Y$ 是有界的，那么对任意 $x\in X$ 都存在 $r>0$ 使得 $Y\subseteq B(x,r)$。 + - **命题 12.5.3**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间。那么 $(X,d)$ 是完备的，且其自身也是有界子集。 命题 12.5.3 的逆命题不成立。可以考虑一个带离散度量的无限集合，它是完备且有界的，但并非紧致的。 - **定理 12.5.4**：设 $(\mathbb R^n,d)$ 是欧几里得空间，其度量 $d$ 由范数导出。设 $E\subseteq \mathbb R^n$，那么 $E$ 是紧致集合当且仅当它是闭的且是有界的。 + **证明**：对每一维用定理 6.6.6，然后用范数的等价性。 + - **定理 12.5.5**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$Y\subseteq X$。下列命题等价： 1. $Y$ 是紧致的。 @@ -183,6 +197,8 @@ $\overline{B(x_0,r)}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}$ 不一定成立。比如若存 $$ 左侧显然不是有限集（否则点列会有极限点），而右侧是有限集，矛盾。 +定理 12.5.5 看似把 $Y$ 的紧致性这一内在属性联系到了外在的 $X$，但实际上，根据相对拓扑，$X$ 上给 $Y$ 的开覆盖和 $Y$ 上给 $Y$ 的开覆盖对应。也就是说，定理 12.5.5 实质上就是 $Y=X$ 的情况。 + - **推论 12.5.6**：设 $(X,d)$ 是度量空间。下列命题等价： 1. $X$ 是紧致的。 @@ -197,7 +213,7 @@ $\overline{B(x_0,r)}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}$ 不一定成立。比如若存 **证明**：1->2：推论 12.5.6 的直接推论。 - 2->1：设 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $X$ 上的任意点列。递归地构造点列 $((x_{k,n})_{n=1}^{\infty})_{k=1}^{\infty}$，使得 $(x_{k+1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $(x_{k,n})_{n=2}^{\infty}$ 的子列，且 $\{x_{k+1,n}\}_{n=1}^{\infty}$ 都在某个 $B(x,\frac{1}{k})$ 中。然后 $(x_{k,1})_{k=1}^{\infty}$ 是 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 的一个子列，且它是柯西的。再根据完备性可知它收敛。 + 2->1：设 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $X$ 上的任意点列。递归地构造点列 $((x_{k,n})_{n=1}^{\infty})_{k=1}^{\infty}$，使得 $(x_{k+1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $(x_{k,n})_{n=2}^{\infty}$ 的子列，且 $\{x_{k+1,n}\}_{n=1}^{\infty}$ 都在同一个 $x$ 的 $B(x,\frac{1}{k})$ 中。然后 $(x_{k,1})_{k=1}^{\infty}$ 是 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 的一个子列，且它是柯西的。再根据完备性可知它收敛。 - **命题 12.5.8**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 的一个闭子集族，满足对任意有限集 $J\subseteq I$，$\bigcap_{\alpha\in J}K_{\alpha}$ 非空。那么 $\bigcap_{\alpha\in I}K_{\alpha}$ 非空。 diff --git a/src/第13章 度量空间上的连续函数.md b/src/第13章 度量空间上的连续函数.md index a5ec4aa..bbee37c 100644 --- a/src/第13章 度量空间上的连续函数.md +++ b/src/第13章 度量空间上的连续函数.md @@ -6,6 +6,8 @@ 如果 $f$ 在 $X$ 上的每一点处都连续，则称 $f$ 是连续的。 +该定义与定义 9.4.1 相容。 + - **定理 13.1.2**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。设 $x_0\in X$，那么下列命题等价： 1. $f$ 在 $x_0$ 处连续。 @@ -18,6 +20,18 @@ 2. 对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$。 3. 对任意开集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是开集。 4. 对任意闭集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是闭集。 + + **证明**：2<->4：显然直接拆成 2->4 和 4->2 后有很简洁的证法，但在这里我们提供一种思路，把 2<->4 拆成一系列显然的等价关系，从而形成一条等价链。这需要使用闭集的一种定义方式：$V$ 是闭集等价于对任意 $y_0\not\in V$ 和 $V$ 上的序列 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 有 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 不收敛到 $y_0$。 + + $\phantom{\Leftrightarrow}$ 对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$ + + $\Leftrightarrow$ 对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，如果 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 不收敛到 $f(x_0)$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 不收敛到 $x_0$ + + $\Leftrightarrow$ 对任意闭集 $V\subseteq Y$，对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，如果 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 在 $V$ 上且 $f(x_0)\not\in V$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 不收敛到 $x_0$。 + + $\Leftrightarrow$ 对任意闭集 $V\subseteq Y$，对任何 $x_0\in X\setminus f^{-1}(V)$ 和 $f^{-1}(V)$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，有 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 不收敛到 $x_0$。 + + $\Leftrightarrow$ 对任意闭集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 是闭集 连续函数不保开性和闭性，例如由 $f(x):=(x,0)$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ 不保开性，由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ 既不保闭性也不保开性。 @@ -49,10 +63,28 @@ 连续函数不保完备性。例如由 $f(x):=\frac 1x$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to (0,1]$。 +闭性、开性、完备性不保持都是因为它们的证明里需要函数有保不近性（若在 $X$ 空间不相近，那么在 $Y$ 空间也不相近），或者等价的逆相近性/逆收敛性（若在 $Y$ 空间相近，那么在 $X$ 空间也相近），而连续函数说的是保相近性。具体地： + +闭性：对任意集合上的列和空间里的点，要么该列**不**收敛到该点，要么该点在集合内。 + +完备性：对任意空间上的列，要么该列**不**内部相近，要么存在空间一个点与该列相近。 + +紧致性：对任意空间上的列，存在一个子列和空间里一个点使得子列收敛到该点。 + +不闭性：存在集合上的列和空间里的点，该列收敛到该点，且该点不在集合内。 + +连通性（定理 13.4.4）：对任意集合，存在集合上的列和集合外的列，使得两列相近。 + +本质上来说，就是把这些性质都写成了 $(\text{量词},(\text{点}|\text{点列}))^?(S_i (\text{and}|\text{or})\dots)$ 的形式。只有 $S_i$ 中不出现 “不相近” 时，我们才能说，假设原来该性质是真，那么映射完之后该性质也是真的。 + - **推论 13.3.2**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 在某点取到最小值，也在某点取到最大值。 + - **定义 13.3.3（一致连续性）**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。称 $f$ 是一致连续的，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in X$ 满足 $d_X(x_1,x_2)<\delta$，都有 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$。 + - **命题 13.3.4**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 是一致连续的。 + **证明**：否则能找到点对列 $((x_n,y_n))_{n=1}^{\infty}$ 使得 $\lim_{n\to \infty}d(x_n,y_n)=0$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。 + ## 四、连续性与连通性 - **定义 13.4.1（连通）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。称 $X$ 是不连通的，如果存在非空开集 $V,W\subseteq X$，使得 $V\cap W=\varnothing$ 且 $V\cup W=X$。称 $X$ 是连通的，如果 $X$ 是非空的且不是不连通的。对于空集，我们不定义它的连通性。 @@ -81,18 +113,33 @@ - **定理 13.4.8**：设 $(X,d)$ 是度量空间。若 $X$ 是路连通的，则 $X$ 是连通的。 - **证明**：设 $V$ 是 $X$ 的非空真子集。任取 $x\in V$ 和 $y\in X\setminus V$，存在 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。取 $a=\sup\{b\in [0,1]:f(b)\in V\}$，那么 $f(b)$ 是 $V$ 的边界点，因为包含 $b$ 的任意小开区间内都存在 $f$ 值在 $V$ 内和 $V$ 外的。 - -//连通空间不一定路连通 + **证明**：设 $V$ 是 $X$ 的非空真子集。任取 $x\in V$ 和 $y\in X\setminus V$，存在 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。取 $a=\sup\{b\in [0,1]:f(b)\in V\}$，那么 $f(a)$ 是 $V$ 的边界点，因为包含 $a$ 的任意小开区间内都存在 $f$ 值在 $V$ 内和 $V$ 外的。 - **命题 13.4.9**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$。若 $E$ 是连通的，那么 $\overline E$ 是连通的。 **证明**：对 $\overline E$ 的非空真子集 $V$，如果 $E\cap V$ 是 $E$ 的非空真子集，那么它在 $E$ 中的边界点也是 $V$ 在 $\overline E$ 中的边界点。否则，$\overline E\setminus E\setminus V$ 都是 $V$ 的边界点。 -- **定义 13.4.10（连通分支）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。对于 $x,y\in X$，定义 $x\sim y$ 当且仅当存在一个 $X$ 的子集合包含 $x,y$。那么 $\sim$ 是等价关系。将该等价关系划分为的每个等价类称为 $X$ 的连通分支。 +- **定义 13.4.10（连通分支）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。对于 $x,y\in X$，定义 $x\sim y$ 当且仅当存在一个 $X$ 的连通子集合包含 $x,y$。那么 $\sim$ 是等价关系。将该等价关系划分为的每个等价类称为 $X$ 的连通分支。 **证明**：传递性使用命题 13.4.6。 +$X$ 连通等价于 $X$ 只有一个连通分支，$X$ 的任意一个连通子集必然只在 $X$ 的某个连通分支中。我们还能证明 $X$ 的连通分支本身就是一个连通子集。 + +- **引理 13.4.11**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$Y$ 是 $X$ 的连通分支，那么 $Y$ 是连通的。 + + **证明**：假设 $\varnothing \subsetneq V\subsetneq Y$ 使得 $V,Y\setminus V$ 都是开集。选出 $x\in V,y\in Y\setminus V$，存在 $Y$ 的连通子集 $Z$ 包含 $x,y$，那么 $Z\cap V$ 和 $Z\cap (Y\setminus V)$ 都是相对 $Z$ 开的，矛盾。 + +注意 $Y$ 不一定没有边界点。考虑 $X=\{0\}\cup \{\frac1n:n\in\Z_{1..}\}$，那么 $\{0\}$ 是一个连通分支，但是 $0$ 是它的一个边界点。 + +假设 $X$ 有一个非空真子集 $V$ 使得 $V$ 和 $X\setminus V$ 都是开的，那么 $V$ 一定是 $X$ 的若干连通分支的并，否则存在一个连通分支 $Y$ 使得 $Y\cap V$ 和 $Y\cap (X\setminus V)$ 都是非空且开的，矛盾。 + +- **引理 13.4.12**：存在度量空间 $(X,d)$ 连通但不路连通。 + + **证明**：考虑 $A=\{(0,0)\}$，$B=\{(x,\cos(2\pi/x)):00$ 是实数，称函数 $f:\mathbb R\to\mathbb C$ 是 $L$ 周期的，如果对任意 $x\in\mathbb R$ 都有 $f(x)=f(x+L)$。 + + 称 $f$ 是 $\mathbb Z$ 周期的，如果 $f$ 是 $1$ 周期的。 + +记复值连续 $\mathbb Z$ 周期函数的空间为 $\CC$。 + +- **引理 16.1.2**：设 $f,g,(f_n)_{n=1}^{\infty}$ 都在 $\CC$ 上，$c\in\mathbb C$。那么： + 1. $f$ 是有界且一致连续的。 + 2. $f+g,f-g,fg,cf\in \CC$。 + 3. 如果 $(f_n)_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛到 $f:\mathbb R\to\mathbb C$，那么 $f\in \CC$。 + +## 二、周期函数的内积 + +- **定义 16.2.1（内积）**：设 $f,g\in \CC$，定义它们的内积为 $\lang f,g\rang := \int_{[0,1]} f(x)\overline{g(x)}\text dx$。 + + **证明**：积分收敛，且满足《线性代数》6.1.1 中对内积的定义。//verify + +由该定义可以导出 $L^2$ 范数 $\|\cdot\|_2$，从而导出 $L^2$ 度量 $d_{L^2}$。 + +//$L^2$ 的性状不如 $L^{\infty}$ 好 + +## 三、三角多项式 + +- **定义 16.3.1（特征）**：设 $n\in\mathbb Z$，定义频率为 $n$ 的特征为由 $e_n(x):=\e^{2\pi i nx}$ 定义的 $e_n\in \CC$。 + +- **引理 16.3.2**：$\{e_n\}_{n\in\mathbb Z}$ 是规范正交的。 + +- **定义 16.3.3（三角多项式）**：称函数 $f\in\CC$ 是三角多项式，如果存在 $N\geq 0$ 和 $\C$ 上的 $(c_n)_{n=-N}^{N}$ 使得 $f=\sum_{n=-N}^{N}c_ne_n$。 + +- **定义 16.3.4（傅里叶变换）**：设 $f\in \CC$，定义 $f$ 的傅里叶变换为 $\widehat f:\Z \to \C$ 满足 + $$ + \widehat f(n):=\lang f,e_n\rang =\int_{[0,1]}f(x)\e^{-2\pi inx}\text dx + $$ + +## 四、周期卷积 + +- **定义 16.4.1（周期卷积）**：设 $f,g\in \CC$，定义它们的周期卷积是 $f*g:\R\to \C$ 满足 + $$ + f*g(x):=\int_{[0,1]}f(y)g(x-y)\text dy + $$ + +- **引理 16.4.2**：周期卷积满足封闭性、交换律、双线性性。 + +//双线性泛函？函数？ + +- **引理 16.4.3**：设 $f\in \CC$，$n\in\mathbb Z$，则 $f*e_n=\widehat{f}(n)e_n$。 + + **证明**：$f*e_n(x)=\int_{[0,1]}f(y)e_n(x-y)\text dy=e_n(x)\int_{[0,1]}f(y)e_{n}(-y)\text dy=\widehat f(n)e_n$。 + +- **推论 16.4.4**：$\CC$ 中任意函数与三角多项式的卷积仍然是三角多项式。 + +//如何理解？感觉这个对定理 16.4.7 的证明还挺关键的 + +- **定义 16.4.5（对于恒等的周期逼近）**：设 $\varepsilon>0$，$0<\delta<\frac12$。称 $f\in \CC$ 是对恒等的周期 $(\varepsilon,\delta)$ 逼近，如果： + 1. 对任意 $x\in\R$，$f(x)\geq 0$。且 $\int_{[0,1]}f=1$。 + 2. 对任意 $\delta \leq x\leq 1-\delta$，$f(x)<\varepsilon$。 + +//主要质量都集中在了 $|x|<\delta$ 的区域。其实更好说的是对 impulse function 的逼近？ + +- **引理 16.4.6**：设 $\varepsilon>0$，$0<\delta<\frac12$。存在三角多项式是对恒等的周期 $(\varepsilon,\delta)$ 逼近。 + + **证明**：设 $N\geq 1$，定义 $F_N:=\sum_{n=-N}^{N}(1-\frac{|n|}{N})e_n$。我们有： + $$ + \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1}e_n\right|^2=\frac1N\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{N-1}e_{i-j}=F_N + $$ + 对于非整数的 $x$， + $$ + \sum_{n=0}^{N-1}e_n(x)=\frac{e_N(x)-e_0(x)}{e_1(x)-e_0(x)}=\frac{\e^{2\pi i Nx}-1}{\e^{2\pi i x}-1}=\frac{\e^{\pi i N x}(\e^{\pi i N x} - \e^{-\pi i N x})}{\e^{\pi i x}(\e^{\pi i x} - \e^{-\pi i x})}=\frac{\e^{\pi i (N-1)x}\sin (\pi N x)}{\sin (\pi x)} + $$ + 从而有 $F_N(x)=\frac{\sin^2(\pi N x)}{N\sin^2(\pi x)}$。当 $x$ 是整数时，有 $F_N(x)=N$。 + + 我们看到，$F_N$ 是非负的，且 $\int_{[0,1]}F_N=\sum_{n=-N}^{N}(1-\frac{|n|}{N})\int_{[0,1]}e_n=(1-\frac{0}{N})1=1$。 + + 另一方面，$F_N(x)\leq \frac{1}{N\sin^2(\pi x)}$，而 $\sin^2(\pi x)$ 在 $\delta\leq x\leq 1-\delta$ 时有非零下界。从而取足够大的 $N$ 使得 $F_N(x)\leq \varepsilon$ 即可。 + +- **定理 16.4.7（维尔斯特拉斯定理）**：设 $f\in \CC$，$\varepsilon>0$。那么存在三角多项式 $P$ 使得 $\| f-P\|_{\infty}\leq\varepsilon$。 + + **证明**：由于 $f\in \CC$，所以 $f$ 有界 $M$。由于 $f$ 一致连续，存在 $\varepsilon_1>0$ 使得对任意 $|x_1-x_2|<\delta$ 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leq \varepsilon_1$。设三角多项式 $P$ 是对恒等的周期 $(\varepsilon_2,\delta)$ 逼近，那么： + $$ + \begin{aligned} + |f(x)-f*P(x)|&\leq \left|f(x)-\int_{[0,1]} f(x-y)P(y)\text dy\right|\\ + &\leq \varepsilon_2 \left|\int_{[0,\delta]\cup [1-\delta,1]} P(y)\text dy\right|+ 2M\left|\int_{[\delta,1-\delta]}P(y)\text dy\right|\\ + &\leq \varepsilon_2 +2M\varepsilon_1 + \end{aligned} + $$ + +## 五、傅里叶定理和普兰谢雷尔定理 + +- **定理 16.5.1（傅里叶定理）**：设 $f\in \CC$，那么级数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} \widehat f(n)e_n$ 依 $L^2$ 度量收敛到 $f$。 + + **证明**：设 $\varepsilon>0$。根据维尔斯特拉斯定理，存在三角多项式 $P$ 使得 $\|f-P\|_{\infty}\leq \varepsilon$（从而 $\|f-P\|_2\leq \varepsilon$）。设 $P$ 的度数是 $N$。根据勾股定理，对任意 $N'\geq N$， + $$ + \|f-f_{N'}\|_2\leq \|f-f_{N'}\|_2 + \|f_{N'}-P\|_2 = \| f-P\|_2\leq \varepsilon + $$ + +- **定理 16.5.2**：设 $f\in \CC$，级数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\widehat f (n)|$ 绝对收敛，那么 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat f(n)e_n$ 一致收敛到 $f$。 + + **证明**：由维尔斯特拉斯判别法，$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\widehat f(n)e_n$ 一致收敛。由于它依 $L^2$ 度量已经收敛到 $f$ 了，可以证明它不可能依 $L^{\infty}$ 度量收敛（即一致收敛）到另一个函数。 + +- **定理 16.5.3（普兰谢雷尔定理/帕萨瓦尔定理）**：设 $f\in \CC$，那么级数 $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\widehat f(n)|^2$ 绝对收敛到 $\|f\|_2^2$。 + diff --git a/src/第9章 R上的连续函数.md b/src/第9章 R上的连续函数.md index 561cde3..2adbf1c 100644 --- a/src/第9章 R上的连续函数.md +++ b/src/第9章 R上的连续函数.md @@ -8,7 +8,7 @@ 2. $[a,b):=\{x\in \mathbb R:a\leq x< b\}$，其中 $a\in\mathbb R$，$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$，$a0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。 + 称 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。 若 $f$ 在 $x_0$ 处不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 无定义。