整合第三章

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-### 第 3 章 集合论
+我们现在介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。我们下面给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，可以证明，我们将要建立的集合公理体系是等价于ZF公理集合论的。

-#### 3.1 基本事项
+## 3.1 基本事项

-首先，集合是一个不加定义的原始概念。
+首先，集合是一个不加定义的原始概念，这意味着我们不打算构造出集合这个概念，而是使用公理来规范化它。我们并不会知道什么是集合，我们只是列出集合可以进行的运算和性质。我们认为，一个集合始终是一个对象。

 然后我们定义一个对象 $o$ 和集合 $A$ 之间的二元关系 $\in$，且称 $o\in A$ 为 “$o$ 属于 $A$” 或 “$A$ 包含 $o$” 或 “$o$ 是 $A$ 的元素”。特别地，由于集合是对象，询问一个集合是否属于另一个集合是有意义的。

 注：根据定义，“集合内不能有重复的元素” 这种说法是荒谬的。而下文中，“$A$ 的每个元素都……” 的含义是 “对于任意的对象 $x$ 满足 $x$ 是 $A$ 的元素，$x$ 都满足……”。即，我想强调的是，“元素”描述的是一种关系，而不是一个对象。

-纯粹集合论认为一切对象都是集合（例如，可以把数 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易理解。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知论者的立场。
+纯粹集合论认为一切对象都是集合。从逻辑学的角度来看，纯粹集合论确实是一种更加简单的理论，人们只需要处理集合，而无需考虑其他对象。然而我们从概念角度来说，不纯粹的集合论的处理更加容易（例如，纯粹集合论可以把 $0$ 看做 $\varnothing$，$1$ 看做 $\left\{\varnothing\right\}$，$2$ 看做 $\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$，以此类推）。单纯从应用的角度来看，两种想法集合是等价的。因此，对于一切对象是否都是集合，我们采取不可知的态度。即我们既不添加公理确认这一点，也不添加公理否认这一点，而在现在的公理体系中，命题“一切对象都是集合”是未决的（不能证明也不能推翻）。

-我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些集合间的二元关系。
+我们先在 $\in$ 的基础之上扩展一些仅适用于集合间的二元关系。

- **定义 3.1.1（子集）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。
+- **定义 3.1.1（子集）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A\subseteq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的子集” 或 “$A$ 包含于 $B$” 或 “$B$ 包含 $A$"），当且仅当 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素。形式化地说 $A\subseteq B\iff\forall_{x\in A}x\in B$。
  
-  定义 $A\subsetneq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的真子集” 或 “$A$ 真包含于 $B$” 或 “$B$ 真包含 $A$"），当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\not\subseteq A$。
+  定义 $A\subsetneq B$（称为 “$A$ 是 $B$ 的真子集” 或 “$A$ 真包含于 $B$” 或 “$B$ 真包含 $A$"），当且仅当 $A\subseteq B$ 且 $B\nsubseteq A$。

 - **命题 3.1.2（集合的包含关系的基本性质）**：设 $A,B,C$ 为集合，那么：
  
-  - **自反性**：$A\subseteq A$。证明：根据定义可得。
+  - **自反性**：$A\subseteq A$。
+
+  **证明**：根据定义可得。
  
  - **传递性**：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$。
    
-    证明：根据定义，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，$B$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，那么 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素。
+    **证明**：根据定义，$A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，$B$ 的每个元素都是 $C$ 的元素，那么 $A$ 的每个元素都是 $C$ 的元素。
    
-    若 $A\subsetneq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subsetneq C$；若 $A\subseteq B$ 且 $B\subsetneq C$，则 $A\subsetneq C$。
+  - **混合传递性**：若 $A\subsetneq B$ 且 $B\subseteq C$，则 $A\subsetneq C$；若 $A\subseteq B$ 且 $B\subsetneq C$，则 $A\subsetneq C$。
    
-    证明：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\not\subseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\not\subseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+    **证明**：两者类似，证前面那个。首先 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ 可知 $A\subseteq C$，然后由于 $B\nsubseteq A$，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $B$ 的元素而非 $A$ 的元素，又 $B$ 的元素都是 $C$ 的元素，故存在一个对象 $x$ 满足 $x$ 是 $C$ 的元素而非 $A$ 的元素，故 $C\nsubseteq A$，那么 $A\subsetneq C$。
+
+集合的真包含关系显然是一种**偏序关系**，因为我们知道对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，不可能同时成立 $A\subsetneq B$ 和 $B\subsetneq A$。但是真包含关系与我们定义在自然数上的小于关系 $<$ 的不同之处在于，后者是一种**全序关系**。在满足偏序性质的基础上，我们还知道对于两个不相等的数 $a$ 和 $b$，要么成立 $a>b$，要么成立 $b>a$。对于集合的真包含关系而言，这一条性质是不满足的。考虑集合 $A=\left\{1,2\right\}$ 和 $B=\left\{2,3\right\}$，它们既不相等，也没有哪一个是另一个的真子集。

 - **定义 3.1.3（集合之相等）**：设 $A,B$ 是集合，定义 $A=B$（称为 $A,B$ 相等），当且即当 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

 - **命题 3.1.4（集合的相等关系的基本性质）**：设 $A,B,C$ 为集合，那么：
  
-  - **自反性**：$A=A$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
+  - **自反性**：$A=A$。**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq A$。
  
-  - **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。证明：根据定义可知。
+  - **对称性**：若 $A=B$，则 $B=A$。**证明**：根据定义可知。
  
-  - **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。证明：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。
-
-这里的定义顺序和书上是反着的，但我个人认为这个顺序更好些（除非会出现漏洞）。
+  - **传递性**：若 $A=B,B=C$，则 $A=C$。**证明**：根据命题 3.1.2 可知 $A\subseteq C$ 且 $C\subseteq A$。

 可以证明 “若 $A=B$，则 $x\in A\iff x\in B$”，即集合关于命题 “某个对象 $x$ 是否属于该集合 ” 遵从代入公理。

- **引理 3.1.5**：若存在集合 $S$，满足 $x\in S\iff P(x)$，其中 $P(x)$ 是某个关于任意对象 $x$ 的命题，那么 $S$ 唯一。
+- **引理 3.1.5（集合构造的唯一性）**：若存在集合 $S$，满足 $x\in S\iff P(x)$，其中 $P(x)$ 是某个关于任意对象 $x$ 的命题，那么 $S$ 唯一。
  
  **证明**：若存在两个集合 $S,S'$ 都满足条件，那么 $x\in S\iff P(x)\iff x\in S'$，于是 $S=S'$。

 接下来运用公理构建集合时，我们都使用该引理来说明构建的集合的唯一性。

-类似自然数，我们将从空集开始，然后借助各种运算建造更多的集合。
+类似自然数，我们将从空集开始，然后借助几个运算公理化更多的集合。

 - **公理 3.1.6（空集）**：存在一个集合 $\varnothing$（空集），对于任意的 $x$，$x\not\in \varnothing$。

@ -58,7 +60,7 @@
  
  $$
  x\in A\cup B\iff (x\in A \lor x\in B)
-  $$
+ $$

 容易证明并运算满足交换律和结合律。容易证明 $A\cup \varnothing=A$。

@ -76,9 +78,10 @@

 这是假设 2.1.6 的更正式的形式。自然数集引入了无限集合的一个最基本的例子。

-现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：
+但另一方面，我们还不能对于任意给定的自然数 $n$ 定义由 $n$ 个对象组成的集合。这将要求重复使用双并公理 $n$ 次，然而 $n$ 次重复的概念尚不曾被严格地定义（没有关于集合的归纳方法）。根据类似的理由，我们也还不能定义由无限多个对象组成的集合。现在我们想找到一个这样的集合，满足所有大于等于某个自然数 $y$ 的自然数都属于它，这需要我们再引入一个公理：

 - **公理 3.1.11（分类公理）**：设 $A$ 是一个集合，并对于每个 $x\in A$，设 $P(x)$ 是一个关于 $x$ 的命题。那么存在一个集合 $\{x\in A:P(x)\}$（或 $\{x\in A|P(x)\}$），它的元素恰恰是 $A$ 中使 $P(x)$ 成立的 $x$。即，对于任意对象 $y$，
+  
  $$
  y\in\{x\in A:P(x)\}\iff (y\in A\land P(y))
  $$
@ -93,66 +96,63 @@

 - **定义 3.1.13（差集）**：两个集合 $A$ 和 $B$ 的差 $A\setminus B$ 定义为集合 $\{x\in A:x\not\in B\}$。根据分类公理，$A\setminus B$ 存在。

- **命题 3.1.14（集合构成一个 Boole 代数）**：设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。
+- **命题 3.1.14（集合构成一个布尔代数）**：
+
+  设 $A,B,C,X$ 均为集合，且满足 $A,B,C\subseteq X$。

  1. **最小元**：$A\cup\varnothing=A$ 以及 $A\cap\varnothing=\varnothing$。
-
  2. **最大元**：$A\cup X=X$ 以及 $A\cap X=A$。
-  
  3. **恒等式**：$A\cup A=A$ 以及 $A\cap A=A$。
-
  4. **交换律**：$A\cup B=B\cup A$ 以及 $A\cap B=B\cap A$。
-  
  5. **结合律**：$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ 以及 $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$。
-  
  6. **分配律**：$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 以及 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$。
-  
  7. **分差法则**：$A\cup(X\setminus A)=X$ 以及 $A\cap(X\setminus A)=\varnothing$。
-  
  8. **摩根定律**：$X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B)$。

-  **证明**：把集合用命题的形式表示出来（即类似 “$x\in S\iff P(x)$”），再用逻辑语言验证。
+这些公理还不能满足我们的要求，例如把集合中的元素每个都加上 $1$，把 $\left\{1,6, 15\right\}$ 变为 $\left\{2,7,16\right\}$，这是我们现在有的公理无法办到的。我们需要更加强大的数学工具，因此让我们再添加一个公理：

-但我们还是不满足，比如我们不能定义一个集合，满足 $\{0\},\{1\},\cdots$ 都属于这个集合，这又需要一个新的公理：
-
- **公理 3.1.15（替换公理）**：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:\exist_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$
-  $$
-  z\in\{y:\exist_{x\in A},P(x,y)\}\iff \exist_{x\in A},P(x,z)
-  $$
+- **公理 3.1.15（替换公理）**：设 $A$ 是一个集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in A$ 和任意对象 $y$ 的命题，且满足对于每个 $x\in A$ 存在至多一个 $y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么存在一个集合 $\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}$，使得对于任何对象 $z$
  
-  我们常把形如 $\{y:\exist_{x\in A},y=f(x)\}$ 的集合简写成 $\{f(x):x\in A\}$。
+  $$
+  z\in\{y:\exists_{x\in A},P(x,y)\}\iff \exists_{x\in A},P(x,z)
+ $$
+  
+  我们常把形如 $\{y:\exists_{x\in A},y=f(x)\}$ 的集合简写成 $\{f(x):x\in A\}$。

 注意到，替换公理蕴含分类公理，我们只需令 $P(x,y)\iff x=y\land Q(x)$ 即可构造出集合 $\{x\in A:Q(x)\}$。

-#### 3.2 万有分类公理（选读）
+## 3.2 万有分类公理

 从分类公理更进一步，我们考虑拓展出一个新的公理并将其加入集合论公理之中：

 - **公理 3.2.1（万有分类公理）**：设 $P(x)$ 是关于任意对象 $x$ 的命题，那么存在一个集合 $\{x:P(x)\}$，使得对于任何对象 $y$，
-
-$$
+  
+  $$
  y\in\{x:P(x)\}\iff P(y)
-$$
+  $$

-该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理不能被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：
+该公理断言每个性质对应一个集合，这也就是朴素的集合思想。这个公理蕴含了我们已经讨论过的公理，但这个公理**不能**被引入集合论，因为它引出了一个逻辑上的矛盾：

-> Russell 悖论：
->
+> 罗素悖论：
+> 
 > 根据万有分类公理，有集合：
->
+> 
 > $$
 > \Omega:=\{x:\text{$x$是集合且$x\not\in x$}\}
 > $$
->
+> 
 > 即一切不以自己为元素的集合的集合。那么现在问 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，发现不管 $\Omega$ 是否属于 $\Omega$，都会引出矛盾。

-为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是原始对象（不是集合的对象），在下一层次中则是一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了正则公理。
+为了解决这个悖论，我们考虑把对象按照一定的层次结构排列。在层级结构最底层的是**原始对象**（不是集合的对象），在下一层次中则存在一些集合，但是这些集合的元素只能是原始对象。以此类推，一层次中存在的集合只能包含之前层次中的对象。这种想法引导出了**正则公理**。

 - **公理 3.2.2 （正则公理）** ：对于一个非空的集合 $A$，$A$ 中至少存在一个元素 $x$ 满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$。

- **命题 3.2.3（不存在以自身为元素的集合）**：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\not\in A$。
+正则公理的一个重要推论是一个集合不能包含其本身，但是可以包含其他（更低层次的）集合。这使得我们排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。

-  **证明**：反证。假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。根据正则公理，应有 $B\cap A=\varnothing$，但 $A\in B,A\in A$ 有 $A\in B\cap A$，矛盾。
+- **命题 3.2.3（集合不能包含其本身）**：设 $A$ 为一个集合，那么 $A\not\in A$。
+  
+  **证明**：（反证法）假设存在一个集合 $A$，满足 $A\in A$。根据单元素公理，存在一个集合 $B=\left\{A\right\}$。$B$ 是一个非空的集合，因此根据正则公理，应该存在 $x\in B$，满足 $x$ 不是集合或 $A\cap x=\varnothing$，但是集合 $B$ 作为单元素集，只有 $A\in B$，而 $A$ 是一个集合，且 $A\cap B=A$，故 $B$ 集合违反正则公理，矛盾，假设不成立。原命题得证。
+  

 命题 3.2.3 排除了罗素悖论中定义的集合 $\Omega$。（注意我们并没有将万有分类公理引入集合论中，所以不存在公理矛盾）

@ -166,7 +166,7 @@ $$

 事实上，命题 3.2.4 蕴含了正则公理，感性的证明就是我们上面的那一大段话，严谨的证明需要用到选择公理，我们暂且搁置。

-#### 3.3 函数
+## 3.3 函数

 - **定义 3.3.1（函数/映射/变换）**：设 $X,Y$ 是集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in X$ 和任意对象 $y\in Y$ 的命题，使得对于每个对象 $x\in X$ 存在恰好一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么我们定义由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数 $f:X\to Y$ 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足
  
@ -178,7 +178,7 @@ $$
  
  定义函数 $f$ 的定义域为 $X$，对应域为 $Y$，值域为 $f(X):=\{f(x):x\in X\}$，那么值域为对应域的子集。

-有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 $X$ 后，直接指定从输入 $x$ 得到输出 $f(x)$ 的过程 procedure（即如何从 $x$ 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 $X$ 之后，先定义 $P(x,y)$ 表示命题 “$y$ 是 $x$ 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:=\{y:\exist_{x\in X},P(x,y)\}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 $f$ 为由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数。
+有时我们在定义函数时，为了方便，在确定完其定义域 $X$ 后，直接指定从输入 $x$ 得到输出 $f(x)$ 的过程（_procedure_）（即如何从 $x$ 得到 $f(x)$）来定义 $f$。其真正的过程如下：在确定完定义域 $X$ 之后，先定义 $P(x,y)$ 表示命题 “$y$ 是 $x$ 经过 procedure 过程得到的结果”，若未给出对应域，再令对应域为 $Y:=\{y:\exists_{x\in X},P(x,y)\}$（可以发现此时对应域和值域相等），然后再定义 $f$ 为由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数。

 易证对象关于函数遵从代入公理：如果 $x=x'$，那么 $f(x)=f(x')$。当然前提是 $x$ 关于 $P(x,y)$ 遵从代入公理。

@ -212,7 +212,7 @@ $$
  
  该定义也等价于，对于每个 $y\in Y$，恰有一个 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$（至多一个意味着单射，至少一个意味着满射），记为 $f^{-1}(y)$，那么 $f^{-1}$ 就是一个从 $Y$ 到 $X$ 的函数。此时称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的逆。

-#### 3.4 象和逆象
+## 3.4 象和逆象

 - **定义 3.4.1（集合的象）**：设函数 $f:X\to Y$，设 $S$ 是 $X$ 的一个子集，定义 $S$ 在映射 $f$ 下的象为
  
@ -232,7 +232,7 @@ $$

 此公理的一个结果是：

- **引理 3.4.9**：设 $X$ 是一个集合，那么存在集合 $\{Y:Y\subseteq X\}$（也记作 $2^X$，称为 $X$ 的幂集），使得对于任意对象 $Z$
+- **引理 3.4.9（幂集存在性）**：设 $X$ 是一个集合，那么存在集合 $\{Y:Y\subseteq X\}$（也记作 $2^X$，称为 $X$ 的幂集），使得对于任意对象 $Z$
  
  $$
  Z\in\{Y:Y\subseteq X\}\iff Z\subseteq X
@ -244,18 +244,18 @@ $$
  
  根据引理 3.1.5，容易证明，对于每个 $f\in Y^X$，都恰好存在唯一的 $S:=\{x\in X:f(x)=1\}$ 使得 $P(f,S)$ 为真。
  
-  根据替换公理，存在集合 $A:=\{S:\exist_{f\in Y^X},P(f,S)\}$。那么 $Z\in A\implies Z\subseteq X$。
+  根据替换公理，存在集合 $A:=\{S:\exists_{f\in Y^X},P(f,S)\}$。那么 $Z\in A\implies Z\subseteq X$。
  
-  为证 $Z\subseteq X\implies(Z\in A\iff \exist_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 $f(x):=[x\in Z]$ 即可。
+  为证 $Z\subseteq X\implies(Z\in A\iff \exists_{f\in Y^X},P(f,Z))$，我们构造函数 $f(x):=[x\in Z]$ 即可。
  
  于是 $Z\in A\iff Z\subseteq X$，得证。

 为了完整起见，我们现在再往集合论中添加一条公理，它扩充了双并公理而允许做出更大的并集。

- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集合，且它的每个元素都是一个集合。那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
+- **公理 3.4.10（并）**：设 $A$ 是集类（即它的每个元素都是一个集合），那么存在一个集合 $\bigcup A$，使得对于任意对象 $x$
  
  $$
-  x\in \bigcup A\iff \exist_{S\in A},x\in S
+  x\in \bigcup A\iff \exists_{S\in A},x\in S
  $$

 该公理的一个重要的结果是：
@ -267,7 +267,7 @@ $$
  定义集族 $\{A_{\alpha}:\alpha\in I\}$ 的并为集合 $\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}:=\bigcup\{A_{\alpha}:\alpha\in I\}$。那么对于任意对象 $y$
  
  $$
-  y\in\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \exist_{\alpha\in I},y\in A_{\alpha}
+  y\in\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}\iff \exists_{\alpha\in I},y\in A_{\alpha}
  $$
  
  注意到，当 $I$ 为空集时，集族的并也为空集。
@ -284,9 +284,9 @@ $$
  
  注意，该定义不依赖于 $\beta$ 的选择。

-集合论的这些我们已经引入的公理统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 公理。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的 Zermelo-Fraenkel 选择公理。
+集合论的这些我们已经引入的公理统称为ZF公理集合论（_Zermelo-Fraenkel Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔集合论）。后面我们将还需要一个更进一步的公理，即著名的选择公理，它们统称为集合论的ZFC公理集合论（_Zermelo-Fraenkel-Choise Set Theory_，策梅洛-弗兰克尔-选择集合论）。

-#### 3.5 笛卡尔积
+## 3.5 笛卡尔积

 - **定义 3.5.1（序偶/有序对）**：设 $x$ 和 $y$ 是两个对象（可以相等），定义序偶 $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$，定义 $x$ 为它的第一个分量而 $y$ 为它的第二个分量。
  
@ -295,56 +295,54 @@ $$
 - **定义 3.5.2（笛卡尔积）**：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，定义它们的笛卡尔积为集合 $X\times Y$（或记作 $\{(x,y):x\in X,y\in Y\}$），使得对于任意的对象 $a$
  
  $$
-  a\in X\times Y\iff \exist_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)
+  a\in X\times Y\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)
  $$
  
  **证明**：首先，对于每个 $x\in X$，存在一个集合 $A_x:=\{(x,y):y\in Y\}$。
  
-  再构造集合 $B=\bigcup_{x\in X}A_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B\iff \exist_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)$，得证。
+  再构造集合 $B=\bigcup_{x\in X}A_x$。发现对于任意对象 $a$，$a\in B\iff \exists_{x\in X,y \in Y},a=(x,y)$，得证。

 设 $f:X\times Y\to Z$ 是一个函数。我们认为，$f$ 即是以 $X\times Y$ 为定义域的单变元函数，也是以 $X$ 和 $Y$ 同为定义域的两个变元的函数。

 现在我们扩展序偶的概念。

- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$。
+- **定义 3.5.3（有序 $n$ 元组/$n$ 元序列）**：设 $n$ 是自然数，定义一个有序 $n$ 元组为一个函数 $x:\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n\}\to X$，其中 $X$ 是任意的某个集合，满足 $x$ 是满射。我们把 $x(i)$ 写成 $x_i$，称为第 $i$ 个分量，并把 $x$ 写成 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$。
  
-  那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 和 $(y_i)_{1\leq i\leq n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leq i\leq n$，$x_i=y_i$。
+  那么可以证明，两个有序 $n$ 元组 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 和 $(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是相等的，当且仅当对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i=y_i$。

- **定义 3.5.4（$n$ 重笛卡尔积）**：设 $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ 是一个集合的有序 $n$ 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod_{1\leq i\leq n}X_i$（或记作 $\prod_{i=1}^n X_i$ 或 $X_1\times\cdots\times X_n$ 或 $\{(x_i)_{1\leq i\leq n}:\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i\}$），使得对于任意的对象 $a$
+- **定义 3.5.4（$n$ 重笛卡尔积）**：设 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是一个集合的有序 $n$ 元组，我们定义此组的诸分量的笛卡尔积为集合 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$（或记作 $\prod_{i=1}^n X_i$ 或 $X_1\times\cdots\times X_n$ 或 $\{(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$），使得对于任意的对象 $a$
  
  $$
-  a\in \prod_{1\leq i\leq n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leq i\leq n}\land (\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i)\bigg)
+  a\in \prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\iff \bigg(a=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\land (\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i)\bigg)
  $$
  
-  **证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leq i\leq n}X_i\right)^{\{i\in\mathbb N:1\leq i\leq n\}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leq i\leq n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。
+  **证明**：考虑集合 $A:=\left(\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}X_i\right)^{\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}}$，$B:=\{x\in A:\forall_{1\leqslant i\leqslant n},x_i\in X_i\}$，容易发现集合 $B$ 即为所求。

 设 $f:X_1\times X_2\times X_3\to Y$ 是一个函数。我们认为，$f$ 可以被看做是一个变元 $(x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3$ 的函数，或三个变元 $x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3$ 的函数，或两个变元 $x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3$ 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。

- **引理 3.5.5（有限选择）**：设 $(X_i)_{1\leq i\leq n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod_{1\leq i\leq n}X_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ 使得对于任意自然数 $1\leq i\leq n$，$x_i\in X_i$。
+- **引理 3.5.5（有限选择）**：设 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 使得对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i\in X_i$。
  
-  **证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n++}$ 并令 $x_{n++}=a$。
+  **证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n^+}$ 并令 $x_{n^+}=a$。

-#### 3.6 集合的基数
+## 3.6 集合的基数

-为了方便，我们用 $\mathbb N_{l}^r$ 表示 $\{i\in\mathbb N:l\leq i\leq r\}$。
+- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射 $f:X\rightarrow Y$。

- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射。
+容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。

-容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。
+- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\operatorname{card}X$），当且仅当它与集合 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 具有相同的基数。

- **定义 3.6.2**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素），当且仅当它与集合 $\mathbb N_1^n$ 具有相同的基数。
+- **引理 3.6.3（基数的非退化性）**：$X=\varnothing\iff\operatorname{card}X=0$，即一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集，且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。

- **引理 3.6.3**：一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集。且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。
+  **证明**：证明不存在空集与非空集间的双射即可。

-  **证明**：容易证明不存在空集与非空集间的双射。
+- **引理 3.6.4（基数的可减性）**：设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。

- **引理 3.6.4**：设集合 $X$ 具有基数 $n++$（则 $X$ 非空），若 $x\in X$，那么 $X\setminus \{x\}$ 有基数 $n$。
+  **证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n^+\}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\{i\in \mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：

-  **证明**：根据假设，存在一个 $X$ 到 $\mathbb N_{1}^{n++}$ 的双射 $f$。现在定义一个 $X\setminus\{x\}$ 到 $\mathbb N_1^n$ 的函数 $g$。分两种情况讨论：
+  - 若 $f(x)=n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。

-  - 若 $f(x)=n++$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，定义 $g(y):=f(y)$。
-
-  - 若 $f(x)\neq n++$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，若 $f(y)\neq n++$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n++$，则定义 $g(y):=f(x)$。
+  - 若 $f(x)\neq n^+$，那么对于任意 $y\in X\setminus\{x\}$，若 $f(y)\neq n^+$，则定义 $g(y):=f(y)$；若 $f(y)=n^+$，则定义 $g(y):=f(x)$。

  可以证明，按上述定义的函数 $g$ 存在且唯一，且 $g$ 是双射。

@ -352,80 +350,80 @@ $$

  **证明**：对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，根据引理 3.6.3 可知命题成立。

-  归纳地假设命题对 $n$ 成立。设集合 $X$ 具有基数 $n++$（则 $X$ 非空），反证地设其又具有基数 $m++\neq n++$，$X$ 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus\{x\}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\neq n$，矛盾，故命题对 $n++$ 成立。故命题对任意自然数 $n$ 成立，得证。
+  归纳地假设命题对 $n$ 成立。设集合 $X$ 具有基数 $n^+$（则 $X$ 非空），反证地设其又具有基数 $m^+\neq n^+$，$X$ 非空意味着存在 $x\in X$，那么对于集合 $X\setminus\{x\}$，它既具有基数 $n$，有具有基数 $m\neq n$，矛盾，故命题对 $n^+$ 成立。故命题对任意自然数 $n$ 成立，得证。

 - **定义 3.6.6（有限集）**：称一个集合是有限的，当且仅当它具有基数 $n$（那么 $n$ 唯一）；否则称该集合为无限的。

-  注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\#(X)=n$。
+注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\operatorname{card}X=n$。

 - **定理 3.6.7**：$\mathbb N$ 是无限集。

-  **证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\mathbb N_1^n$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。
+  **证明**：反证法。若 $\mathbb N$ 存在基数 $n$，那么存在一个 $\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 到 $\mathbb N$ 的双射 $f$。

-  通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leq i\leq n},f(i)\leq M$。
+  通过对 $n$ 归纳，可以证明序列 $f(1),\cdots,f(n)$ 是有界的：存在一个自然数 $M$，使得 $\forall_{1\leqslant i\leqslant n},f(i)\leqslant M$。

  那么自然数 $M+1$ 就不等于任何 $f(i)$，这与 $f$ 是双射矛盾。

 应用到集合论公理和定义上，我们给出关于有限集的基数的一些基本性质：

- **命题 3.6.8（基数算术）**：我们给出如下性质，及简略的证明：
+- **命题 3.6.8（基数算术）**：基数满足如下性质：

-  1. 设 $X$ 是有限集，并设 $x$ 是一个不属于 $X$ 的对象。那么 $X\cup\{x\}$ 为有限集且 $\#(X\cup\{x\})=\#(X)+1$。
+  1. 设 $X$ 是有限集，并设 $x$ 是一个不属于 $X$ 的对象。那么 $X\cup\{x\}$ 为有限集且 $\operatorname{card}X\cup\{x\}=\operatorname{card}X+1$。

-     证明：在原来映射的基础上，再将 $x$ 映射到 $\#(X)+1$ 即可。
+     **证明**：在原来映射的基础上，再将 $x$ 映射到 $\operatorname{card}(X)+1$ 即可。

-  2. 设 $X$ 是有限集，并设 $Y$ 是 $X$ 的子集。那么 $Y$ 是有限集且 $\#(Y)\leq \#(X)$，当且仅当 $X=Y$ 时取等号。
+  2. 设 $X$ 是有限集，并设 $Y$ 是 $X$ 的子集。那么 $Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 $X=Y$ 时取等号。

-     证明：设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立即可。对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，$X$ 为空集，命题显然成立。
+     **证明**：设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。我们只需证明对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立即可。对 $n$ 进行归纳。当 $n=0$ 时，$X$ 为空集，命题显然成立。

-     归纳地假设 $P(n)$ 成立。对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n++$ 及任意 $Y\subseteq X$，
+     归纳地假设 $P(n)$ 成立。对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n^+$ 及任意 $Y\subseteq X$，

-     - 若 $Y=X$，则 $Y$ 是有限集且 $\#(Y)=\#(X)$。
+     1. 若 $Y=X$，则 $Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y=\operatorname{card}X$。

-     - 若 $Y\neq X$ 即 $X\not\subseteq Y$，则存在 $x\in X$ 满足 $x\not\in Y$，考虑集合 $X\setminus\{x\}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus\{x\}$，那么根据归纳，$Y$ 是有限集且 $\#(Y)\leq \#(X\setminus\{x\})<\#(X)$。
+     1. 若 $Y\neq X$ 即 $X\not\subseteq Y$，则存在 $x\in X$ 满足 $x\not\in Y$，考虑集合 $X\setminus\{x\}$，根据引理 3.6.4，该集合是有限集且其基数为 $n$。容易证明 $Y\subseteq X\setminus\{x\}$，那么根据归纳，$Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}Y\leqslant \operatorname{card}(X\setminus\{x\})<\operatorname{card}X$。

-     于是 $P(n++)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
+     于是 $P(n^+)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。

-  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\#(X\cup Y)\leq \#(X)+\#(Y)$，当且仅当 $X,Y$ 不交时取等。
+  3. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么 $X\cup Y$ 是有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant \operatorname{card}X+\operatorname{card}Y$，当且仅当 $X,Y$ 不交时等号成立。

-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。

-     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \mathbb N_1^{n+m}$。
+     考虑构建双射 $h$，其定义域为 $X\cup Y$，满足对于任意 $x\in X\cup Y$：若 $x\in X$，则 $h(x):=f(x)$；若 $x\not\in X$，则 $h(x):=n+g(x)$。容易证明满足该定义的双射 $h:X\cup Y\to (Z=h(X\cup Y))$ 存在，且 $Z\subseteq \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n+m\}$。

-     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\#(Z)\leq n+m$，当且仅当 $Z=\mathbb N_1^{n+m}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\#(X\cup Y)\leq n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\mathbb N_1^{n+m}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时取等。
+     根据 3.6.8.2，可知 $Z$ 为有限集且 $\operatorname{card}Z\leqslant n+m$，当且仅当 $Z=\{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n+m\}$ 时取等。那么 $X\cup Y$ 也为有限集且 $\operatorname{card}(X\cup Y)\leqslant n+m$，当且仅当 $h(X\cup Y)=\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n+m\}$，即 $X\cap Y=\varnothing$ 时等号成立。

-  4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\#(f(X))\leq \#(X)$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。
+  4. 设 $X$ 是有限集，且 $f:X\to Y$ 是一个函数，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)\leqslant \operatorname{card}X$，当且仅当 $f$ 为单射时取等。

-     证明：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n$，上述命题成立。当 $n=0$ 时，$X,f(X)$ 为空集，命题显然成立。
+     **证明**：仍用与 3.6.8.2 类似的证明方法。设 $P(n)$ 表示对于任意有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n$，上述命题成立。当 $n=0$ 时，$X,f(X)$ 为空集，命题显然成立。

-     归纳地假设 $P(n)$ 成立。欲对于有限集 $X$ 满足 $\#(X)=n++$ 和函数 $f:X\to Y$ 证明命题。
+     归纳地假设 $P(n)$ 成立。欲对于有限集 $X$ 满足 $\operatorname{card}X=n^+$ 和函数 $f:X\to Y$ 证明命题。

-     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X'=X\setminus \{x\}$。设函数 $f':X'\to Y$，使得 $\forall_{x\in X'},f'(x):=f(x)$。根据归纳，$f'(X')$ 为有限集且 $\#(f'(X'))\leq \#(X')=n$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等。
+     一定存在一个元素 $x\in X$，设 $X'=X\setminus \{x\}$。设函数 $f':X'\to Y$，使得 $\forall_{x\in X'},f'(x):=f(x)$。根据归纳，$f'(X')$ 为有限集且 $\operatorname{card}f'(X')\leqslant \operatorname{card}(X')=n$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等。

-     - 若 $f(x)\in f'(X')$，则 $f'(X')=f(X)$，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\#(f(X))<n++$。
+     - 若 $f(x)\in f'(X')$，则 $f'(X')=f(X)$，那么 $f(X)$ 是有限集且 $\operatorname{card}f(X)<n^+$。

-     - 若 $f(x)\not\in f'(X')$，则 $f(X)=f'(X')\cup \{f(x)\}$ 为有限集，且 $\#(f(X))=\#(f'(X'))+\#(\{f(x)\})\leq n+1$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等，结合 $f(x)\not\in f'(X')$，可知等价于 $f(X)$ 为单射。
+     - 若 $f(x)\not\in f'(X')$，则 $f(X)=f'(X')\cup \{f(x)\}$ 为有限集，且 $\operatorname{card}f(X)=\operatorname{card}f'(X')+\operatorname{card}\{f(x)\}\leqslant n+1$，当且仅当 $f'(X')$ 为单射时取等，结合 $f(x)\not\in f'(X')$，可知等价于 $f(X)$ 为单射。

-     于是 $P(n++)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。
+     于是 $P(n^+)$ 成立。于是对于任意自然数 $n$ 有 $P(n)$ 成立。

-  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\#(X\times Y)=\#(X)\times \#(Y)$。
+  5. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么笛卡尔积 $X\times Y$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(X\times Y)=\operatorname{card}X\times \operatorname{card}Y$。

-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。

-     构造映射 $h:X\times Y\to \mathbb N_1^{nm}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。
+     构造映射 $h:X\times Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant nm\}$，满足对于任意 $(x,y)\in X\times Y$， $h(x,y):=(f(x)-1)m+g(y)$。

     容易证明 $h$ 是个双射，证毕。

-  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\#(Y^X)=(\#(Y))^{\#(X)}$。
+  6. 设 $X$ 和 $Y$ 是有限集，那么集合 $Y^X$ 是有限的，且 $\operatorname{card}(Y^X)=(\operatorname{card}Y)^{\operatorname{card}X}$。

-     证明：设 $\#(X)=n$ 且 $\#(Y)=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \mathbb N_1^n$ 和 $g:Y\to \mathbb N_1^m$。
+     **证明**：设 $\operatorname{card}X=n$ 且 $\operatorname{card}Y=m$，根据定义，存在双射 $f:X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant n\}$ 和 $g:Y\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m\}$。

-     构造映射 $h:Y^X\to \mathbb N_1^{(m^n)}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^ng(p(f^{-1}(i)))\cdot Y^{i-1}$。
+     构造映射 $h:Y^X\to \{i\in\mathbb N:1\leqslant i\leqslant m^n\}$，满足对于任意 $p\in Y^X$，$h(f):=\sum_{i=1}^n(g\circ p\circ f^{-1})(i)\cdot Y^{i-1}$。

-     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\mathbb N_1^n\to \mathbb N$。
+     此处需先对 $n$ 归纳证明形如 $\sum_{i=1}^na(i)$ 的求和式存在且唯一，其中 $a:\{i\in \mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant n\}\to \mathbb N$。

     容易证明 $h$ 是个双射，证毕。

 经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。

-至此，我们结束了对于有限集的讨论。
+至此，我们对于集合的讨论告一段落。