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@@ -22,7 +22,7 @@ $\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}$
 
 连续不一定可微。例如绝对值函数 $f(x):=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可微。另一个反例是，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{true}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。”图像有切线“ 也不一定可微，因为切线可能是垂直的，例如 $f(x):=\sqrt x$ 在 $0$ 处就连续但不可微。
 
-连续（极限）和微分在某种意义上是相似的：考虑函数 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的，其实等价于 $f(x)=f(x_0)+o(1),x\to x_0$；而 $f$ 在 $x_0$ 处有导数 $f'(x_0)$，就等价于 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0$。这说明 “极限” 实际上描述了 $f$ 在 $x_0$ 附近的常数近似（从而 ”连续“ 或 ”有极限“ 是在说明 $f$ 在 $x_0$ 附近有常数近似），而 “微分” 实际上描述了 $f$ 在 $x_0$ 附近的线性近似（从而 ”可微“ 是在说明 $f$ 在 $x_0$ 附近有线性近似），进一步地，如果存在 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 使得 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$，我们就找到了 $f$ 在 $x_0$ 附近的多项式近似（注意这与所谓的 ”高阶导数“ 是完全不同的概念）。所以无论如何，极限、导数、多项式近似，都是为了用更简单的方式刻画 $f$ 在某一点附近的函数性质。当然，作为推论，可微性蕴含连续性是极其合理的。
+连续（极限）和微分在某种意义上是相似的：考虑函数 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的，其实等价于 $f(x)=f(x_0)+o(1),x\to x_0$；而 $f$ 在 $x_0$ 处有导数 $f'(x_0)$，就等价于 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),x\to x_0$。这说明 “极限” 实际上描述了 $f$ 在 $x_0$ 附近的常数近似（从而 ”连续“ 或 ”有极限“ 是在说明 $f$ 在 $x_0$ 附近有常数近似），而 “微分” 实际上描述了 $f$ 在 $x_0$ 附近的线性近似（从而 ”可微“ 是在说明 $f$ 在 $x_0$ 附近有线性近似），进一步地，如果存在 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 使得 $f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$，我们就找到了 $f$ 在 $x_0$ 附近的多项式近似（注意这与所谓的 ”高阶导数“ 是不同的概念，尽管我们将看到它们之间确实存在联系）。所以无论如何，极限、导数、多项式近似，都是为了用更简单的方式刻画 $f$ 在某一点附近的函数性质。当然，作为推论，可微性蕴含连续性是极其合理的。
 
 可微函数的导函数不一定连续：$f(x):=\begin{cases}x^2\sin \frac 1x &x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$，其导数为 $f'(x)=\begin{cases}2x\sin \frac 1x-\cos \frac 1x&x\neq 0\\0& x=0\end{cases}$，那么对于任意正整数 $k$ 有 $f'(\frac 1{2k\pi})=\frac{1}{k\pi}\sin(2k\pi)-\cos(2k\pi)=-1$，则 $f'$ 在 $0$ 处不连续。
 
@@ -199,49 +199,15 @@ $\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}$
 
 注意定理 10.4.2 中 “$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续” 的条件不可省略。例如由 $f(x):=\begin{cases}x+1&-1\leq x<0\\x-1&0\leq x<1\end{cases}$ 定义的函数 $f:[-1,1)\to[-1,1)$ 并取 $x_0=-1$ 就是一个反例。
 
-## 10.5 洛必达法则
+## 10.5 高阶导数
 
-- **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么：
-  
-  $$
-  \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}
-  $$
-  
-  **证明**：正确的顺序是从后往前推：
-  
-  $$
-  \begin{aligned}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\end{aligned}
-  $$
-  
-- **命题 10.5.2（洛必达法则 2）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 都是在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微的函数，满足 $f(a)=g(a)=0$，且对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $g'(x)\neq 0$，且满足：
-
-  $$
-  \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L
-  $$
-
-  那么对于任意 $x\in (a,b]$ 有 $g(x)\neq 0$，且：
-
-  $$
-  \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L
-  $$
-
-  **证明**：若存在 $x\in (a,b]$ 使得 $g(x)=0$，根据拉格朗日中值定理，存在 $y\in(0,x)$ 使得 $g'(y)=0$，矛盾。
-
-  设任意 $(a,b]$ 上的收敛到 $a$ 的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$。
-
-  设 $n\geq 0$ 和由 $h_n(x):=f(x)g(x_n)-g(x)f(x_n)$ 定义的函数 $h_n:[a,x_n]\to\mathbb R$。那么 $h_n$ 在 $(a,x_n)$ 上可微，且对于任意 $x\in(a,x_n)$ 有 $h_n'(x)=f'(x)g(x_n)-g'(x)f(x_n)$，同时我们知道 $h_n(a)=h_n(x_n)=0$，于是根据拉格朗日中值定理，存在 $y_n\in(a,x_n)$ 使得 $h_n'(y_n)=0$，即 $\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f'(y_n)}{g'(y_n)}$。
-
-  根据选择公理，存在一组 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足条件。注意到 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 应收敛到 $a$，那么 $\left(\frac{f'(y_n)}{g'(y_n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，即 $\left(\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$。
-
-## 10.6 高阶导数
-
-- **定义 10.6.1（高阶导数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。那么称 $f$ 是 $0$ 阶可微的，且有 $0$ 阶导函数 $f^{(0)}:=f$。然后递归地定义函数的高阶可微性，设 $n\in\mathbb N$：
+- **定义 10.5.1（高阶导数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。那么称 $f$ 是 $0$ 阶可微的，且有 $0$ 阶导函数 $f^{(0)}:=f$。然后递归地定义函数的高阶可微性，设 $n\in\mathbb N$：
 
   设 $f$ 是 $n$ 阶可微的。若 $x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点且 $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 处可微，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可微，且记其在 $x_0$ 处的 $n+1$ 阶导数为 $f^{(n+1)}(x_0):=(f^{(n)})'(x_0)$。若 $f$ 在任意 $x_0\in X$ 处 $n+1$ 阶可微，那么称 $f$ 是 $n+1$ 阶可微的，$f^{(n+1)}$ 记为其 $n+1$ 阶导函数。
 
   定义 $\mathscr C^n(X):=\{f\in \mathbb R^X:f\text{ 是 }n\text{ 阶可微的且 }f^{(n)}\text{ 是连续函数}\}$，$\mathscr C^{\infty}(X):=\bigcap\limits_{n\in\mathbb N}\mathscr C^n(X)$。
 
-- **引理 10.6.2（函数加乘的高阶导数算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。那么：
+- **引理 10.5.2（函数加乘的高阶导数算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。那么：
 
   1. $f+g$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微且 $(f+g)^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)+g^{(n)}(x_0)$。
   2. $kf$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微且 $(kf)^{(n)}(x_0)=kf^{(n)}(x_0)$。
@@ -249,29 +215,31 @@ $\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}$
 
   **证明**：对 $n$ 归纳即可。直观的看法是，1,2 的原因是求导是线性变换（这是因为微分是函数的线性近似，那么对函数做线性组合，它们对应的微分也应做对应的线性组合），而线性变换的复合仍然是线性变换。而对于 3，函数乘起来求导可以看作是选一个求导再加起来，那么 $n$ 次求导就可以看作是选 $n$ 次、选完之后再将所有的结果加起来（这也依赖于求导的线性性）。
 
-- **引理 10.6.3（复合函数的高阶导数算律）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f:X\to Y$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，$y_0:=f(x_0)\in Y$ 是 $Y$ 的聚点，$g:Y\to \mathbb R$ 是在 $y_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。
+- **引理 10.5.3（复合函数的高阶导数算律）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f:X\to Y$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，$y_0:=f(x_0)\in Y$ 是 $Y$ 的聚点，$g:Y\to \mathbb R$ 是在 $y_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。
 
   那么函数 $g\circ f:X\to \mathbb R$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，且是关于 $f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}(x_0),(g'\circ f)(x_0),(g''\circ f)(x_0),\cdots,(g^{(n)}\circ f)(x_0)$ 的多项式。进一步地：
+  
   $$
   (g\circ f)^{(n)}(x_0)=\left.\sum_{1 m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n}\frac{\binom{n}{\underbrace{1,\cdots,1}_{m_1\text{个}},\underbrace{2,\cdots,2}_{m_2\text{个}},\cdots,\underbrace{n,\cdots,n}_{m_n\text{个}}}}{m_1!\cdots m_n!}(g^{(m_1+\cdots+m_n)}\circ f)\cdot (f')^{m_1}\cdot (f'')^{m_2}\cdots (f^{(n)})^{m_n}\right|_{x_0}
   $$
-  **证明**：对 $n$ 归纳。假设命题关于 $n$ 成立，$(g\circ f)^{(n+1)}(x_0)=((g'\circ f)\cdot f')^{(n)}(x_0)$，由于 $g',f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，所以 $(g'\circ f)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，而 $f'$ 也在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，于是根据引理 10.6.2.3，$(g'\circ f)\cdot f'$ 也在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，从而 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可微。
+  
+  **证明**：对 $n$ 归纳。假设命题关于 $n$ 成立，$(g\circ f)^{(n+1)}(x_0)=((g'\circ f)\cdot f')^{(n)}(x_0)$，由于 $g',f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，所以 $(g'\circ f)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，而 $f'$ 也在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，于是根据引理 10.5.2.3，$(g'\circ f)\cdot f'$ 也在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微，从而 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可微。
 
   而那个式子实际上就是一个组合问题：每次为形如 $(g^{(m_1+\cdots+m_n)}\circ f)\cdot (f')^{m_1}\cdot (f'')^{m_2}\cdots (f^{(n)})^{m_n}$ 的每一项求导，那要么在后面的 $m_1+\cdots+m_n$ 个形如 $f^{(i)}$ 的可区分的函数中选一个出来求一次导变成 $f^{(i+1)}$，要么为第一项 $g^{(m_1+\cdots+m_n)}\circ f$ 求导，变成 $g^{(m_1+\cdots+m_n+1)}\circ f$ 再往后多添一个 $f'$。所以枚举最后乘积中的函数构成：$m_1$ 个 $f'$、$m_2$ 个 $f''$、……、$m_n$ 个 $f^{(n)}$，对应的在最前面乘着的就应该是 $g^{(m_1+\cdots+m_n)}\circ f$，因为每多添一项 $g$ 的导数就多一阶。然后为后面的每个 $f^{(i)}$ 分配是 $n$ 次操作中的哪 $i$ 次操作让它依次变成 $f',f'',\cdots,f^{(i)}$，但是对于每个 $i$，这 $m_i$ 个 $f^{(i)}$ 在出现时不应被加以区分（或者说它们出现时是被 $g^{(\cdots)}\circ f$ 求导创造出来的，而不是从一堆 $f^{(0)}$ 中选一个求导得到的），所以最后要除以 $m_i!$。
 
-作为引理 10.6.3 的推论，$(g(ax+b))^{(n)}=g^{(n)}(ax+b)a^n$，这是因为 $ax+b$ 求两次导就变成 $0$ 了。
+作为引理 10.5.3 的推论，$(g(ax+b))^{(n)}=g^{(n)}(ax+b)a^n$，这是因为 $ax+b$ 求两次导就变成 $0$ 了。
 
-- **引理 10.6.4（函数相除的高阶导数算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，$g(x_0)\neq 0$。那么 $\frac fg$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。
+- **引理 10.5.4（函数相除的高阶导数算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，$g(x_0)\neq 0$。那么 $\frac fg$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。
 
   **证明**：记 $h(y):=\frac 1y$，那么 $\frac fg=f\cdot (h\circ g)$，而 $h$ 任意阶可微（归纳并利用多项式的微分），所以 $\frac fg$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微。
 
-- **引理 10.6.5（反函数的高阶导数算律）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f:X\to Y$ 是双射，$y_0=f(x_0)$。若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微且 $f'(x_0)\neq 0$，$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处 $n$ 阶可微。
+- **引理 10.5.5（反函数的高阶导数算律）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f:X\to Y$ 是双射，$y_0=f(x_0)$。若 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微且 $f'(x_0)\neq 0$，$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处 $n$ 阶可微。
 
   **证明**：对 $n$ 归纳。假设命题关于 $n$ 成立，$(f^{-1})^{(n+1)}(y_0)=(\frac{1}{f'\circ f^{-1}})^{(n)}(y_0)$，由于 $f',f^{-1}$ 分别在 $x_0,y_0$ 处 $n$ 阶可微且 $(f'\circ f^{-1})(y_0)=f'(x_0)\neq 0$，故 $\frac{1}{f\circ f^{-1}}$ 在 $y_0$ 处 $n$ 阶可微，从而 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处 $n+1$ 阶可微。
 
 高阶导数的一个直接应用是判断极值。
 
-- **定理 10.6.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\geq 2$ 是正整数，$f:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，且 $f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)>0$。
+- **定理 10.5.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\geq 2$ 是正整数，$f:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数，且 $f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)>0$。
 
   若 $n$ 是偶数，则 $x_0$ 是 $f$ 的严格极小值点；若 $n$ 是奇数，则 $f$ 在 $x_0$ 附近严格单调增。
 
@@ -279,9 +247,69 @@ $\renewcommand{\overgroup}[1]{\overparen{#1}}$
 
 对于 $f^{(n)}(x_0)<0$ 的情况，也有类似的结论。
 
+## 10.6 洛必达法则与泰勒公式
+
+- **定理 10.6.1（洛必达法则 $\frac{0}{0}$）**：设 $c,A$ 有邻域，$X$ 是 $c$ 的去心邻域，$f,g:X\to\mathbb R$ 是可微函数且 $g'$ 恒非零，$\lim\limits_{x\to c}f(x)=\lim\limits_{x\to c}g(x)=0$，$\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$。那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。
+
+  **证明**：不妨设 $c\neq \infty$，否则对 $c=-\infty$ 和 $c=+\infty$ 分别得出结论后再结合到一起即可。
+
+  设 $V$ 是 $A$ 的任意邻域。存在 $c$ 的去心邻域 $W$ 使得对于任意 $x\in W$ 有 $\frac{f'(x)}{g'(x)}\in V$。那么对任意 $x\in W$，不妨设 $c<x$，由柯西微分中值定理，存在 $\xi\in (c,x)$ 使得 $f'(\xi)(g(x)-0)=g'(\xi)(f(x)-0)$，又命题 10.3.3 可知 $g$ 在 $(c,x)$ 上严格单调，故 $g(x)\neq 0$，于是可化简为 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\in V$。从而 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。
+
+- **定理 10.6.2（洛必达法则 $\frac{\infty}{\infty}$）**：设 $c$ 有邻域，$X$ 是 $c$ 的去心邻域，$f,g:X\to\mathbb R$ 是可微函数且 $g'$ 恒非零，$\lim\limits_{x\to c}g(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\in\mathbb R^*\cup \{\infty\}$。那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。
+
+  **证明**：不妨设 $A\in\mathbb R$，其它情况的证明是类似的。不妨设 $c$ 有左去心邻域（$c\neq -\infty$），接下来说明 $\lim\limits_{x\to c^-}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。$c$ 右侧的极限可以类似说明（如果 $c$ 有右去心邻域），再结合在一起即可。
+
+  根据命题 10.3.3 可知 $g$ 在 $c$ 左侧（即 $X\cap (-\infty,c)$ 上）严格单调，不妨设 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=+\infty$，那么存在 $g$ 的 $c$ 的左去心邻域 $W'$，使得 $g$ 在 $W'$ 上恒正且严格单调增。
+
+  设 $\varepsilon'>0$ 是任意正实数，任取 $0<\varepsilon<\varepsilon'$。存在 $c$ 的左去心邻域 $W\subseteq W'$ 使得对任意 $x\in W$ 有 $\frac{f'(x)}{g'(x)}\in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$。
+
+  任取 $x_0\in W$，对任意 $x\in(x_0,c)$，根据柯西微分中值定理，存在 $\xi \in(x_0,x)$ 使得 $f'(\xi)(g(x)-g(x_0))=g'(\xi)(f(x)-f(x_0))$，从而 $\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\in(A-\varepsilon,A+\varepsilon)$，那么 $f(x)>(A-\varepsilon')g(x)+(\varepsilon'-\varepsilon)g(x)+(f(x_0)-(A-\varepsilon) g(x_0))$。由于 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=+\infty$，于是在 $c$ 的某左去心邻域必然有 $f(x)>(A-\varepsilon')g(x)$，即 $\frac{f(x)}{g(x)}>A-\varepsilon'$。另一侧同理。
+
+  于是 $\lim\limits_{x\to c^-}\frac{f(x)}{g(x)}=A$。
+
+注意，$\frac\infty\infty$ 型的洛必达法则中，相较于 $\frac 00$ 型，$A$ 可取的范围更有限。例如由 $f(x):=x$ 和 $g(x)=x+1$ 定义的函数 $f,g:[0,+\infty)\to\mathbb R$ 满足 $\frac\infty\infty$ 型洛必达法则的其他条件和 $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1^+$，但 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\neq 1^+$。
+
+- **推论 10.6.3**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$x_0\in I$，$f:I\to\mathbb R$ 是连续函数且在 $I\setminus\{x_0\}$ 上可微，$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=A\in\mathbb R$。那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f'(x_0)=A$。
+
+  **证明**：应用 $\frac 00$ 型洛必达法则：$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(f(x)-f(x_0))'}{(x-x_0)'}=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=A$。
+
+事实上，推论 10.6.3 重在说明 $f$ 在 $x_0$ 处可微，因为由达布引理可以知道此时一定有 $f'(x_0)=A$。
+
+接下来我们介绍泰勒公式。
+
+- **定义 10.6.4（泰勒多项式）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$x_0\in X$ 是 $X$ 的聚点，$n\in\mathbb N$，$f:X\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶泰勒多项式为 $Tf_{x_0,n}(h):=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}h^n$。
+
+- **定理 10.6.5（泰勒公式-皮亚诺余项）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$x_0\in I$，$n\in\mathbb N$，$f:I\to\mathbb R$ 是在 $x_0$ 处 $n$ 阶可微的函数。那么多项式 $P_n(h)=a_0+a_1h+\cdots+a_nh^n$ 满足 $f(x_0+h)=P_n(h)+o(h^n),h\to 0$，当且仅当 $P_n(h)=Tf_{x_0,n}(h)$。
+
+  **证明**：对 $n$ 归纳。$n=0$ 时命题显然成立。归纳假设命题关于 $n\in\mathbb N$ 成立。那么对任意 $1\leq i\leq n$，由于 $Tf^{(i)}_{x_0,n}(h)=T(f^{(i)})_{x_0,n-i}$，再结合归纳假设可知 $\lim\limits_{h\to 0}f^{(i)}(x_0+h)-Tf^{(i)}_{x_0,n}(h)=0$。
+  
+  $$
+  \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-Tf_{x_0,n}(h)}{h^{n+1}}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0+h)-Tf_{x_0,n}'(h)}{(n+1)h^{n}}=\cdots=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(x_0+h)-Tf^{(n)}_{x_0,n}(h)}{(n+1)!h}=\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}
+  $$
+  
+  前面都是在用 $\frac 00$ 型的洛必达法则。最后一步是因为：
+  
+  $$
+  \frac{f^{(n)}(x_0+h)-Tf^{(n)}_{x_0,n}(h)}{(n+1)!h}=\frac{f^{(n)}(x_0+h)-T(f^{(n)})_{x_0,0}(h)}{(n+1)!h}=\frac{f^{(n)}(x_0)+f^{(n+1)}(x_0)h+o(h)-f^{(n)}(x_0)}{(n+1)!h}=\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}+o(1)
+  $$
+  
+  最后一步不能用洛必达法则是因为条件并没有保证 $f^{(n)}$ 在 $x_0$ 附近可导，只保证了 $f$ 在 $x_0$ 处 $n+1$ 阶可微。
+
+注意，两个具有相同泰勒多项式的函数不一定相等。最典型的例子就是两个函数都比任意 $h^n$ 阶小，但一者可能恒为 $0$，一者可能是指数级趋向于 $0$ 的，比如由 $f(x):=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 在 $0$ 处的任意阶泰勒多项式都是恒零。那么对任意的函数 $g$，可以证明 $g$ 与 $g(1+f)$ 在 $0$ 处具有相同的泰勒多项式，从而这种情况是普遍存在的。
+
+- **定理 10.6.6（泰勒公式-拉格朗日余项）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$x_0\in I$，$n\in\mathbb N$，$f:I\to\mathbb R$ 是 $n+1$ 阶可微的函数。那么对于任意 $x \in I$ 且 $x\neq x_0$，都存在严格介于 $x_0,x$ 之间的 $\xi$ 使得 $f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。
+
+  **证明**：不妨设 $x_0<x$。那么根据柯西微分中值定理，存在 $x_0<\xi_{n+1}<\cdots<\xi_1<x$ 使得：
+  
+  $$
+  \frac{f(x)-Tf_{x_0,n}(x-x_0)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{f'(\xi_1)-Tf_{x_0,n}'(\xi_1-x_0)}{(n+1)(x-x_0)^n}=\cdots=\frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}
+  $$
+
+皮亚诺余项的泰勒公式是函数的局部性质，常用于求渐近展开和极限；拉格朗日余项的泰勒公式是函数的整体性质，常用于误差分析（特别是在函数的任意阶导函数都有已知界的情况）。
+
 ## 10.7 凸函数
 
-- **定义 10.7.1（凸函数）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是下凸的，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in I \land x_1\neq x_2$ 和 $0<t<1$ 有 $f((1-t)x_1+tx_2)\leq(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$。若不等式中的 $\leq$ 从不取等，那么称 $f$ 是严格下凸的。
+- **定义 10.7.1（凸函数）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是下凸的，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in I$ 和 $0<t<1$ 有 $f((1-t)x_1+tx_2)\leq(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$。若除非 $x_1=x_2$，不等式中的 $\leq$ 从不取等，那么称 $f$ 是严格下凸的。
 
   称 $f$ 是（严格）上凸的，当且仅当 $-f$ 是（严格）下凸的。
 
@@ -290,6 +318,7 @@ $(1-t)A+tB=A+(B-A)t$，于是 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 实际上是从 $A$ 匀速地
 - **引理 10.7.2**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$x_1,x_2,x_3\in I$ 且 $x_1<x_2<x_3$。对任意 $a,b\in I\land a\neq b$ 定义 $k(a,b):\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ 为这两点的斜率（显然不可能为 $\infty$）。那么 $k(x_1,x_2)\leq k(x_1,x_3)\leq k(x_2,x_3)$。若 $f$ 是严格下凸的，那么等号永远取不到。
 
   **证明**：只证明 $k(x_1,x_2)\leq k(x_1,x_3)$，另一侧类似。记 $t=\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}$，那么 $(1-t)x_1+tx_3=x_2$。
+  
   $$
   k(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq \frac{\bigg(f(x_1)+t(f(x_3)-f(x_1))\bigg)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}=k(x_1,x_3)
   $$
@@ -378,16 +407,117 @@ $(1-t)A+tB=A+(B-A)t$，于是 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 实际上是从 $A$ 匀速地
   $$
   这蕴含 $f(x^*)=0$。
 
+凸函数在不等式方面也有很多应用。
+
+- **定理 10.7.14（琴生不等式）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$f:I\to\mathbb R$ 是下凸函数，$n$ 是正整数。那么对任意 $x_1,\cdots,x_n\in I$ 和实数 $t_1,\cdots,t_n>0$ 都有：
+  $$
+  f\left(\frac{t_1x_1+\cdots+t_nx_n}{t_1+\cdots+t_n}\right)\leq \frac{t_1f(x_1)+\cdots+t_nf(x_n)}{t_1+\cdots+t_n}
+  $$
+  
+  若 $f$ 是严格下凸的，那么除非 $x_1=\cdots=x_n$，不等式中的 $\leq$ 永不取等。
+  
+  **证明**：对 $n$ 归纳。归纳假设命题关于 $n-1$ 成立，那么：
+
+  $$
+  \begin{aligned}
+  f\left(\frac{t_1x_1+\cdots+t_{n}x_{n}}{t_1+\cdots+t_{n}}\right)&=f\left(\frac{(t_1+\cdots+t_{n-1})\frac{t_1x_1+\cdots+t_{n-1}x_{n-1}}{t_1+\cdots+t_{n-1}}+t_nx_n}{(t_1+\cdots+t_{n-1})+t_n}\right)\\
+  &\leq \frac{(t_1+\cdots+t_{n-1})f\left(\frac{t_1x_1+\cdots+t_{n-1}x_{n-1}}{t_1+\cdots+t_{n-1}}\right)+t_nf(x_n)}{(t_1+\cdots+t_{n-1})+t_n}\\
+  &\leq \frac{t_1f(x_1)+\cdots+t_{n-1}f(x_{n-1})+t_nf(x_n)}{t_1+\cdots+t_{n-1}+t_n}\\
+  \end{aligned}
+  $$
+
+
+琴生不等式是凸函数定义的扩展，描述了多个位置的情况下平均值的函数值与函数值的平均值的关系。
+
+- **定理 10.7.15（杨氏不等式）**：设实数 $p,q>0$ 满足 $\frac 1p+\frac 1q=1$，那么对于任意实数 $x,y>0$ 有：
+  $$
+  \frac {x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\geq xy
+  $$
+  
+  其中 $\geq$ 取等当且仅当 $x^p=y^q$。
+  
+**证明**：易知 $\ln x$ 是严格上凸函数，那么：
+  $$
+  \ln\left(\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\right)\geq \frac{\ln x^p}{p}+\frac{\ln y^q}{q}=\ln x+\ln y=\ln (xy)
+  $$
+  
+- **定理 10.7.16（赫尔德不等式）**：设实数 $p,q>0$ 满足 $\frac 1p+\frac 1q=1$，$n$ 是正整数，$a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n>0$ 是实数。那么：
+  $$
+  \sum_{i=1}^na_ib_i\leq\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac 1p}\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac 1q}
+  $$
+  
+  其中 $\leq$ 取等当且仅当 $\frac{a_1^p}{b_1^q}=\frac{a_2^p}{b_2^q}=\cdots=\frac{a_n^p}{b_n^q}$。
+  
+特别地，当 $p=q=2$ 时，即为柯西施瓦茨不等式。
+  
+**证明**：应用杨氏不等式：
+  
+  $$
+  \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{\left(\sum\limits_{j=1}^na_j^p\right)^{\frac 1p}}\frac{b_i}{\left(\sum\limits_{j=1}^nb_j^q\right)^{\frac 1q}}\leq \sum_{i=1}^n\frac 1p\frac{a_i^p}{\sum\limits_{j=1}^na_j^p}+\frac 1q\frac{b_i^q}{\sum\limits_{j=1}^nb_j^q}=\frac 1p+\frac 1q=1
+  $$
+  
+  个人猜想对证明思路的一种感性启发是：注意到杨氏不等式不等式两侧的次数是不等的（一侧和 $p,q$ 有关而一侧是常数），而赫尔德不等式两侧的次数是一样的，那么如果要运用杨氏不等式，只有可能是杨氏不等式两侧的次数都为 $0$，所以要把赫尔德不等式的右边除到左边，变成次数为 $0$ 的形式。
+  
+- **定理 10.7.17（闵可夫斯基不等式）**：设实数 $p>1$ 和 $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_n>0$。那么：
+  $$
+  \left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac 1p}\leq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac 1p}+\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac 1p}
+  $$
+  
+  其中 $\leq$ 取等当且仅当
+  
+  特别地，当 $p=2$ 时，即为欧几里得空间下的三角形不等式。
+  
+  **证明**：记 $q$ 使得 $\frac 1p+\frac 1q=1$，那么 $p+q=pq$ 且 $p,q>1$。应用赫尔德不等式：
+  
+  $$
+  \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac 1p}+\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{\frac 1p}\geq \frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i(a_i+b_i)^{p-1}}{\left(\sum\limits_{i=1}^n\big((a_i+b_i)^{p-1}\big)^q\right)^{\frac 1q}}+\frac{\sum\limits_{i=1}^n b_i(a_i+b_i)^{p-1}}{\left(\sum\limits_{i=1}^n\big((a_i+b_i)^{p-1}\big)^q\right)^{\frac 1q}}=\left(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right)^{\frac 1p}
+  $$
+
+赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式的证明感觉都很具技巧性，似乎在泛函分析中有更直观的理解。
+
+- **定理 10.7.18（幂平均不等式）**：设 $n\in\mathbb N^+$，实数 $x_1,\cdots,x_n>0$ 不全相等。由 $f(p):=\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac 1p}$ 定义函数 $f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R$。那么：
+
+  1. $f$ 是严格单调增函数。
+
+     **证明**：设 $p,q\in\mathbb R\land p<q$。由于 $f(-p)=\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^{-p}}{n}\right)^{\frac 1{-p}}=\frac 1{\left(\frac{\sum_{i=1}^n(\frac{1}{x_i})^p}{n}\right)^{\frac 1p}}$，所以不妨假设 $q>0$。那么 $\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac 1p}<\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^q}{n}\right)^{\frac 1q}\iff \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac qp}<\frac{\sum_{i=1}^nx_i^q}{n}$。
+
+     可以证明 $p<q\land q>0\implies\frac{q}{p}(\frac qp-1)>0$，故 $x^{\frac qp}$ 是严格下凸函数。根据琴生不等式：
+     $$
+     \left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac qp}<\frac{\sum_{i=1}^n(x_i^p)^{\frac qp}}{n}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i^q}{n}
+     $$
+     故 $f$ 是严格单调增的。
+
+  2. $\lim\limits_{p\to-\infty}f(p)=\min\{x_1,\cdots,x_n\}$，$\lim\limits_{p\to+\infty}f(p)=\max\{x_1,\cdots,x_n\}$。
+
+     **证明**：只证后者。不妨设 $x_1=\max\{x_1,\cdots,x_n\}$，那么：
+     $$
+     \lim_{p\to+\infty}f(p)=\lim_{p\to+\infty}\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac 1p}=x_1\lim_{p\to+\infty}\left(\frac{\sum_{i=1}^n(\frac{x_i}{x_1})^p}{n}\right)^{\frac 1p}=x_1
+     $$
+     最后一步是因为 $\frac{x_i}{x_1}\leq 1$，从而 $(\frac{x_i}{x_1})^p$ 将收敛到 $0$ 或 $1$，那么 $\frac{\sum_{i=1}^n(\frac{x_i}{x_1})^p}{n}$ 是有界的，从而它的 $\frac 1p$ 次幂最终会收敛到 $1$。
+
+  3. $\lim\limits_{p\to 0}f(p)=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}$。
+
+     **证明**：应用洛必达法则：
+     $$
+     \lim_{p\to 0}\ln f(p)=\lim_{p\to 0}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p}{n}\right)^{\frac 1p}=\lim_{p\to 0}\frac{\ln(\sum_{i=1}^nx_i^p)-\ln n}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{\sum_{i=1}^nx_i^p\ln x_i}{\sum_{i=1}^nx_i^p}=\frac{\sum_{i=1}^n\ln x_i}{n}=\ln\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}
+     $$
+
+- **推论 10.7.19（均值不等式）**：设 $n\in\mathbb N^+$，实数 $x_1,\cdots,x_n>0$。那么：
+  $$
+  \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}
+  $$
+  其中 $\leq$ 取等当且仅当 $x_1=\cdots=x_n$。
+
 最后，我们推广凸函数的定义。
 
-- **定义 10.7.14（凸集）**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$，称 $C$ 是凸集，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in C$ 和 $t\in(0,1)$，有 $(1-t)x_1+tx_2\in C$。
+- **定义 10.7.20（凸集）**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$，称 $C$ 是凸集，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in C$ 和 $t\in(0,1)$，有 $(1-t)x_1+tx_2\in C$。
 
 凸集的几何直观解释是：凸集中任意两点为端点的线段也在 $C$ 中。$\mathbb R$ 中的凸集就是区间。
 
-- **定义 10.7.15（凸函数）**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$ 是凸集，$f:C\to\mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是下凸的，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in C$ 和 $t\in(0,1)$，有 $f((1-t)x_1+tx_2)\leq(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$。称 $f$ 是上凸的，当且仅当 $-f$ 是下凸的。
+- **定义 10.7.21（凸函数）**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$ 是凸集，$f:C\to\mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是下凸的，当且仅当对任意 $x_1,x_2\in C$ 和 $t\in(0,1)$，有 $f((1-t)x_1+tx_2)\leq(1-t)f(x_1)+tf(x_2)$。称 $f$ 是上凸的，当且仅当 $-f$ 是下凸的。
 
 那么定义 10.7.1 与上述定义是相容的。
 
-- **引理 10.7.16**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$ 是凸集，$f:C\to\mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是下凸的，当且仅当 $\{(x,y):x\in C,y\in \mathbb R,y\geq f(x)\}$ 是凸集。
+- **引理 10.7.22**：设 $n$ 是正整数，$C\subseteq\mathbb R^n$ 是凸集，$f:C\to\mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是下凸的，当且仅当 $\{(x,y):x\in C,y\in \mathbb R,y\geq f(x)\}$ 是凸集。
 
-引理 10.7.16 中所述的集合有时被称为 $f$ 的 “上镜图”。
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+引理 10.7.22 中所述的集合有时被称为 $f$ 的 “上镜图”。
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