From e3d58bf8c6381082e20956c20c32ccb3a3bcd4d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ez_lcw Date: Mon, 19 Sep 2022 14:18:08 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=AE=8C=E6=88=90#7=E4=B8=BA=E6=A0=87=E8=AE=B0?= =?UTF-8?q?=E4=BA=86=E2=80=9C=E8=AF=81=E6=98=8E=EF=BC=9A=E7=95=A5=E2=80=9D?= =?UTF-8?q?=E7=9A=84=E5=9C=B0=E6=96=B9=E6=B7=BB=E5=8A=A0=E8=AF=81=E6=98=8E?= =?UTF-8?q?=E6=80=9D=E8=B7=AF=E6=A6=82=E8=BF=B0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- src/第6章 序列的极限.md | 6 +++--- src/第8章 无限集合.md | 2 +- 2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/第6章 序列的极限.md b/src/第6章 序列的极限.md index 0aa17f2..3b2ab11 100644 --- a/src/第6章 序列的极限.md +++ b/src/第6章 序列的极限.md @@ -34,7 +34,7 @@ 更直接地，序列 $(a_n)_{n=m_a}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m_b}^{\infty}$ 是等价的，当且仅当对于任意实数 $\varepsilon>0$，存在 $N\geqslant m$ 使得对于任意 $n\geqslant N$ 有 $d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon$。 -看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列是相容于这个定义的。 +看上去实数版的等价序列和柯西序列会较有理数版的要求更严格，但利用命题 5.4.12 可以证明，有理数的柯西序列与该定义等价，那么我们将不再叙述有关等价的一些基本性质。 接下来我们将正式定义收敛和极限。 @@ -56,7 +56,7 @@ - **引理 6.1.8（等价序列的极限相等）**：设序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(b_n)_{n=m}^{\infty}$，其中 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=L$。 - **证明**：略。 + **证明**：根据序列等价和序列极限的定义，容易证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$ 当且仅当 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 和 $(L)_{n=m}^{\infty}$ 是等价的。再利用等价的传递性即可证明。 定义 6.1.7 中，记号 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ 并未关注 $m$：因为根据引理 6.1.8 可知，若序列 $(a_n)_{n=m}^{\infty}$ 收敛到某实数 $L$，那么对于任意 $m'\geqslant m$，序列 $(a_n)_{n=m'}^{\infty}$ 同样收敛到实数 $L$。 @@ -268,7 +268,7 @@ 我们现在有了很多工具，我们接下来给出一些基本的极限。 -- **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。**证明**：略。 +- **引理 6.5.1**：设 $c$ 为实数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}c=c$。 - **引理 6.5.2**：设 $q>0$ 为有理数，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^q}=0$，那么 $\lim\limits_{n\to\infty}n^q$ 不存在。 diff --git a/src/第8章 无限集合.md b/src/第8章 无限集合.md index fe97b92..0bd096f 100644 --- a/src/第8章 无限集合.md +++ b/src/第8章 无限集合.md @@ -338,7 +338,7 @@ - **引理 8.3.9**：设 $A,B,C$ 是集合，满足 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数、$B$ 的基数严格小于 $C$ 的基数，那么 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。 - **证明**：略。 + **证明**：$A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数，说明存在单射 $f:A\to B$，同理可知存在单射 $g:B\to C$，于是存在 $A\to C$ 的单射 $g\circ f$。而若 $A,C$ 具有相同的基数，则存在 $C\to A$ 的单射 $h$，那么 $f\circ h$ 为 $C\to B$ 的单射，从而 $B,C$ 具有相同基数，矛盾。故 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。 #### 8.4 选择公理