初步完成第9章和第10章

src/第10章 函数的微分.md

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 #### 10.1 基本定义
 
-- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
+- **定义 10.1.1（在一点处的可微性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点（非孤立点），$f:X\to\mathbb R$ 是函数。
 
     称 $f$ 在 $x_0$ 处可微且具有导数 $L$，记作 $f'(x_0):=L$，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 收敛到 $L$。
 
-    若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的极限点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
+    若极限不存在，或 $x_0\not\in X$，或 $x_0$ 不是 $X$ 的聚点，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可微。
 
-- **命题 10.1.2（牛顿逼近）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
+- **命题 10.1.2（牛顿逼近）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
 
     那么 $f$ 在 $x_0$ 处可微且导数为 $L$，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon|x-x_0|$。
 
     **证明**：根据定义可得。
 
-- **命题 10.1.3（可微性蕴含连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
+- **命题 10.1.3（可微性蕴含连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。
 
     **证明**：设 $f$ 在 $x_0$ 处导数为 $L$。
 
     设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。任取 $\varepsilon'>0$，根据命题 10.1.2，存在 $0<\delta\leq \frac \varepsilon {\varepsilon'+|L|}$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq \delta$，都有 $|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\leq\varepsilon'|x-x_0|$，得到 $|f(x)-f(x_0)|\leq(\varepsilon'+|L|)|x-x_0|\leq (\varepsilon'+|L|)\delta\leq \varepsilon$。证毕。
 
-//连续不一定可微。例如绝对值函数 $f(x):=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可微。
+连续不一定可微。例如绝对值函数 $f(x):=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可微。
 
-//利用同样的思路，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{true}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 $f(\frac1n):=a_n$ 把序列的反例放到函数啥上。
+另一个反例是，构造 $f:[0,+\infty)\to \mathbb R$ 满足 $f(x):=\begin{cases}x&\exists_{n\text{为正偶数}},x=\frac1n\\-x&\exists_{n为正奇数},x=\frac1n\\0&\text{true}\end{cases}$，那么 $f$ 同样是在 $0$ 处连续但不可微（斜率存在 $0,-1,1$ 三种）的。这个构造给我们一种启发：先构造一个在序列上的反例 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，然后通过令 $f(\frac1n):=a_n$ 把序列的反例放到函数啥上。
 
-- **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
+//连续意味着能一笔画完，可微意味着平滑？
+
+//可微函数的导函数不一定连续：$f(x):=\begin{cases}x^2\sin \frac 1x &x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$。
+
+- **定义 10.1.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。称 $f$ 是可微的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，都有 $f$ 在 $x_0$ 处可微。
 
 - **推论 10.1.5**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是可微的，则 $f$ 是连续的。
 
     **证明**：联合命题 10.1.4 和 “$f$ 在任何孤立点 $x_0$ 处都连续” 这一事实。
 
-- **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
+- **定理 10.1.6（微分算法）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$ 是函数。
 
     1. 若 $f$ 是常值函数，则 $f$ 可微且 $f'(x_0)=0$。
     2. 若对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)=x$，则 $f$ 可微且 $f'(x_0)=1$。
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     $$
     当然，正确的方向应该是从后往前推，这样才是正确使用极限算律的方向。
 
-- **定理 10.1.7（链式法则）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to Y$ 是在 $x_0$ 处可微的函数，$y_0:=f(x_0)$ 是 $Y$ 的极限点，$g:Y\to \mathbb R$ 是在 $y_0$ 处可微的函数。那么函数 $g\circ f:X\to \mathbb R$ 在 $x_0$ 处可微，且 $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$。
+- **定理 10.1.7（链式法则）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to Y$ 是在 $x_0$ 处可微的函数，$y_0:=f(x_0)$ 是 $Y$ 的聚点，$g:Y\to \mathbb R$ 是在 $y_0$ 处可微的函数。那么函数 $g\circ f:X\to \mathbb R$ 在 $x_0$ 处可微，且 $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)$。
 
     **证明**：设 $k_1:=f'(x_0)$ 和 $k_2:=g'(y_0)$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。
 
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     存在 $x_0<x<\min(b,x_0+\delta_1,x_0+\delta_2)$，此时同时有 $f(x)>f(x_0)$ 和 $f(x)\leq f(x_0)$，矛盾。
 
-//注意，用闭区间 $[a,b]$ 代替 $(a,b)$，该命题不一定成立。因为当区间的端点是局部极值时，其导数不一定为 $0$。
+在命题 10.2.2 中，用闭区间 $[a,b]$ 代替 $(a,b)$，该命题不一定成立。因为当区间的端点是局部极值时，其导数不一定为 $0$。
 
-//该命题的逆命题也不一定成立，导数为 $0$ 并不一定是局部极值，而应当出现导数正负性变化才行（例如 $f(x):=x^3$ 在 $0$ 处导数为 $0$ 但并非局部极值。
+该命题的逆命题也不一定成立，导数为 $0$ 并不一定是局部极值，而应当出现导数正负性变化才行，例如 $f(x):=x^3$ 在 $0$ 处导数为 $0$ 但并非局部极值。
 
-- **定理 10.2.3（罗尔定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微。若 $f(a)=f(b)$，那么存在 $x\in (a,b)$ 使得 $f'(x)=0$。
+- **定理 10.2.3（罗尔定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。若 $f(a)=f(b)$，那么存在 $x\in (a,b)$ 使得 $f'(x)=0$。
 
-    **证明**：根据极值定理，$f$ 在某点 $x_\max$ 处达到最大值，那么它也是局部最大值。若 $x_\max=a$ 或 $x_\max=b$，则可以证明对于任意 $x\in [a,b]$ 都有 $f'(x)=0$；若 $x_\max\in(a,b)$，根据命题 10.2.2，$f'(x_\max)=0$。
+    **证明**：根据极值定理，$f$ 在某点 $x_{\max}$ 处达到最大值，那么它也是局部最大值。若 $x_{\max}=a$ 或 $x_{\max}=b$，则可以证明对于任意 $x\in [a,b]$ 都有 $f'(x)=0$；若 $x_{\max}\in(a,b)$，根据命题 10.2.2，$f'(x_{\max})=0$。
 
-- **推论 10.2.4（拉格朗日中值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
+注意 “$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微” 并不蕴含 “$f$ 在 $[a,b]$ 上可微”，一个反例是由 $f(x):=x^{\frac 12}$ 定义的连续函数 $f:[0,+\infty)\to\mathbb R$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微，但在 $0$ 处不可微。
+
+- **定理 10.2.4（拉格朗日中值定理）**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，那么存在 $x\in(a,b)$ 使得 $f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
 
     **证明**：设 $k:=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 和由 $g(x):=f(x)-kx$ 定义函数 $g:[a,b]\to \mathbb R$。那么 $g$ 也是连续函数，且 $g|_{(a,b)}$ 也可微，且 $g(a)=g(b)$。根据罗尔定理，存在 $x\in(a,b)$ 使得 $g'(x)=0$，那么 $f'(x)=g'(x)+k=k$。证毕。
 
-//习题
+- **命题 10.2.5**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，且存在界 $M$ 使得对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $|f'(x)|\leq M$。那么对于任意 $x,y\in[a,b]$，有 $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$。
 
-//$f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续函数，$f|_{(a,b)}$ 可微，是否意味着 $f$ 可微？
+  **证明**：反证，不妨假设存在 $x<y$ 且 $|f(y)-f(x)|>M(y-x)$。根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in(x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$，那么 $|f'(z)|>M$，矛盾。
+
+- **推论 10.2.6**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微，且存在界 $M$ 使得对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $|f'(x)|\leq M$。那么 $f$ 是一致连续函数。
 
 #### 10.3 单调函数和导数
 
-- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
+- **命题 10.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$f:X\to\mathbb R$ 是单增函数。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么 $f'(x_0)\geq 0$。
 
-    **证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
+    **证明**：由于 $f$ 是单增函数，可以证明，对于任意 $x\in X$ 且 $x\neq x_0$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$，那么根据命题 9.3.2，有 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\setminus\{x_0\}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0$。
 
-- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f|_{(a,b)}$ 可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
+- **命题 10.3.2**：设实数 $a,b$ 且 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 在 $(a,b)$ 上可微。若对于任意 $x\in (a,b)$ 有 $f'(x)>0$，则 $f$ 是严格单调增的。
 
-    **证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据平均值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
+    **证明**：若存在 $x,y\in [a,b]$ 且 $x<y$ 使得 $f(x)\geq f(y)$，那么根据拉格朗日中值定理，存在 $z\in (x,y)$ 使得 $f'(z)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq 0$，矛盾。
 
 #### 10.4 反函数和导数
 
-- **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的极限点，$y_0:=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的极限点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
+- **引理 10.4.1**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射，$x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$y_0=f(x_0)$ 且是 $Y$ 的聚点。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
 
     **证明**：根据链式法则，有 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=(f^{-1})'(y_0)\cdot f'(x_0)$，又 $(f^{-1}\circ f)'(x_0)=1$ 可得。
 
-- **定理 10.4.2（反函数定理）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R $，$f:X\to Y$ 是双射， 
+反函数定理将上述引理加强，将 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处的要求从可微降为连续。
+
+- **定理 10.4.2（反函数定理）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 是双射， $x_0\in X$ 且是 $X$ 的聚点，$y_0=f(x_0)$。若 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f'(x_0)\neq 0$，$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处可微，且 $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。
+
+    **证明**：首先可以证明出 $y_0$ 是 $Y$ 的聚点。然后设任意 $Y\setminus\{y_0\}$ 上的收敛到 $y_0$ 的序列 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，记 $x_n=f^{-1}(y_n)$，那么由于 $f^{_-1}$ 在 $y_0$ 处连续，可知 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$。那么：
+
+    $$\lim_{n\to\infty}\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(y_0)}{y_n-y_0}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}$$
+
+    注意正确的顺序是从后往前推。
+
+注意定理 10.4.2 中 “$f^{-1}$ 在 $y_0$ 处连续” 的条件不可省略。例如由 $f(x):=\begin{cases}x+1&-1\leq x<0\\x-1&0\leq x<1\end{cases}$ 定义的函数 $f:[-1,1)\to[-1,1)$ 并取 $x_0=-1$ 就是一个反例。
+
+现在让我们来试图证明 $x^{\alpha}$ 的导数是 $\alpha x^{\alpha-1}$。
+
+- **引理 10.4.3**：设实数 $\alpha$ 和由 $f(x):=x^{\alpha}$ 定义的函数 $f:\mathbb (0,+\infty)\to\mathbb R$。那么 $f$ 可微且 $f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}$。
+
+    **证明**：
+
+#### 10.5 洛必达法则
+
+- **命题 10.5.1（洛必达法则 1）**：设 $X\subseteqq \mathbb R$ 和 $X$ 的聚点 $x_0$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$，满足 $f(x_0)=g(x_0)=0$，$f$ 和 $g$ 都在 $x_0$ 处可微且 $g'(x_0)\neq 0$。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 满足 $|x-x_0|<\delta$，都有 $g(x)\neq 0$。且对于任意合法的 $\delta$ 都有：
+
+    $$\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$
+
+    **证明**：假设不存在 $\delta$，那么对于任意 $\delta>0$，都存在 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 满足 $g(x)=g(x_0)=0$，即 $\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=0$，这与 $g'(x_0)\neq 0$ 矛盾。然后：
+
+    $$\begin{aligned}\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{\lim\limits_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\lim\limits_{x\to x_0;x\in (X\setminus\{x_0\})\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}\\&=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}\end{aligned}$$
+
+    注意正确的顺序是从后往前推。
+
+- **命题 10.5.2（洛必达法则 2）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 都是在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微的函数，满足 $f(a)=g(a)=0$，且对于任意 $x\in(a,b)$ 有 $g'(x)\neq 0$，且满足：
+
+    $$\lim_{x\to a;x\in (a,b)}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$$
+
+    那么对于任意 $x\in (a,b]$ 有 $g(x)\neq 0$，且：
+
+    $$\lim_{x\to a;x\in (a,b]}\frac{f(x)}{g(x)}=L$$
+
+    **证明**：若存在 $x\in (a,b]$ 使得 $g(x)=0$，根据拉格朗日中值定理，存在 $y\in(0,x)$ 使得 $g'(y)=0$，矛盾。
+
+    设任意 $(a,b]$ 上的收敛到 $a$ 的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$。
+
+    设 $n\geq 0$ 和由 $h_n(x):=f(x)g(x_n)-g(x)f(x_n)$ 定义的函数 $h_n:[a,x_n]\to\mathbb R$。那么 $h_n$ 在 $(a,x_n)$ 上可微，且对于任意 $x\in(a,x_n)$ 有 $h_n'(x)=f'(x)g(x_n)-g'(x)f(x_n)$，同时我们知道 $h_n(a)=h_n(x_n)=0$，于是根据拉格朗日中值定理，存在 $y_n\in(a,x_n)$ 使得 $h_n'(y_n)=0$，即 $\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f'(y_n)}{g'(y_n)}$。
+
+    根据选择公理，存在一组 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足条件。注意到 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 应收敛到 $a$，那么 $\left(\frac{f'(y_n)}{g'(y_n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，即 $\left(\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\right)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$。
+

src/第9章 R上的连续函数.md

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 ### 第 9 章  $\mathbb R$ 上的连续函数
 
 #### 9.1  $\mathbb R$ 的子集合
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 于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。
 
-- **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。
+- **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
-
-    对于实数 $\varepsilon>0$，称 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $X$ 的，当且仅当存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。
-
-    称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都有 $x$ 是 $\varepsilon$ 附着于 $X$ 的。
 
 - **定义 9.1.3（闭包）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义 $X$ 的闭包 $\overleftrightarrow{X}:=\{x\in \mathbb R:\text{$x$是$X$的附着点}\}$。
 
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     **证明**：利用选择公理，在 $[x-\frac1n,x+\frac1n]$ 范围内任选一个 $X$ 中的点作为 $a_n$。
 
-- **定义 9.1.7**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。
+- **定义 9.1.7（闭集）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。
 
 - **推论 9.1.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。
 
     **证明**：根据引理 9.1.6 可知。
 
-- **定义 9.1.9（极限点/聚点/孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的极限点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。
+- **定义 9.1.9（聚点/孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的聚点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。
 
-- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有极限点和孤立点组成。**证明**：略。
+- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有聚点和孤立点组成。**证明**：略。
 
 引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。
 
-- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的极限点。**证明**：略。
+- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的聚点。**证明**：略。
 
 - **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。
 
-- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的并且是有界的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中的某数 $L$。
+- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是有界闭集，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中。
 
     **证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。
 
 #### 9.2 实值函数的代数
 
-- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f|_Y$（称作 $f$ 在 $Y$ 上的限制）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。
+- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f$ 限制在 $Y$ 上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。
 
 - **定义 9.2.2（函数的算术运算）**：设函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$。
 
@@ -85,17 +82,13 @@
 
 #### 9.3 函数的极限值
 
-- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。
+- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。
 
-    设实数 $\varepsilon>0$。称 $f$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当对于任意 $x\in X$，$|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
+    称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
 
-    设实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 的附着点 $x_0$。称 $f$ 是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的，当且仅当存在 $\delta>0$，使得 $f|_{\{x\in X:|x-x_0|<\delta\}}$ 是 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。
+    若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)$ 无定义。
 
-    设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，$f|_E$ 都是在 $x_0$ 附近 $\varepsilon$ 接近于 $L$ 的。若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)$ 无定义。
+注意条件中是 $\delta>0$ 而非 $\delta\geq 0$。例如由 $f(x):=\begin{cases}0&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，在 $0$ 处沿着 $\mathbb R$ 不收敛，但在 $0$ 处沿着 $\{0\}$ 却是收敛的。
-
-    更直接地，$\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$ 当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。
-
-//感性理解
 
 - **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。
 
@@ -130,27 +123,31 @@
 
     设 $\delta>0$，那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0;x\in E\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}=L$。
 
-    **证明**：略。
-
 - **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E'\subseteq E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E'$ 的附着点（从而是 $E$ 的附着点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0;x\in E'}f(x)=L$。
 
-    **证明**：略。
+接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中，但它们被使用之处很多都是不易察觉或容易忽略的，因为它们仅仅是变换了一下 “作用域”，但它们仍然是保证证明的严谨性的不可缺失的一环。
 
 #### 9.4 连续函数
 
 - **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。
 
-    称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)=f(x_0)$。
+    称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$ 存在。否则称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的。
 
-    称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的，当且仅当 $f$ 不是在 $x_0$ 处连续的。
+    称 $f$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。
 
-    称 $f$ 在 $X$ 上是连续的（或简单地说是连续的），当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。
+接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：
 
-//难道当 $x_0\in X$ 时，若 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$ 存在，它可能不等于 $f(x_0)$ 吗？
+- 设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：
+  - $f$ 在 $0$ 处是间断的。
+  - $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的。
+  - $f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。
+  - $f$ 在 $(0,+\infty)$ 中任意处都是连续的。
 
-//连续的定义有没有更简单一些的理解方式？
+- 设由 $f(x):=\begin{cases}x &x\in\mathbb Q\\-x&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义的函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $0$ 处是连续的，但在任意 $x_0>0$ 处都是间断的。
 
-注意定义域 $X$ 很重要，例如：设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，那么 $f$ 在 $0$ 处是间断的，但 $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的，$f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。
+- 设由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R$。那么 $f$ 是连续函数。
+
+继续考察有关连续的性质：
 
 - **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的：
 
@@ -176,6 +173,8 @@
 
 //9.4.4 和 9.4.5 的证明我没细想，但看到习题说要用挤压判别法之类的，感觉可能我想简单了，留给slc作为习题
 
+//UPD：现在又不会证了，以后补
+
 - **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。
 
     **证明**：$|x|=\max(x,-x)$。
@@ -216,17 +215,17 @@
 
 可以发现，$f$ 是有界的，当且仅当 $f(X)$ 是有界的。
 
-- **引理 9.6.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 是有界函数。
+- **引理 9.6.2**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么 $f$ 是有界函数。
 
     **证明**：反证，设 $f$ 是无界的。
 
-    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in [a,b]$ 且 $f(x_n)>n$。
+    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。
 
     根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $L$。
 
     根据连续的定义，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。
 
-- **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。
+- **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$，函数 $f:X\to \mathbb R$。
 
     称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。
 
@@ -234,19 +233,19 @@
 
 注意有界函数不一定有极值。例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 有下界 $0$，但是不存在最小值。
 
-- **命题 9.6.4（极值定理）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in[a,b]$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
+- **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。
 
-    **证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in[a,b]\})$，那么对于任意 $x\in [a,b]$ 有 $f(x)\leq L$。
+    **证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X]\})$，那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。
 
-    根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in [a,b]$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
+    根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。
 
-    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $x_{\max}$。
+    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $x_{\max}$。
 
     又 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。
 
     同理可证 $x_{\min}$。
 
-//习题9.6.1很有意思，我另外补充一道：构造函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$，它连续并有界，但没有最大值也没有最大值。一起留给slc作为习题。
+有界闭集上的连续函数的性质：有界且存在极值点。
 
 #### 9.7 介值定理
 
@@ -266,9 +265,11 @@
 
 - **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。
 
-    **证明**：存在 $x_\min\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。
+    **证明**：存在 $x_{\min}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。
 
-    不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_\min,x_\max]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_\min,y_\max]$，存在 $x\in[x_\min,x_\max]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_\min,y_\max]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_\min,y_\max]=f([a,b])$。
+    不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_{\min},x_{\max}]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_{\min},y_{\max}]$，存在 $x\in[x_{\min},x_{\max}]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_{\min},y_{\max}]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_{\min},y_{\max}]=f([a,b])$。
+
+闭区间上的连续函数的性质：值域非常稠密，以致于其填满了实数集的一个子区间。
 
 #### 9.8 单调函数
 
@@ -288,7 +289,7 @@
 
 - **引理 9.8.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是单调增的，那么 $f$ 在 $a$ 处取到最小值，在 $b$ 处取到最小值。**证明**：略。
 
-- **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是也连续且严格单调增的。
+- **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 也是连续且严格单调增的。
 
   **证明**：利用介值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。
 
@@ -300,7 +301,25 @@
 
 引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。
 
-//习题
+- **命题 9.8.4**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:[a,b]\to Y$ 是连续函数且是双射。那么 $f$ 是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知， $f^{-1}$ 是也连续且严格单调的。
+
+  **证明**：不妨设 $f(a)<f(b)$，欲证 $f$ 是严格单调增的。反证，若存在 $c,d\in [a,b]$ 满足 $c<d$ 且 $f(c)>f(d)$，不妨设 $a<c$，那么 $f([c,d])=[f(d),f(c)]$，从而对于任意 $x\in[a,c)$ 有 $f(x)\not\in [f(d),f(c)]$，然后说明 $f$ 在 $c$ 处间断即可。
+
+根据证明过程不难看出，命题 9.8.4 对于 $f$ 的定义域为开区间 $(a,b)$ 时同样成立。
+
+作为对比，该命题并不成立：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:(a,b)\to Y$ 是双射。设 $x_0\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可。
+
+我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的函数的例子。
+
+首先，观察由 $f(x):=\lfloor x\rfloor$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，该函数在每个整数处间断，而在每个非整数处连续。
+
+现在我们仿照该思路构造目标函数。由于有理数集是可数集，于是存在双射 $g:\mathbb N\to \mathbb Q$。然后我们定义函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足：
+
+$$
+f(x):=\sum_{r\in\mathbb Q:r\leq x}2^{-g^{-1}(r)}
+$$
+
+而 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ 是绝对收敛的，从而 $f(x)$ 是定义成功的。可以证明 $f$ 就是一个满足要求的函数。
 
 #### 9.9 一致连续性
 
@@ -316,7 +335,7 @@
 
 //或者对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf(\{|x-y|:x,y\in X\land |f(x)-f(y)|>\varepsilon\})>0$。
 
-//或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 $x$ 值无限接近，且 $y$ 值相差大过 $\varepsilon$。
+////或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 $x$ 值无限接近，且 $y$ 值相差大过 $\varepsilon$。
 
 //即，对于任意无限接近的两个自变量，它们对应的函数值也应是无限接近的。
 
@@ -330,7 +349,7 @@
 
 - **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。
 
-  **证明**：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得  $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价，但 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=1}^{\infty}$ 不等价。矛盾。
+  **证明**：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价，但 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=1}^{\infty}$ 不等价。矛盾。
 
 作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。
 
@@ -350,13 +369,13 @@
 
   根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 也是收敛序列，但根据定义 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是发散的。矛盾。
 
-- **定理 9.9.6**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 是一致连续函数。
+- **定理 9.9.6**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$。那么 $f$ 是一致连续函数。
 
-  **证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in [a,b]$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
+  **证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。
 
   根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in[a,b]$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。
 
-  根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in[a,b]$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。
+  根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in X$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。
 
 - **引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）**：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 都是一致连续函数。那么 $g\circ f:X\to Z$ 也是一致连续的。