初步完成第12章和第13章
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d6f4f73e39
@ -105,7 +105,7 @@
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至此，我们定义完了所有基本三角函数。它们也有相应的几何含义：
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三角函数有大量的公式，熟悉这些公式对今后的学习是必要的。
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@ -307,7 +307,7 @@ $\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}\newcommand{\d}{\text{d}}$
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\frac{f(x)-Tf_{x_0,n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{f'(\xi_1)-Tf_{x_0,n}'(\xi_1-x_0)}{(n+1)(x-x_0)^n}=\cdots=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}
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皮亚诺余项的泰勒公式是函数的局部性质，常用于求渐近展开和极限；拉格朗日余项的泰勒公式是函数的整体性质，常用于误差分析（特别是在函数的任意阶导函数都有已知界的情况）。
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皮亚诺余项的泰勒公式是函数的局部性质，常用于求渐近展开和极限；拉格朗日余项的泰勒公式是函数的整体性质，常用于误差分析（特别是在函数的任意阶导函数都有已知界的情况）以及泰勒公式放缩（例如 $e^x\geq 1+x$）。
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## 10.7 凸函数
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src/第12章 度量空间.md
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src/第12章 度量空间.md
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## 12.1 定义和例
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- **定义 12.1.1（度量空间）**：度量空间是一个序偶 $(X,d)$，其中 $X$ 是一个集合（其中的元素被称作点），$d:X\times X\to[0,+\infty)$（被称作距离函数或度量）是一个映射，满足以下条件：
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- 对任意 $x\in X$ 有 $d(x,x)=0$。
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- 正性：对任意不同的 $x,y\in X$ 有 $d(x,y)>0$。
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- 对称性：对任意 $x,y\in X$ 有 $d(x,y)=d(y,x)$。
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- 三角形不等式：对任意 $x,y,z\in X$ 有 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$。
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当度量 $d$ 明确时，有时会直接简称 $X$ 是度量空间。
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- **定义 12.1.2**：设 $p\in (0,+\infty)$，定义 $\mathbb R^n$ 上的 $l^p$ 度量 $d_{l^p}$：
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d_{l^p}((x^{(i)})_{i=1}^n,(y^{(i)})_{i=1}^n):=\left(\sum_{i=1}^n|x^{(i)}-y^{(i)}|^p\right)^{\frac{1}{p}}
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定义 $\mathbb R^n$ 上的 $l^{\infty}$ 度量 $d_{l^{\infty}}$：
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d_{l^{\infty}}((x^{(i)})_{i=1}^n,(y^{(i)})_{i=1}^n)=\max_{i=1}^n\{|x^{(i)}-y^{(i)}|\}
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$$
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定义任意集合 $X$ 上的离散度量 $d_{\text{disc}}$：
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d_{\text{disc}}(x,y)=[x\neq y]
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$$
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**证明**：关键在于证明三角形不等式。$d_{l^p}$ 的证明见定理 10.7.17。而对于剩下两个度量证明都较简单，略去。
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在绝对收敛序列空间 $\left\{(x^{(i)})_{i=1}^{\infty}\in \mathbb R^\mathbb N:\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x^{(i)}|<\infty\right\}$ 上，也可以定义和 $d_{l^p},d_{l^{\infty}}$ 类似的度量。其中 $d_{l^p}$ 中的有限求和被替换为无限求和，$d_{l^{\infty}}$ 中的 $\max$ 被替换为 $\sup$。
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- **定义 12.1.3（度量空间中的收敛序列）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 上的序列，称 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d$ 收敛到 $x$，当且仅当 $\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0$。
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当度量 $d$ 明确时，有时会不写 “依度量 $d$”。
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- **命题 12.1.4（极限的唯一性）**： 设 $(X,d)$ 是度量空间，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 上的序列，$x,x'\in X$，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d$ 收敛到 $x$ 和 $x'$，那么 $x=x'$。
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- **定义 12.1.5（范数）**：设 $\mathbb F$ 是 $\mathbb C$ 的子域，$(V,\mathbb F)$ 是向量空间。范数 $p$ 是一个 $V\to \mathbb R$ 的函数，满足对任意 $x,y\in V$ 和 $\lambda\in \mathbb F$：
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- $p(x)\geq 0$，且 $p(x)=0\iff x=0$。
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- $p(\lambda x)=|\lambda|p(x)$。
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- $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$。
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如果称 $V$ 是赋范 $\lVert\cdot \rVert$ 的向量空间，就默认 $V$ 在一个 $\mathbb C$ 的子域上，且用符号 $\lVert\cdot \rVert$ 代指 $V$ 上的范数。有时也会直接称 $V$ 是赋范向量空间。
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- **定义 12.1.6（范数导出的度量）**：设 $V$ 是赋范向量空间。那么称 $(V,d)$ 是一个由范数 $\lVert\cdot \rVert$ 导出的度量空间，其中 $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$。
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- **定义 12.1.7（范数的等价性）**：设 $V$ 是赋范 $\lVert\cdot \rVert_1,\lVert\cdot \rVert_2$ 的向量空间。称 $\lVert\cdot \rVert_1,\lVert\cdot \rVert_2$ 等价，当且仅当存在 $M_1,M_2>0$，使得 $M_1\lVert x\rVert_2< \lVert x\rVert_1< M_2\lVert x\rVert_2$ 对任意 $x\in V$ 成立。
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容易验证，这确实是一种等价关系。
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- **引理 12.1.8**：设 $V$ 是赋范 $\lVert\cdot \rVert_1,\lVert\cdot \rVert_2$ 的向量空间，$(V,d_1),(V,d_2)$ 分别是由范数 $\lVert\cdot \rVert_1,\lVert\cdot \rVert_2$ 导出的度量空间。若 $\lVert\cdot \rVert_1,\lVert\cdot \rVert_2$ 等价，那么对任意 $V$ 上的序列 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $x\in V$，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d_1$ 收敛到 $x$ 当且仅当 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d_2$ 收敛到 $x$。
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- **命题 12.1.9**：设 $\mathbb F$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，$\lVert\cdot\rVert$ 是 $\mathbb F^d$ 上的范数，那么 $\lVert\cdot\rVert,\lVert\cdot\rVert_{\infty}$ 等价。
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**证明**：设 $x=(x^{(i)})_{i=1}^d\in \mathbb F^d$。
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\lVert x\rVert\leq \sum_{i=1}^d |x^{(i)}-y^{(i)}|\lVert e_i\rVert<\lVert x\rVert_{\infty}\sum_{i=1}^d\lVert e_i\rVert
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$$
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其中 $e_i$ 是只有第 $i$ 位为 $1$ 的向量。
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对于相反的方向，采用反证。假设存在 $\mathbb F^d$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $\lVert x_n\rVert_{\infty}>n\lVert x_n\rVert$。将 $x_n$ 依 $\lVert\cdot \rVert_{\infty}$ 单位化得到 $y_n=\frac{x_n}{\lVert x_n\rVert_{\infty}}$，那么 $\lVert y_n\rVert_{\infty}=1$ 且 $\lVert y_n\rVert<\frac 1n$。
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设 $d$ 是由范数 $\lVert\cdot \rVert$ 导出的度量。根据定理 6.6.6，可以选出 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 的一个子序列 $(z_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $(z_n)_{n=1}^{\infty}$ 依 $d_{\infty}$ 收敛到某 $z\in\mathbb F^d$。易知 $\lVert z\rVert_{\infty}=1$。同时，由于上面我们已经证明过 $\lVert\cdot\rVert$ 被 $\lVert\cdot\rVert_{\infty}$ 控制，可知 $(z_n)_{n=1}^{\infty}$ 依 $d$ 收敛到 $z$。易知 $\lVert z\rVert=0$，矛盾。
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- **定理 12.1.10**：设 $\mathbb F$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$，$(V,\mathbb F)$ 是有限维向量空间，$d_1,d_2$ 都是 $V$ 上由范数导出的度量。那么对任意 $V$ 上的序列 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$，$(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d_1$ 收敛到 $x$ 当且仅当 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 依度量 $d_2$ 收敛到 $x$。
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引理 12.1.10 在无限维空间上不成立。例如绝对收敛序列空间上的序列 $\bigg((1,0,\dots),(\frac 12,\frac 12,0,\dots),(\frac 13,\frac 13,\frac 13,0,\dots),\dots\bigg)$ 依 $d_{l^{\infty}}$ 收敛到 $(0,0,\dots)$，但不依 $d_{l^1}$ 收敛到 $(0,0,\dots)$。
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## 12.2 度量空间的一些点集拓扑知识
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- **定义 12.2.1（球）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$x_0\in X$，$r>0$。定义 $(X,d)$ 中以 $x_0$ 为中心、$r$ 为半径的球为 $B_{(X,d)}(x_0,r):=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$。
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当 $(X,d)$ 明确时，有时会将其简写为 $B(x_0,r)$。
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- **定义 12.2.2（内点、外点和边界点）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。
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称 $x_0$ 是 $E$ 的内点，当且仅当存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subseteq E$。$X$ 中所有 $E$ 的内点组成的集合被称为 $E$ 的内部，记为 $\text{int}(E)$。
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称 $x_0$ 是 $E$ 的外点，当且仅当存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\cap E=\varnothing$。$X$ 中所有 $E$ 的外点组成的集合被称为 $E$ 的外部，记为 $\text{ext}(E)$。
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称 $x_0$ 是 $E$ 的边界点，当且仅当它既不是 $E$ 的内点、也不是 $E$ 的外点。$X$ 中所有 $E$ 的边界点组成的集合被称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$。
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易见 $x_0$ 要么是 $E$ 的内点、要么是 $E$ 的外点、要么是 $E$ 的边界点。
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可以理解为，当 $r\to 0^+$ 时，若 $B(x_0,r)$ 内最终全是 $E$ 的元素，那么 $x_0$ 是内点；若 $B(x_0,r)$ 内最终全是非 $E$ 的元素，那么 $x_0$ 是外点；若 $B(x_0,r)$ 内始终既包含 $E$ 的元素、也包含非 $E$ 的元素，那么 $x_0$ 是边界点。
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或者说，一个点 $x_0\in E$ 是内点，当且仅当不存在不断靠近 $x_0$ 的但不在 $E$ 中的点；一个点 $x_0\not\in E$ 是外点，当且仅当不存在不断靠近 $x_0$ 但在 $E$ 中的点；否则，无论是哪种情况，都将 $x_0$ 称为边界点。
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$E$ 中的元素一定不可能是 $E$ 的外点，$E$ 外的元素一定不可能是 $E$ 的内点。
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- **定义 12.2.3（闭包）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。称 $x_0$ 是 $E$ 的附着点，当且仅当 $x_0$ 是 $E$ 的内点或是 $E$ 的边界点。$X$ 中所有 $E$ 的附着点组成的集合被称为 $E$ 的闭包，记为 $\overline E$。
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- **命题 12.2.4**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$，$x_0\in X$。那么下列命题等价：
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1. $x_0$ 是 $E$ 的附着点。
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2. 对任意 $r>0$，$B(x_0,r)\cap E\neq\varnothing$。
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3. 存在一个 $E$ 中的点列依度量 $d$ 收敛到 $x_0$。
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- **定义 12.2.5（开集与闭集）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$。称 $E$ 是闭的，当且仅当 $\partial E\subseteq E$（即 $\overline E=E$）。称 $E$ 是开的，当且仅当 $\partial E\cap E=\varnothing$（即 $\text{int}(E)=E$）。
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- **引理 12.2.6**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$。
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1. $E$ 是开的当且仅当 $E$ 中的点都是内点，即对每个 $x\in E$，都存在 $r>0$ 使得 $B(x,r)\subseteq E$。
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2. $E$ 是闭的当且仅当 $E$ 外的点都是外点，即对每个 $x\not\in E$，都存在 $r>0$ 使得 $B(x,r)\cap E=\varnothing$。
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3. $E$ 是开的当且仅当 $X\setminus E$ 是闭的。
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4. $E$ 既开又闭当且仅当 $E$ 没有边界点。
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5. $\text{int}(E)$ 是 $\{F\subseteq E:F\text{ 是开集}\}$ 的最大值，$\overline E$ 是 $\{E\subseteq F:F\text{ 是闭集}\}$ 的最小值。
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6. 设 $x_0\in X$，$r>0$，那么 $B(x_0,r)$ 是开集。
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7. 设 $x_0\in X$，$r>0$，那么 $\{x\in E:d(x,x_0)\leq r\}$ 是闭集。
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8. $X$ 的有限个开集的交也是开的，$X$ 的有限个闭集的并也是闭的。
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9. $X$ 的一族开集的并也是开的，$X$ 的一族闭集的交也是闭的。
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一簇开集的并的边界点总在每个开集外，因为它的附近总有不属于任何开集的点；一簇闭集的交的边界点总在每个闭集内，因为它的附近总有属于每个闭集的点。
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离散度量中，任何集合都没有边界点，所以是既开又闭的。
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$\overline{B(x_0,r)}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq r\}$ 不一定成立。比如若存在一个点 $o\in X$ 和 $r>0$ 使得 $B(o,r)=\{o\}$，那么对 $X$ 内的任何其他点 $x_0\neq o$，$\overline{B(x_0,d(x_0,o))}=\{x\in X:d(x_0,x)\leq d(x_0,o)\}$ 不成立，因为 $o$ 在后者中，却不是开球的边界点。
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## 12.3 相对拓扑
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- **定义 12.3.1（相对拓扑）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq Y\subseteq X$。称 $E$ 是关于 $Y$ 相对开的，当且仅当 $E$ 在 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 中是开的。称 $E$ 是关于 $Y$ 相对闭的，当且仅当 $E$ 在 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 中是闭的。
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- **命题 12.3.2**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq Y\subseteq X$。
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1. $E$ 是关于 $Y$ 相对开的，当且仅当存在 $X$ 上的开集 $F$ 使得 $E=F\cap Y$。
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**证明**：若 $E$ 是关于 $Y$ 相对开的。那么对每个 $x\in E$，存在 $r>0$ 使得 $B_{Y}(x,r)\subseteq E$，利用选择公理，将其记作 $r(x)$。记 $F=\bigcup_{x\in E}B_X(x,r(x))$。根据引理 12.2.6.9，$F$ 在上 $X$ 是开的。而 $F\cap Y=\bigcup_{x\in E}(B_X(x,r(x))\cap Y)=\bigcup_{x\in E}B_Y(x,r(x))=E$。
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若存在 $X$ 上的开集 $F$ 使得 $E=F\cap Y$。那么对任意 $x\in E$，存在 $r>0$ 使得 $B_X(x,r)\subseteq F\implies B_Y(x,r)\subseteq F\cap Y=E$。
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2. $E$ 是关于 $Y$ 相对闭的，当且仅当存在 $X$ 上的闭集 $F$ 使得 $E=F\cap Y$。
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**证明**：相应地取 $E$ 在 $Y$ 中的补集和 $F$ 在 $X$ 中的补集即可。
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## 12.4 柯西序列及完备度量空间
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- **引理 12.4.1**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上收敛到某 $L\in X$ 的点列，那么它的任意子序列也收敛到 $L$。
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- **定义 12.4.2（极限点）**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的点列，$L\in X$。称 $L$ 是 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$ 和 $N\geq m$，都存在 $n\geq N$ 使得 $d(x_n,L)<\varepsilon$。
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- **引理 12.4.3**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的点列，$L\in X$。$L$ 是 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 的极限点，当且仅当 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 有子序列收敛到 $L$。
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- **定义 12.4.4（柯西序列）**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的点列。称该点列为柯西序列，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $N\geq m$ 使得对任意 $i,j\geq N$ 都有 $d(x_i,x_j)<\varepsilon$。
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- **引理 12.4.5**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的收敛序列，那么它是柯西序列。
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引理 12.4.5 的逆命题在一般的度量空间中不一定成立。例如在度量空间 $(X,d)$ 上有一个由 $X\setminus \{x_0\}$ 中元素组成的收敛到 $x_0\in X$ 的序列，那么该序列在 $\left(X\setminus\{x_0\},d|_{(X\setminus \{x_0\})\times (X\setminus \{x_0\})}\right)$ 上是柯西序列，但不是收敛序列。
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//R一定是完备的吗？（无论度量）
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- **引理 12.4.6**：设 $(x_n)_{n=m}^{\infty}$ 是度量空间 $(X,d)$ 上的柯西序列。若它的一个子序列收敛到某 $L\in X$，那么它也收敛到 $L$。
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- **定义 12.4.7（完备度量空间）**：称度量空间 $(X,d)$ 是完备的，当且仅当 $(X,d)$ 上的柯西序列都是收敛序列。
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- **命题 12.4.8**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$(Y,d|_{Y\times Y})$ 是 $(X,d)$ 的子空间。如果 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是完备的，那么 $Y$ 在 $(X,d)$ 中是闭的。
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**证明**：对 $Y$ 的任意一个边界点 $x_0$，存在 $Y$ 上的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$。那么该序列是柯西列，从而是 $Y$ 上的收敛列，再根据极限的唯一性可知 $x_0\in Y$。
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- **命题 12.4.9**：设 $(X,d)$ 是完备度量空间，$Y\subseteq X$ 是闭集。那么子空间 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是完备的。
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**证明**：由于 $(X,d)$ 完备，子空间上的柯西列一定收敛，再根据闭集的性质可知一定收敛到 $Y$ 中，从而是子空间上的收敛列。
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- **命题 12.4.10**：设 $(X,d)$ 是度量空间。存在一个完备度量空间 $(\overline X,\overline d)$ 以 $(X,d)$ 作为子空间，且 $X$ 在 $(\overline X,\overline d)$ 中的闭包为 $\overline X$。
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**证明**：待补（考虑形式极限）。
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//该空间唯一吗？
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## 12.5 紧致度量空间
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- **定义 12.5.1（紧致性）**：称度量空间 $(X,d)$ 是紧致的，当且仅当 $(X,d)$ 上的每个序列都至少有一个收敛子列。称 $Y\subseteq X$ 是紧致的，当且仅当 $(Y,d|_{Y\times Y})$ 是紧致的。
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- **定义 12.5.2（有界集合）**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$Y\subseteq X$。称 $Y$ 是有界的，当且仅当存在 $x\in X$ 和 $r>0$ 使得 $Y\subseteq B(x,r)$。
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- **命题 12.5.3**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间。那么 $(X,d)$ 是完备的，且其自身也是有界子集。
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命题 12.5.3 的逆命题不成立。可以考虑一个带离散度量的无限集合，它是完备且有界的，但并非紧致的。
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- **定理 12.5.4**：设 $(\mathbb R^n,d)$ 是欧几里得空间，其度量 $d$ 由范数导出。设 $E\subseteq \mathbb R^n$，那么 $E$ 是紧致集合当且仅当它是闭的且是有界的。
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- **定理 12.5.5**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$Y\subseteq X$。下列命题等价：
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1. $Y$ 是紧致的。
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2. 对任意一簇 $X$ 的开集 $(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$，如果 $Y\subseteq \bigcup_{\alpha\in I}V_{\alpha}$，那么存在 $I$ 的有限子集 $J$ 使得 $Y\subseteq \bigcup_{\alpha\in J}V_{\alpha}$。
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**证明**：默认 $Y$ 非空。1->2：假设对 $(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 不存在。对每个 $y\in Y$，定义 $r(y):=\sup\{r>0:\exists_{\alpha\in I},B(y,r)\subseteq V_{\alpha}\}$。设 $\delta=\inf\{r(y):y\in Y\}$。
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- 若 $0<\delta<+\infty$。可以递归地取出一个点列 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对任意 $n>1$，$y_n\not\in \bigcup_{i<n}B(y_i,\frac 12r(y_i))$（这里先用选择公理为每个有限列指定下一项，再构造无限列）。那么该序列满足任意两点的距离 $\geq \frac \delta 2$。当又根据紧致性，可以取出它的一个收敛子列，矛盾。
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- 若 $\delta=+\infty$。则和上一种情况类似。
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- 若 $\delta=0$。可以取出一个点列 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得 $r(y_n)\to 0,n\to \infty$。根据紧致性，可以取出它的一个收敛子列 $(z_n)_{n=1}^{\infty}$。设 $z_n\to z,n\to\infty$。而当 $d(z,z_n)\leq \frac{1}{2}r(z)$ 时，应当有 $r(z_n)\geq \frac 12 r(z)$，这与 $r(z_n)\to 0,n\to \infty$ 矛盾。
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2->1：假设 $Y$ 不紧致。那么存在一个点列 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 没有极限点。那么对每个 $x\in X$，存在 $\varepsilon(x)>0$ 使得 $B(x,\varepsilon(x))\cap \{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 的大小是有限的。而存在一组有限集 $Z\subseteq X$ 使得 $X\subseteq \bigcup_{x\in Z}B(x,\varepsilon(x))$。那么：
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$$
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\{y_n\}_{n=1}^{\infty}=X\cap \{y_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq \bigcup_{x\in Z}B(x,\varepsilon(x))\cap \{y_n\}_{n=1}^{\infty}
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$$
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左侧显然不是有限集（否则点列会有极限点），而右侧是有限集，矛盾。
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- **推论 12.5.6**：设 $(X,d)$ 是度量空间。下列命题等价：
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1. $X$ 是紧致的。
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2. 对任意一簇 $X$ 的开集 $(V_{\alpha})_{\alpha\in I}$，如果 $X=\bigcup_{\alpha\in I}V_{\alpha}$，那么存在 $I$ 的有限子集 $J$ 使得 $X=\bigcup_{\alpha\in J}V_{\alpha}$。
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例如，考虑带有绝对值度量的空间 $\mathbb R^+$，$((\frac 1n,+\infty))_{n=1}^{\infty}$ 是它的一组开覆盖，但它没有有限子覆盖。
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- **命题 12.5.7**：设 $(X,d)$ 是度量空间。下列命题等价：
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1. $X$ 是紧致的。
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2. $X$ 是完备的，且对每个 $\varepsilon>0$ 都存在 $X$ 的有限子集 $Y$ 满足 $X=\bigcup_{x\in Y}B(x,\varepsilon)$。
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**证明**：1->2：推论 12.5.6 的直接推论。
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2->1：设 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $X$ 上的任意点列。递归地构造点列 $((x_{k,n})_{n=1}^{\infty})_{k=1}^{\infty}$，使得 $(x_{k+1,n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $(x_{k,n})_{n=2}^{\infty}$ 的子列，且 $\{x_{k+1,n}\}_{n=1}^{\infty}$ 都在某个 $B(x,\frac{1}{k})$ 中。然后 $(x_{k,1})_{k=1}^{\infty}$ 是 $(x_{1,n})_{n=1}^{\infty}$ 的一个子列，且它是柯西的。再根据完备性可知它收敛。
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- **命题 12.5.8**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$(K_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 的一个闭子集族，满足对任意有限集 $J\subseteq I$，$\bigcap_{\alpha\in J}K_{\alpha}$ 非空。那么 $\bigcap_{\alpha\in I}K_{\alpha}$ 非空。
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**证明**：取 $K_{\alpha}$ 的补集再用推论 12.5.6。
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src/第13章 度量空间上的连续函数.md
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## 一、连续函数
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- **定义 13.1.1（连续函数）**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。
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设 $x_0\in X$。称 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$ 使得对任意 $x\in X$ 满足 $d_X(x,x_0)<\delta$ 都有 $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$。
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如果 $f$ 在 $X$ 上的每一点处都连续，则称 $f$ 是连续的。
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- **定理 13.1.2**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。设 $x_0\in X$，那么下列命题等价：
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1. $f$ 在 $x_0$ 处连续。
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2. 对任何 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$。
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3. 对任意含有 $f(x_0)$ 的开集 $V\subseteq Y$，都存在含有 $x_0$ 的开集 $U\subseteq X$ 使得 $f(U)\subseteq V$。
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- **定理 13.1.3**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。下列命题等价：
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1. $f$ 是连续的。
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2. 对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$。
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3. 对任意开集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是开集。
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4. 对任意闭集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是闭集。
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连续函数不保开性和闭性，例如由 $f(x):=(x,0)$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ 不保开性，由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ 既不保闭性也不保开性。
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- **命题 13.1.4**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$ 都是度量空间，$f:X\to Y,g:Y\to Z$ 是函数。
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若 $f$ 在 $x_0\in X$ 处连续，$g$ 在 $f(x_0)$ 处连续，$g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。
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若 $f$ 连续，$g$ 连续，$g\circ f$ 连续。
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## 二、连续性与乘积空间
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- **引理 13.2.1**：设 $(X,d_X)$ 是度量空间，$f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R$ 是函数。设 $f\oplus g:X\to\mathbb R^2$ 是它们的直和。$\mathbb R$ 上使用绝对值度量，$\mathbb R^2$ 上使用欧几里得度量。
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设 $x_0\in X$，那么 $f,g$ 都在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f\oplus g$ 在 $x_0$ 处连续。
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$f,g$ 都连续当且仅当 $f\oplus g$ 连续。
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- **命题 13.2.2**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R$ 是函数。
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设 $x_0\in X$，$f,g$ 都在 $x_0$ 处连续。那么 $f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都在 $x_0$ 处连续。若 $c\in\mathbb R$，那么 $cf$ 在 $x_0$ 处连续。若 $g$ 恒非零，那么 $\frac fg$ 在 $x_0$ 处连续。
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设 $f,g$ 连续。那么 $f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都连续。若 $c\in\mathbb R$，那么 $cf$ 连续。若 $g$ 恒非零，那么 $\frac fg$ 连续。
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**证明**：以 $f+g$ 为例，由连续函数的复合知 $x\mapsto (f(x),g(x))\mapsto f(x)+g(x)$ 是连续的。
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## 三、连续性与紧致性
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- **定理 13.3.1**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是连续函数。若 $X$ 是紧致的，那么 $f(X)$ 也是紧致的。
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连续函数不保完备性。例如由 $f(x):=\frac 1x$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to (0,1]$。
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- **推论 13.3.2**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 在某点取到最小值，也在某点取到最大值。
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- **定义 13.3.3（一致连续性）**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。称 $f$ 是一致连续的，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in X$ 满足 $d_X(x_1,x_2)<\delta$，都有 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$。
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- **命题 13.3.4**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 是一致连续的。
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## 四、连续性与连通性
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- **定义 13.4.1（连通）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。称 $X$ 是不连通的，如果存在非空开集 $V,W\subseteq X$，使得 $V\cap W=\varnothing$ 且 $V\cup W=X$。称 $X$ 是连通的，如果 $X$ 是非空的且不是不连通的。对于空集，我们不定义它的连通性。
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- **引理 13.4.2**：设 $(X,d)$ 是度量空间。$X$ 是不连通的，当且仅当存在非空真子集 $\varnothing \subsetneq V\subsetneq X$，使得 $V$ 没有边界点。
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**证明**：注意到 $V$ 和 $X\setminus V$ 拥有相同的边界点集合。
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- **定理 13.4.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是连通的当且仅当 $X$ 是区间。
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**证明**：<=：$X$ 的子集 $V$ 没有边界点，$V$ 必须同时包含区间的左右端点，而 $V$ 和 $X\setminus V$ 不可能同时满足这个条件。
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=>：如果 $X$ 不是区间，那么存在 $x<z<y$ 满足 $x,y\in X$ 而 $z\not\in X$。取 $\{e\in X:e<z\}$ 就是 $X$ 的一个没有边界点的非空真子集。
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- **定理 13.4.4**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是连续函数。若 $X$ 是连通的，那么 $f(X)$ 也是连通的。
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**证明**：没有边界点意味着既开又闭，那么利用定理 13.1.3 说明 $f(X)$ 不连通则 $X$ 不连通即可。也就是说，若 $f(X)=V\cup W$ 不连通，那么对每个 $x_0\in X$，一定存在包含 $f(x_0)$ 的开集都同属于 $V$ 或同属于 $W$，从而一定存在包含 $x_0$ 的开集都同属于 $f^{-1}(V)$ 或同属于 $f^{-1}(W)$，从而 $f^{-1}(V)$ 没有边界点。
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- **推论 13.4.5**：设 $(X,d)$ 是连通度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f(X)$ 是区间。
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- **命题 13.4.6**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$(E_\alpha)_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 的一簇连通子集。若 $\bigcap_{\alpha\in I}E_\alpha$ 非空，那么 $\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha}$ 是连通的。
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**证明**：设 $V$ 是 $\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha$ 的一个非空真子集，存在 $\alpha\in I$ 使得 $V\cap E_\alpha$ 是 $E_\alpha$ 的非空真子集（否则对任意 $\alpha\in I$ 必有 $V\cap E_{\alpha}=\varnothing$ 或 $E_{\alpha}\subseteq V$，再结合所有 $E_{\alpha}$ 的交非空即可引出矛盾），那么 $V\cap E_\alpha$ 在 $E_{\alpha}$ 中的边界点也是 $V$ 在 $\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha$ 中的边界点。
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- **定义 13.4.7（路连通）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。称 $X$ 是路连通的，当且仅当对任意 $x,y\in X$，都存在连续函数 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。
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- **定理 13.4.8**：设 $(X,d)$ 是度量空间。若 $X$ 是路连通的，则 $X$ 是连通的。
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**证明**：设 $V$ 是 $X$ 的非空真子集。任取 $x\in V$ 和 $y\in X\setminus V$，存在 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。取 $a=\sup\{b\in [0,1]:f(b)\in V\}$，那么 $f(b)$ 是 $V$ 的边界点，因为包含 $b$ 的任意小开区间内都存在 $f$ 值在 $V$ 内和 $V$ 外的。
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//连通空间不一定路连通
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- **命题 13.4.9**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$。若 $E$ 是连通的，那么 $\overline E$ 是连通的。
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**证明**：对 $\overline E$ 的非空真子集 $V$，如果 $E\cap V$ 是 $E$ 的非空真子集，那么它在 $E$ 中的边界点也是 $V$ 在 $\overline E$ 中的边界点。否则，$\overline E\setminus E\setminus V$ 都是 $V$ 的边界点。
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- **定义 13.4.10（连通分支）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。对于 $x,y\in X$，定义 $x\sim y$ 当且仅当存在一个 $X$ 的子集合包含 $x,y$。那么 $\sim$ 是等价关系。将该等价关系划分为的每个等价类称为 $X$ 的连通分支。
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**证明**：传递性使用命题 13.4.6。
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## 五、拓扑空间
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选读。
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@ -424,7 +424,7 @@ $$
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还有一些其他的等价描述，它们与序集密切相关，我们将在 8.5 中阐述。
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#### 8.5 序集
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## 8.5 序集
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序集理论是集合论中的重要分支，我们之前已经了解了序集的不少例子，现在我们来正式地介绍序集。我们暂只介绍偏序集、全序集、良序集三种序集。
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