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我们现在介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。我们下面给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，可以证明，我们将要建立的集合公理体系是等价于ZF公理集合论的。
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几乎所有数学分支领域都将集合论作为其基础。因此在学习高级的数学领域之前，学习集合论中的一些基础概念是非常重要的。本章中，我们将给出公理集合论中的部分（较为初等）的内容，并介绍集合论中的一些概念和记号，他们通常广泛而频繁地被用到。
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## 3.1 基本事项
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## 3.3 函数
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- **定义 3.3.1（函数/映射/变换）**：设 $X,Y$ 是集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in X$ 和任意对象 $y\in Y$ 的命题，使得对于每个对象 $x\in X$ 存在恰好一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 成立。那么我们定义由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数 $f:X\to Y$ 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足
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- **定义 3.3.1（函数/映射/变换）**：设 $X,Y$ 是集合，$P(x,y)$ 是关于任意对象 $x\in X$ 和任意对象 $y\in Y$ 的命题，使得对于每个对象 $x\in X$ 存在恰好一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 成立（此时我们称 $P$ 满足垂线判别法）。那么我们定义由 $P$ 在 $X$ 和 $Y$ 上确定的函数 $f:X\to Y$ 是这样的对象，它对于任意的输入 $x\in X$，将指定一个输出 $f(x)\in Y$，满足
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y=f(x)\iff P(x,y)
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设 $f:X_1\times X_2\times X_3\to Y$ 是一个函数。我们认为，$f$ 可以被看做是一个变元 $(x_1,x_2,x_3)\in X_1\times X_2\times X_3$ 的函数，或三个变元 $x_1\in X_1,x_2\in X_2,x_3\in X_3$ 的函数，或两个变元 $x_1\in X_1,(x_2,x_3)\in X_2\times X_3$ 的函数，诸如此类。我们将不在乎这些不同的看法，而假装它们实际上是相同的。
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我们介绍一个实用的引理：
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- **引理 3.5.5（有限选择）**：设 $(X_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 是一个非空集合的 $n$ 元序列，那么 $\prod_{1\leqslant i\leqslant n}X_i$ 也非空，即存在一个 $n$ 元序列 $(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ 使得对于任意自然数 $1\leqslant i\leqslant n$，$x_i\in X_i$。
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**证明**：对 $n$ 归纳。每次选择一个 $a\in X_{n^+}$ 并令 $x_{n^+}=a$。
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## 3.6 集合的基数
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- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射 $f:X\rightarrow Y$。
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- **定义 3.6.1（相同的基数）**：称两个集合 $X$ 和 $Y$ 具有相同基数当且仅当存在一个 $X$ 与 $Y$ 间的双射 $f:X\rightarrow Y$，记作 $\operatorname{card}X=\operatorname{card}Y$。
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容易证明，“有相同的基数”这一概念是一个等价关系，满足自反性、对称性、传递性。对于一个有限集，我们可以用一个自然数来表示其集合的大小，即其所含元素的个数。
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- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素，记作 $\operatorname{card}X$），当且仅当它与集合 $\mathbb{N}_{1..n}$ 具有相同的基数。
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- **定义 3.6.2（基数）**：设 $n$ 是自然数。称一个集合 $X$ 具有基数 $n$（或称 $X$ 有 $n$ 个元素），当且仅当它与集合 $\mathbb{N}_{1..n}$ 具有相同的基数。
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- **引理 3.6.3（基数的非退化性）**：$X=\varnothing\iff\operatorname{card}X=0$，即一个集合 $X$ 具有基数 $0$ 当且仅当 $X$ 为空集，且若 $X$ 为空集，则 $X$ 仅具有基数 $0$。
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- **定义 3.6.6（有限集）**：称一个集合是有限的，当且仅当它具有基数 $n$（那么 $n$ 唯一）；否则称该集合为无限的。
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注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\operatorname{card}X=n$。
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注意到，两个集合具有相同的基数，必要条件是它们同为有限集或同为无限集，而对于有限集，我们往后也不会用其他的方式来定义它另外具有的基数，所以对于有限集 $X$，设它具有基数 $n$，那么我们不妨直接称 $X$ 的基数为 $\operatorname{card}X:=n$。
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注意对于有限集我们给 $\operatorname{card}$ 赋了值，那么对于 $\operatorname{card}X=\operatorname{card}Y$，它有可能是在说一个等式，也有可能只是一个记号表明 $X,Y$ 具有相同的基数。这之间的区别具体依靠上下文来判断，而上下文无法判断时，即 $X,Y$ 均为有限集时，可以证明两种定义是相容的。
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- **定理 3.6.7**：$\mathbb N$ 是无限集。
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经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。这使得我们可以很容易地论证有限集合中有一个最大的数和最小的数。
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- **命题 3.6.9（有限集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。
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- **命题 3.6.9（有限自然数集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。
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**证明**：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 $x$ 的命题 $p(x)$ 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x}$，有 $\min S$ 存在。
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然后证明唯一性。（反证法）若 $n,m$ 均为集合 $S$ 的最小元，则根据定义有 $n\leqslant m$ 和 $m\leqslant n$，故一定有 $m=n$。
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当然，任何一个有限非空集合（其元素不一定是）如果能够按照某种方式定义全序关系，则其也一定包含最小元和最大元（但是不一定唯一）。
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最后，根据有限集的定义，我们阐述引理 3.5.5 的一个直接推论：
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至此，我们对于集合的讨论告一段落。
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- **推论 3.6.10**：设 $I$ 是有限集，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个非空集合 $X_{\alpha}$。那么 $\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 非空，即存在一个映射 $(x_{\alpha})_{\alpha\in I}$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 有 $x_\alpha\in X_\alpha$。
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推论 3.6.10 的无限集版本即为选择公理，我们将在第 8 章阐述。
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至此，我们对于集合的讨论暂告一段落。
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src/第8章 无限集合.md
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### 第 8 章 无限集合
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我们将延伸集合论的学习，并将重点放在关于无限集的研究上。本章有小部分拓展内容，但我认为了解并学习它们还是有助于增长数学视野并在本书之外的领域发挥作用的。
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#### 8.1 可数性
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- **定义 8.1.1（可数集）**：称集合 $X$ 是可数的，当且仅当 $X$ 和 $\mathbb N $ 有相同的基数。称集合 $X$ 是至多可数的，当且仅当 $X$ 是有限的或是可数的。称集合 $X$ 是不可数的，当且仅当 $X$ 是无限的但不是可数的。
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我们定义无限集中一种特殊的集合：可数集。
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可数集意味着存在一种方式可以给集合中的所有元素编号，这使得我们可以将集合中的所有元素用无限序列的形式表示出来，并施加归纳法。
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- **定义 8.1.1（可数集）**：称集合 $X$ 是可数的，当且仅当 $X$ 和 $\mathbb N$ 有相同的基数（从而 $X$ 是无限的）。称集合 $X$ 是至多可数的，当且仅当 $X$ 是有限的或是可数的。称集合 $X$ 是不可数的，当且仅当 $X$ 是无限的但不是可数的。
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- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $X\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in X$，使得对于任意 $m\in X$ 有 $n\leq m$。且 $n=\inf(X)$。
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可数集意味着存在一种方式可以给集合中的所有元素编号，这使得我们可以将集合中的所有元素用无限序列的形式表示出来（注意根据定义对于可数集 $X$ 存在双射 $a:\mathbb N\to X$），并施加归纳法。
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称 $n$ 为集合 $X$ 的最小元，记为 $\min(X)$。
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- **命题 8.1.2（任意自然数的子集存在最小元）**：设非空集合 $X\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in X$，使得对于任意 $m\in X$ 有 $n\leq m$。进一步地，应有 $n=\inf(X)$。
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**证明**：唯一性：若 $n,n'$ 都是集合 $X$ 的最小元，那么 $n\leq n'$ 和 $n'\leq n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
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称 $n$ 为集合 $X$ 的极小元，记为 $\min(X)$。
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存在性：设 $n=\inf(X)$，只需证明 $n\in X$ 即可。反证，若 $n\not\in X$：
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**证明**：唯一性：若 $n,n'$ 都是集合 $X$ 的极小元，那么 $n\leq n'$ 和 $n'\leq n$ 同时成立，得到 $n=n'$。
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首先 $X$ 非空且有下界 $0$，故 $n$ 非 $-\infty,+\infty$ 且为非负实数。根据命题 5.4.10，存在唯一的整数 $A$ 满足 $A\leq n<A+1$。
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存在性：设 $n=\inf(X)$，只需证明 $n\in X$ 即可。
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反证，若 $n\not\in X$。首先 $X$ 非空且有下界 $0$，故 $n$ 非 $-\infty,+\infty$ 且为非负实数。根据命题 5.4.10，存在唯一的整数 $A$ 满足 $A\leq n<A+1$。
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对于任意 $x\in X$，有 $x\geq n$，又 $n\not\in X$，于是 $x>n$，那么 $x\geq A+1$。于是 $A+1$ 也是 $X$ 的下界，矛盾。
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命题 8.1.2 还表明 $\mathbb N$ 是良序集，具体的定义将在 8.5 中详细说明。
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目前我们所知道的可数集只有 $\mathbb N$，我们将考虑对可数集做变换，得到新的可数集。事实上很多集合都是不直觉地可数的。
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- **命题 8.1.3**：设无限集 $X\subseteq \mathbb N$，那么存在唯一一个双射 $f:\mathbb N\to X$，满足对于任意 $n\in\mathbb N$，$f(n)< f(n+1)$。
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当然，该命题也蕴含了 $X$ 为可数集。
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**证明**：存在双射 $f:X\to \mathbb N$，那么把 $f$ 的定义域限制在 $Y$ 上时是从 $Y$ 到 $f(Y)$ 的双射。而 $f(Y)\subseteq \mathbb N$ 是至多可数的，故 $Y$ 也是至多可数的。
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命题 8.1.3 还说明，不存在介于有限集和可数集之间的基数，具体的定义将在 8.3 中详细说明。
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- **命题 8.1.6**：设函数 $f:X\to Y$ 满足 $X$ 是可数的，那么 $f(X)$ 是至多可数的。
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**证明**：考虑映射 $g:f(X)\to X$ 满足对于任意 $y\in f(X)$ 有 $f(g(y))=y$。证明这样的 $g$ 一定存在且一定是单射，然后就存在双射 $f(X)\to g(f(X))$ 且 $g(f(X))\subseteq X$ 是至多可数集。
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对于任意 $\alpha\in I$：若 $A_{\alpha}$ 为有限集，存在双射 $f_{\alpha}:\mathbb N_{0..n_{\alpha}-1}\to A_{\alpha}$；若 $A_{\alpha}$ 为可数集，存在双射 $f_{\alpha}:\mathbb N\to A_{\alpha}$。
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根据推论 8.1.11，$I\times \mathbb N$ 是可数集。根据推论 8.1.5，那么 $S:=\{(\alpha,i)\in I\times \mathbb N:\text{$A_{\alpha}$为可数集，或$A_{\alpha}$为有限集且$i<n_{\alpha}$}\}$ 为至多可数集。考虑定义函数 $h:S\to \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}$ 满足 $h(\alpha,i):=f_{\alpha}(i)$，容易验证 $h$ 为满射，根据命题 8.1.6，那么 $\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}=h(S)$ 也为至多可数集。
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根据推论 8.1.11，$I\times \mathbb N$ 是可数集。根据推论 8.1.5，那么 $S:=\{(\alpha,i)\in I\times \mathbb N:A_{\alpha}\text{为可数集，或}A_{\alpha}\text{为有限集且}i<n_{\alpha}\}$ 为至多可数集。考虑定义函数 $h:S\to \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}$ 满足 $h(\alpha,i):=f_{\alpha}(i)$，容易验证 $h$ 为满射，根据命题 8.1.6，那么 $\bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}=h(S)$ 也为至多可数集。
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- **推论 8.1.13**：$\mathbb Q$ 是可数集。
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根据 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f(g(k))$ 绝对收敛，易证 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f_+(g(k))$ 和 $\sum\limits^{\infty}_{k=0}f_+(g(k))$ 都绝对收敛（从而收敛）。
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于是：
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\begin{aligned}
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\sum\limits_{(n,m)\in\mathbb N\times \mathbb N}f(n,m)&=\sum\limits^{\infty}_{k=0}f(g(k))\\
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&=\sum\limits^{\infty}_{n=0}\left(\sum\limits^{\infty}_{m=0}f_+(n,m)-\sum\limits^{\infty}_{m=0}f_-(n,m)\right)\\&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits^{\infty}_{m=0}(f_+(n,m)-f_-(n,m))=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)
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\end{aligned}
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注意，对于每一个等号，“等号后中所述的极限存在” 要么被等号本身涉及的极限算律或级数算律蕴含了，要么我们已经提前阐述过了。（意思就是我省略了对每一步中极限存在的说明）
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注：命题 7.4.4 也可以用类似该命题的证明方法，而且会简单一些。
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记 $C:=A\setminus B,D:=B\setminus A$，则 $C\cap D=\varnothing$。设 $n_{\min}=\min(C\cup D)$，不妨设 $n_{\min}\in C$。
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则 $\sum\limits_{n\in C}10^{-n}\geq 10^{-n_{\min}}$，$\sum\limits_{n\in D}10^{-n}\leq \sum\limits_{n\in \mathbb N_{n_{\min}+1..}}10^{-n}=\sum\limits_{n>n_{\min}}^{\infty}10^{-n}=10^{-n_{\min}-1}\frac{1}{1-10^{-1}}<10^{-n_\min}$，于是 $\sum\limits_{n\in C}10^{-n}\neq \sum\limits_{n\in D}10^{-n}$。证毕。
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则 $\sum\limits_{n\in C}10^{-n}\geq 10^{-n_{\min}}$，$\sum\limits_{n\in D}10^{-n}\leq \sum\limits_{n\in \mathbb N_{n_{\min}+1..}}10^{-n}=\sum\limits_{n>n_{\min}}^{\infty}10^{-n}=10^{-n_{\min}-1}\frac{1}{1-10^{-1}}<10^{-n_{\min}}$，于是 $\sum\limits_{n\in C}10^{-n}\neq \sum\limits_{n\in D}10^{-n}$。证毕。
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对于有限集，它们的基数是一个唯一确定的自然数，它们的基数可以通过自然数来进行比较。而现在，我们扩展基数比较的定义，使得它也可以作用在无限集上。
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- **定义 8.3.4**：设 $A$ 和 $B$ 是集合。称 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数，当且仅当存在一个单射 $f:A\to B$。
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- **定义 8.3.4**：设 $A$ 和 $B$ 是集合。称 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数（记作 $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$），当且仅当存在一个单射 $f:A\to B$。
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容易发现，当 $A$ 和 $B$ 是有限集时，$A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数当且仅当 $\#(A)\leq \#(B)$，故定义 8.3.4 在有限集上也是相容的。
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注意到，当 $A$ 和 $B$ 是有限集时，$\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$ 既可以表示存在 $A\to B$ 的单射（定义 8.3.4），也可以表示一个不等式（根据第 3 章中的定义将 $\operatorname{card}$ 的具体的值代入），但可以证明两种定义是相容的。
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容易验证，关于基数的小于等于具有自反性和传递性。
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- **引理 8.3.5**：设 $A,B,C$ 是集合。
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- **引理 8.3.5**：设 $A,B$ 是集合，满足 $A\subseteq B$ 且 $B$ 的基数小于等于 $A$ 的基数，那么 $A,B$ 有相同的基数。
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- $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}A$。
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- $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B\land \operatorname{card}B\leq \operatorname{card}C\implies \operatorname{card}A\leq \operatorname{card}C$。
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- **引理 8.3.6**：设 $A,B$ 是集合，满足 $A\subseteq B$ 且 $\operatorname{card}B\leq \operatorname{card}A$，那么 $\operatorname{card}A=\operatorname{card}B$。
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**证明**：存在 $f:B\to A$ 是单射。
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然后可以证明 $g$ 是双射。故 $A,B$ 具有相同的基数。
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- **定理 8.3.6（施罗德-伯恩斯坦定理）**：设 $A,B$ 是集合，满足 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数、$B$ 的基数小于等于 $A$ 的基数，那么 $A,B$ 有相同的基数。
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- **定理 8.3.7（施罗德-伯恩斯坦定理）**：设 $A,B$ 是集合，满足 $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$ 且 $\operatorname{card}B\leq \operatorname{card}A$，那么 $\operatorname{card}A=\operatorname{card}B$。
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**证明**：存在 $f:B\to A$ 和 $g:A\to B$ 是单射。那么 $g(A)\subseteq B$，且 $(g\circ f)$ 是 $B\to g(A)$ 的单射。于是根据引理 8.3.4，可知 $B$ 和 $g(A)$ 具有相同的基数，从而 $B$ 和 $A$ 具有相同的基数。
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**证明**：存在 $f:B\to A$ 和 $g:A\to B$ 是单射。那么 $g(A)\subseteq B$，且 $(g\circ f)$ 是 $B\to g(A)$ 的单射。于是根据引理 8.3.4，得到 $\operatorname{card}B=\operatorname{card}g(A)=\operatorname{card}A$。
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根据定理 8.3.6，基数的小于等于同时还具有 “反传递性”，但需注意这里 “反传递性” 的结果是：$X$ 和 $Y$ 具有相同的基数，而非 $X=Y$。
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引理 8.3.5 和定理 8.3.7 联合表明，集合关于基数比较构成 “偏序关系”。
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- **定义 8.3.7**：设 $A$ 和 $B$ 是集合。称 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数，当且仅当 $A$ 的基数小于等于 $B$ 的基数且 $A$ 和 $B$ 没有相同的基数。
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更准确的说法是，设 $\Omega$ 是任意一个集族（注意我们不能取出一个集合包含所有的集合）。对于任意 $A\in \Omega$，若定义 $\operatorname{card}_{\Omega} A:=\{B\in\Omega:存在A,B间的双射\}$（即 $A$ 关于基数的等价类），设 $S:=\{\operatorname{card}_{\Omega} A:A\in\Omega\}$，再对于任意 $X,Y\in S$，不妨设某 $A,B$ 使得 $X=\operatorname{card}_{\Omega}A$ 且 $Y=\operatorname{card}_{\Omega}B$，然后定义 $X\leq Y$ 当且仅当存在 $A\to B$ 的单射（可以证明这个定义是良定义，即该定义不依赖于 $A,B$ 的取值），然后，可以说明 $(S,\leq)$ 是偏序集（偏序集的准确定义见 8.5.1）。可以看到这种划分等价类的技巧我们已经在定义整数、有理数和实数的时候都用过了。
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- **引理 8.3.8**：设 $X$ 是集合，则 $X$ 的基数严格小于 $2^X$ 的基数。
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而容易证明的是，若 $\Omega_1,\Omega_2$ 都是集族，那么对于任意 $A,B\in\Omega_1\cap\Omega_2$，都有 $\operatorname{card}_{\Omega_1}A\leq \operatorname{card}_{\Omega_1}B\iff \operatorname{card}_{\Omega_2}A\leq \operatorname{card}_{\Omega_2}B$。那么我们不妨直接简记 $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$ 表示存在集族 $\Omega$ 满足 $A,B\in \Omega$ 使得 $\operatorname{card}_{\Omega}A\leq \operatorname{card}_{\Omega}B$，这等价于对于任意集族 $\Omega$ 满足 $A,B\in \Omega$ 都有 $\operatorname{card}_{\Omega}A\leq \operatorname{card}_{\Omega}B$，也等价于 $\operatorname{card}_{\{A,B\}}A\leq \operatorname{card}_{\{A,B\}}B$，于是它也直接等价于存在 $A\to B$ 的单射。
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- **定义 8.3.8**：设 $A$ 和 $B$ 是集合。称 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数（记作 $\operatorname{card} A<\operatorname{card}B$），当且仅当 $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$ 且 $\operatorname{card}A\neq \operatorname{card}B$。
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集合的基数比较在严格小于上也满足传递性，这从偏序集的角度看是很显然的（见定义 8.5.1）。
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至此，我们较为完整地定义了任意集合间的基数比较。我们将在 8.4 证明一个更强的结论：任意两个集合之间都是可以比较基数的——这将让基数比较完成从 “偏序集” 到 “全序集” 的跨越。
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/*放到 8.4 后
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最后，利用基数比较，我们给出几个实用的引理：
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- **引理 8.3.10**：设 $X$ 是有限集，$Y$ 是可数集，$Z$ 是不可数集。那么 $\operatorname{card}X<\operatorname{card}Y<\operatorname{card}Z$。
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**证明**：根据定义容易证明，$\operatorname{card}X,\operatorname{card}Y,\operatorname{card}Z$ 两两不等。
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- **引理 8.3.11**：设 $X$ 是集合，则 $\operatorname{card}X<\operatorname{card}2^X$。
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**证明**：构造 $f:X\to 2^X$ 满足 $f(x):=\{x\}$，那么 $f$ 为单射。再根据定理 8.3.1 即证。
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- **引理 8.3.9**：设 $A,B,C$ 是集合，满足 $A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数、$B$ 的基数严格小于 $C$ 的基数，那么 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。
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**证明**：$A$ 的基数严格小于 $B$ 的基数，说明存在单射 $f:A\to B$，同理可知存在单射 $g:B\to C$，于是存在 $A\to C$ 的单射 $g\circ f$。而若 $A,C$ 具有相同的基数，则存在 $C\to A$ 的单射 $h$，那么 $f\circ h$ 为 $C\to B$ 的单射，从而 $B,C$ 具有相同基数，矛盾。故 $A$ 的基数严格小于 $C$ 的基数。
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*/
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#### 8.4 选择公理
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//前言
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- **定义 8.4.1（无限笛卡尔积）**：设 $I$ 是任意集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个集合 $X_{\alpha}$。那么我们定义集族 $\{X_{\alpha}:\alpha\in I\}$ 的笛卡尔积为 $\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}:=\left\{(x_{\alpha})_{\alpha\in I}\in \left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{I}:\forall_{\alpha\in I},x_{\alpha}\in X_{\alpha}\right\}$。
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- **公理 8.4.2（选择公理）**：设 $I$ 是任意集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个非空集合 $X_{\alpha}$。那么 $\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 非空，即存在一个映射 $(x_{\alpha})_{\alpha\in I}$，使得 $x_\alpha\in X_\alpha$。
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- **定义 8.4.1（无限笛卡尔积）**：设 $I$ 是任意集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个集合 $X_{\alpha}$。那么我们定义集族 $\{X_{\alpha}:\alpha\in I\}$ 的笛卡尔积为
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$$
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\prod_{\alpha\in I}X_{\alpha}:=\left\{(x_{\alpha})_{\alpha\in I}\in \left(\bigcup\limits_{\alpha\in I}X_{\alpha}\right)^{I}:\forall_{\alpha\in I},x_{\alpha}\in X_{\alpha}\right\}
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$$
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- **公理 8.4.2（选择公理）**：设 $I$ 是任意集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个非空集合 $X_{\alpha}$。那么存在一个映射 $x:I\to \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 有 $x_\alpha\in X_\alpha$。
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但在应用的时候，我们利用的往往只是可数选择公理。下面举一个可数选择公理的应用例子：
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@ -353,13 +387,31 @@
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**证明**：令 $L=\sup(E)$。对于每个正整数 $n$，定义集合 $X_n:=\{x\in E:L-\frac1n\leq x\leq L\}$，由于 $L$ 是 $E$ 的上确界，故 $X_n$ 非空。根据选择公理，可以选出一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$ 有 $x_n\in X_n$。容易证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$。
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选择公理的另一种表述方式如下：
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选择公理有很多等价表述（当然，这些等价描述也是选择公理的一些实用推论），我们列举一些如下：
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- **命题 8.4.4**：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，且 $P(x,y)$ 是关于任意 $x\in X$ 和 $y\in Y$ 的命题，满足对于任意 $x\in X$ 至少存在一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 为真。那么存在一个函数 $f:X\to Y$，使得对于任意 $x\in X$ 有 $P(x,f(x))$ 成立。
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- **命题 8.4.4**：设命题 $Q$ 为：设 $X$ 和 $Y$ 是集合，且 $P(x,y)$ 是关于任意 $x\in X$ 和 $y\in Y$ 的命题，满足对于任意 $x\in X$ 至少存在一个 $y\in Y$ 使得 $P(x,y)$ 为真。那么存在一个函数 $f:X\to Y$，使得对于任意 $x\in X$ 有 $P(x,f(x))$ 成立。
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**证明**：略。
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那么选择公理和命题 $Q$ 等价。
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//看回函数的定义，发现和选择公理很像，它说 ”若对于任意x，都存在恰好一个y使得P(x,y)成立，那么存在一个函数f，使得f(x)=y当且仅当P(x,y)成立“，但函数的定义未用到公理，但这里又要一个选择公理，是否意味着当x对应的那个y唯一时就无需用公理而可以直接定义函数，但当y不唯一时我们就得通过选择公理构造一个函数？
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**证明**：若选择公理成立：设函数 $F(x):=\{y\in Y:P(x,y)\}$，那么根据选择公理，存在 $f:X\to Y$ 使得对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\in F(x)$，即 $P(x,f(x))$ 成立。从而命题 $Q$ 成立。
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若命题 $Q$ 成立：对于任意 $\alpha\in I$ 和 $y\in \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$，设 $P(\alpha,y)$ 表示 $y\in X_{\alpha}$。那么根据命题 $Q$，可知存在 $x:I\to \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 有 $P(\alpha,x_{\alpha})$ 成立即 $x_\alpha\in X_\alpha$。从而选择公理成立。
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- **命题 8.4.5**：设命题 $Q$ 为：设 $I$ 是任意集合，且对于任意 $\alpha\in I$，都存在一个非空集合 $X_{\alpha}$。设对于任意不同的 $\alpha,\beta\in I$ 都有 $X_{\alpha}\cap X_{\beta}=\varnothing$。那么存在一个集合 $Y$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 有 $\operatorname{card}(Y\cap X_{\alpha})=1$。
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那么选择公理和命题 $Q$ 等价。
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**证明**：若选择公理成立：存在一个映射 $(x_{\alpha})_{\alpha\in I}$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 有 $x_\alpha\in X_\alpha$。可以证明取 $Y=x(I)$ 是合法的。从而命题 $Q$ 成立。
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若命题 $Q$ 成立：考虑令集合 $X'_{\alpha}:=\{(\alpha,x):x\in X_{\alpha}\}$，显然对于任意不同的 $\alpha,\beta\in I$ 都有 $X'_{\alpha}\cap X'_{\beta}$，于是存在一个集合 $Y$，使得对于任意 $\alpha\in I$ 都有 $\operatorname{card}(Y\cap X'_{\alpha})=1$。设命题 $P(\alpha,x)$ 表示 $(\alpha,x)\in Y\cap X'_{\alpha}$，那么对于任意 $\alpha\in I$，恰有一个 $x\in \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 满足 $P(\alpha,x)$ 成立。于是存在由 $P$ 确定的映射 $f:I\to \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$，对于任意 $\alpha\in I$ 有 $P(\alpha,f_{\alpha})$ 即 $f_\alpha\in X_\alpha$ 成立。从而选择公理成立。
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- **命题 8.4.6**：设命题 $Q$ 为：设 $A,B$ 是集合，若存在满射 $g:B\to A$，那么存在单射 $f:A\to B$ 且满足对于任意 $a\in A$ 有 $g(f(a))=a$。
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那么选择公理和命题 $Q$ 等价。
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**证明**：若选择公理成立：存在一个映射 $f:A\to B$，使得对于任意 $a\in A$ 都有 $f(a)\in \{b\in B:g(b)=a\}$，那么显然 $f$ 满足条件。从而命题 $Q$ 成立。
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若命题 $Q$ 成立，考虑证明命题 8.4.5 中所述的命题 $Q$（为避免混淆记为命题 $R$）成立：对于任意 $x\in \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 和任意 $\alpha\in I$，设 $P(x,\alpha)$ 表示 $x\in X_{\alpha}$，那么 $P$ 满足垂线判别法，于是存在由 $P$ 确定的函数 $g:\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}\to I$，且容易证明 $g$ 是满射。根据命题 $Q$，应存在单射 $f:I\to \bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 且对于任意 $\alpha\in I$ 有 $g(f(\alpha))=\alpha$，即 $f(\alpha)\in X_{\alpha}$。可以证明取 $Y=f(I)$ 是合法的。从而命题 $R$ 成立。
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//对于很多情况，我们可以通过一些方式绕过选择公理。例如若 $X_{\alpha}$ 是实数集，那么我们就可以通过取 $x_{\alpha}=\sup(X_{\alpha})$ 来避免使用选择公理（当然，$\sup(X_{\alpha})$ 不一定属于 $X_{\alpha}$，但大多数情况下都可以证明 $\sup(X_{\alpha})$ 和 $X_{\alpha}$ 中的元素具有同样的我们想要的性质，但是，通过选择公理我们又可以避免这一步骤，所以说利用选择公理会使我们的证明简单一些，但大多是情况下都是可以绕开选择公理的）
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@ -370,18 +422,22 @@
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- **定义 8.5.1（偏序集）**：偏序集是一个序偶 $(X,\leq_X)$，其中 $X$ 是一个集合，$\leq_X$ 称为序关系，是在 $X$ 上有定义（注意不是 “定义在 $X$ 上的”）的遵从如下性质的二元关系（即对于任意 $x,y\in X$，$x\leq y$ 要么为真，要么为假）：
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- 自反性：对于任意 $x\in X$ 有 $x\leq_X x$。
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- 反传递性：若 $x,y\in X$ 满足 $x\leq _X y$ 且 $y\leq_X x$，则 $x=y$。
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- 传递性：若 $x,y,z\in X$ 满足 $x\leq_X y$ 且 $y\leq_X z$，则 $x\leq_X z$。
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称 $x<_Xy$ 当且仅当 $x\leq_X y$ 且 $x\neq y$。
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称 $x<_Xy$ 当且仅当 $x\leq_X y$ 且 $x\neq y$。容易证明 $<_X$ 也满足传递性。
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一般我们在明确定义的情况下，用 $\leq$ 代替 $\leq_X$，用 $<$ 代替 $<_X$。
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有时，不严谨地，在 $\leq$ 的定义明显时，我们会把 $X$ 直接叫作偏序集。下述定义中也有类似的情况。
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- **定义 8.5.2（全序集）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。称其是全序集，当且仅当对于任意 $x,y\in X$，$x\leq y$ 和 $y\leq x$ 中有至少一个为真。
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- **定义 8.5.3（最小元和最大元）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。称 $x$ 是 $(X,\leq)$ 的最小元，当且仅当 $x\in X$ 且不存在 $y\in X$ 使得 $y<x$。称 $x$ 是 $(X,\leq)$ 的最大元，当且仅当 $x\in X$ 且不存在 $y\in X$ 使得 $y>x$。
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- **定义 8.5.4（良序集）**：设 $(X,\leq )$ 是全序集。称其是良序集，当且仅当对于任意 $Y\subseteq X$ 满足 $Y$ 非空，$(Y,\leq)$ 都有最小元。
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- **定义 8.5.2（全序集/链）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。称其是全序集，当且仅当对于任意 $x,y\in X$，$x\leq y$ 和 $y\leq x$ 中有至少一个为真。
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- **定义 8.5.3（极小元和极大元）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。称 $x$ 是 $(X,\leq)$ 的极小元，当且仅当 $x\in X$ 且不存在 $y\in X$ 使得 $y<x$。称 $x$ 是 $(X,\leq)$ 的极大元，当且仅当 $x\in X$ 且不存在 $y\in X$ 使得 $y>x$。
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- **定义 8.5.4（良序集）**：设 $(X,\leq )$ 是全序集。称其是良序集，当且仅当对于任意 $Y\subseteq X$ 满足 $Y$ 非空，$(Y,\leq)$ 都有极小元。
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各种序集有很多基本性质，我们罗列其中几个如下：
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@ -393,47 +449,51 @@
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**证明**：根据定义可知。
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- **引理 8.5.6**：设 $(X,\leq)$ 是全序集，那么 $(X,\leq)$ 至多只能有一个最小元和一个最大元。
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- **引理 8.5.6**：设 $(X,\leq)$ 是全序集，那么 $(X,\leq)$ 至多只能有一个极小元，且若 $x$ 是 $(X,\leq)$ 的极小元，那么对于任意 $y\in X$ 有 $x\leq y$。
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**证明**：反证即可。
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对于极大元也有类似的结论。
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- **引理 8.5.7**：设 $(X,\leq)$ 是全序集且 $X$ 是有限的，那么 $(X,\leq)$ 为良序集。
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**证明**：通过归纳证明每个有限全序集都存在最小元（和最大元）。
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**证明**：通过归纳证明每个有限全序集都存在极小元（和极大元）。
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良序集的一个优点是，它直接服从强归纳原理。
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- **命题 8.5.6（强归纳原理）**：设 $(X,\leq)$ 是良序集，且 $P(n)$ 是关于任意 $n\in X$ 的命题。假设对于任意 $n\in X$ 都有 “若对于任意 $m\in X$ 且 $m<n$ 都有 $P(m)$ 是真的，那么 $P(n)$ 是真的”。那么对于任意 $n\in X$，$P(n)$ 是真的。
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**证明**：考虑集合 $\{n\in X:\lnot P(n)\}$，若它非空，则存在最小元 $n$，发现对于任意 $m\in X$ 且 $m<n$，$P(m)$ 都是真的（否则 $m\in X$ 而 $n$ 不是最小元，矛盾），于是 $P(n)$ 也应是真的，矛盾。
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**证明**：考虑集合 $\{n\in X:\lnot P(n)\}$，若它非空，则存在极小元 $n$，发现对于任意 $m\in X$ 且 $m<n$，$P(m)$ 都是真的（否则 $m\in X$ 而 $n$ 不是极小元，矛盾），于是 $P(n)$ 也应是真的，矛盾。
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//所有良序集都是至多可数集吗
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- **定义 8.5.7（上界及严格上界）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。称 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的上界，当且仅当对于任意 $x\in X$ 都有 $x\leq M$。称 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的严格上界，当且仅当 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的上界且对于任意 $x\in X$ 有 $x\neq M$，即对于任意 $x\in X$ 都有 $x<M$。
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- **定义 8.5.7（上界及严格上界）**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。
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- **引理 8.5.8**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集，满足 $\leq$ 是定义在 $X$ 上的（即 $x\leq y$ 有定义当且仅当 $x,y\in X$）。那么对于任意 $x_0\in X$，存在一个良序集 $Y\subseteq X$，它以 $x_0$ 为最小元，且没有严格上界。
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称 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的上界，当且仅当对于任意 $x\in X$ 都有 $x\leq M$。
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**证明**：反证。设 $A:=\{Y\in 2^X:\text{$Y$是良序集且以$x_0$为最小元}\}$，假设对于任意 $Y\in A$，$Y$ 都有严格上界。根据选择公理，对于任意 $Y\in A$，我们可以指定一个 $s(Y)$，使得 $s(Y)$ 是 $Y$ 的严格上界。
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称 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的严格上界，当且仅当 $M$ 是 $(X,\leq)$ 的上界且对于任意 $x\in X$ 有 $x\neq M$，即对于任意 $x\in X$ 都有 $x<M$。
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考虑集族 $\Omega:=\{Y\in A:\text{对于任意$x\in Y$且$x\neq x_0$，有$x=s(\{y\in Y:y<x\})$}\}$。注意 $\{x_0\}\in\Omega$，故 $\Omega$ 非空。
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- **引理 8.5.8**：设 $(X,\leq)$ 是偏序集。那么对于任意 $x_0\in X$，存在一个良序集 $Y\subseteq X$，它以 $x_0$ 为极小元，且没有 $X$ 内的严格上界（不存在 $M\in X$ 且 $M$ 是 $Y$ 的严格上界）。
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直观上的理解是：我们将所有从 $\{x_0\}$ 开始的、通过不断添加 $s(Y)$ 而形成的所有集合都给放进了 $\Omega$ 内。然后我们要做的事情就是，把 $\Omega$ 中所有的集合并起来得到一个集合 $Y_{\infty}$，它应当是 $\{x_0\}$ 通过 $s(Y)$ 能到达的所有点，然后我们说明 $Y_{\infty}$ 是良序集且以 $x_0$ 为最小元，从而也应有严格上界 $s(Y_{\infty})$，然后再说明 $s(Y_{\infty})\in Y_{\infty}$ 引出矛盾。接下来我们将严谨地说明这些。
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**证明**：反证。设 $A:=\{Y\in 2^X:Y\text{是良序集且以}x_0\text{为极小元}\}$，假设对于任意 $Y\in A$，$Y$ 都有 $X$ 内的严格上界。根据选择公理，对于任意 $Y\in A$，我们可以指定一个 $s(Y)\in X$，使得 $s(Y)$ 是 $Y$ 的严格上界。
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考虑集族 $\Omega:=\{Y\in A:\text{对于任意}x\in Y\text{且}x\neq x_0\text{，有}x=s(\{y\in Y:y<x\})\}$。注意 $\{x_0\}\in\Omega$，故 $\Omega$ 非空。
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直观上的理解是：我们将所有从 $\{x_0\}$ 开始的、通过不断添加 $s(Y)$ 而形成的所有集合都给放进了 $\Omega$ 内。然后我们要做的事情就是，把 $\Omega$ 中所有的集合并起来得到一个集合 $Y_{\infty}$，它应当是 $\{x_0\}$ 通过 $s(Y)$ 能到达的所有点，然后我们说明 $Y_{\infty}$ 是良序集且以 $x_0$ 为极小元，从而也应有严格上界 $s(Y_{\infty})$，然后再说明 $s(Y_{\infty})\in Y_{\infty}$ 引出矛盾。接下来我们将严谨地说明这些。
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我们先说明 $(\Omega,\subseteq)$ 是全序集。我们只需说明对于任意 $Y,Y'\in \Omega$，一定有 $Y\subseteq Y'$ 或 $Y'\subseteq Y$。
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反证，若不满足，则有 $Y\cap Y'\neq Y$ 且 $Y\cap Y'\neq Y'$，即 $Y\setminus{Y'}$ 和 $Y'\setminus Y$ 均非空。考虑证明 $s(Y\cap Y')\in Y$ 且 $s(Y\cap Y')\in Y'$，从而 $s(Y\cap Y')\in Y\cap Y'$，引出矛盾。
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由于 $Y\setminus Y'$ 非空，故存在最小元 $k$（注意 $k\neq x_0$），那么 $\{y\in Y:y<k\}=Y\setminus (Y\setminus Y')=Y\cap Y'$。那么 $s(Y\cap Y')=s(\{y\in Y:y<k\})=k\in Y$。同理可证 $s(Y\cap Y')\in Y'$。
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由于 $Y\setminus Y'$ 非空，故存在极小元 $k$（注意 $k\neq x_0$），那么 $\{y\in Y:y<k\}=Y\setminus (Y\setminus Y')=Y\cap Y'$。那么 $s(Y\cap Y')=s(\{y\in Y:y<k\})=k\in Y$。同理可证 $s(Y\cap Y')\in Y'$。
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于是 $(\Omega,\subseteq)$ 是全序集。设 $Y_{\infty}:=\bigcup \Omega$，那么 $x_0$ 是 $Y_{\infty}$ 的最小元且 $Y_{\infty}$ 非空。
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于是 $(\Omega,\subseteq)$ 是全序集。设 $Y_{\infty}:=\bigcup \Omega$，那么 $x_0$ 是 $Y_{\infty}$ 的极小元且 $Y_{\infty}$ 非空。
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先考虑证明 $(Y_{\infty},\leq)$ 是全序集。设任意 $x,x'\in Y_{\infty}$，那么存在 $Y,Y'\in \Omega$ 使得 $x\in Y$ 且 $x'\in Y'$，由于 $Y\subseteq Y'$ 和 $Y'\subseteq Y$ 中至少一个成立，那么 $x,x'$ 都同在 $Y$ 内或同在 $Y'$ 内，于是 $x\leq x'$ 和 $x'\leq x$ 中至少一个为真。
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再证 $(Y_{\infty},\leq)$ 是良序集。设任意非空集合 $S\subseteq Y_{\infty}$，那么存在 $b\in S$，那么存在 $Y\in \Omega$ 使得 $b\in Y$。考虑 $S\cap Y$，它有元素 $b$，是非空的，那么令 $a$ 为 $S\cap Y$ 的最小元。
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再证 $(Y_{\infty},\leq)$ 是良序集。设任意非空集合 $S\subseteq Y_{\infty}$，那么存在 $b\in S$，那么存在 $Y\in \Omega$ 使得 $b\in Y$。考虑 $S\cap Y$，它有元素 $b$，是非空的，那么令 $a$ 为 $S\cap Y$ 的极小元。
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然后考虑证明 $a$ 为 $S$ 的最小元：设任意 $c\in S$，那么存在 $Y'\in\Omega$ 使得 $c\in Y'$。若 $c\in Y$，则 $c\in S\cap Y$，故 $a\leq c$；若 $c\not\in Y$，则 $Y\subsetneq Y'$，在上面我们知道 $Y'\setminus Y$ 的最小元是 $Y$ 的严格上界，又由于 $c\in Y'\setminus Y$ 且 $a\in Y$，于是 $a<c$。
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然后考虑证明 $a$ 为 $S$ 的极小元：设任意 $c\in S$，那么存在 $Y'\in\Omega$ 使得 $c\in Y'$。若 $c\in Y$，则 $c\in S\cap Y$，故 $a\leq c$；若 $c\not\in Y$，则 $Y\subsetneq Y'$，在上面我们知道 $Y'\setminus Y$ 的极小元是 $Y$ 的严格上界，又由于 $c\in Y'\setminus Y$ 且 $a\in Y$，于是 $a<c$。
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于是 $(Y_{\infty},\leq)$ 是良序集，又 $x_0$ 是 $Y_{\infty}$ 的最小元，故 $Y_{\infty}\in A$。
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于是 $(Y_{\infty},\leq)$ 是良序集，又 $x_0$ 是 $Y_{\infty}$ 的极小元，故 $Y_{\infty}\in A$。
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考虑证明 $Y_{\infty}\in\Omega$。设任意 $x\in Y_{\infty}$ 且 $x\neq x_0$，那么存在 $Y\in\Omega$ 使得 $x\in Y$。那么 $s(\{y\in Y:y<x\})=x$，只需证明 $\{y\in Y:y<x\}=\{y\in Y_{\infty}:y<x\}$ 即可：若 $y\in Y_{\infty}$ 且 $y<x$ 但 $y\not\in Y$，设 $y\in Y'$，则 $Y\subsetneq Y'$，类似地，由于 $y\in Y'\setminus Y$ 且 $x\in Y$，有 $x<y$，矛盾。
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@ -443,11 +503,130 @@
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//这个定理的证明感觉太麻烦了，想找个简单点的，但是不太好想，姑且留给 slc 作为习题。
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- **引理 8.5.9（佐恩引理）**：设 $(X,\leq)$ 是非空偏序集，满足 $\leq$ 是定义在 $X$ 上的。若对于任意 $Y\subseteq X$ 且 $(Y,\leq)$ 是全序集，都存在上界，那么 $X$ 至少含有一个最大元。
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- **引理 8.5.9（佐恩引理）**：设 $(X,\leq)$ 是非空偏序集。若对于任意 $Y\subseteq X$ 且 $(Y,\leq)$ 是全序集，都存在 $X$ 内的上界，那么 $X$ 至少含有一个极大元。
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**证明**：任选 $x_0\in X$，根据引理 8.5.8，存在一个良序集 $Y\subseteq X$，它以 $x_0$ 为最小元，且没有严格上界。又由于 $Y$ 有上界，于是存在 $x\in Y$，使得对于任意 $y\in Y$ 都有 $y\leq x$。而若存在 $M\in X$ 使得 $x<M$，则对于任意 $y\in Y$ 都有 $y<M$，于是 $Y$ 有严格上界，矛盾。故不存在 $M\in X$ 使得 $x<M$。
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**证明**：任选 $x_0\in X$，根据引理 8.5.8，存在一个良序集 $Y\subseteq X$，它以 $x_0$ 为极小元，且没有 $X$ 内的严格上界。又由于 $Y$ 有 $X$ 内的上界，于是存在 $x\in Y$，使得对于任意 $y\in Y$ 都有 $y\leq x$。然后不存在 $M\in X$ 使得 $x<M$，否则 $M$ 是 $Y$ 的一个严格上界，矛盾。
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//听说习题做得会更吐血，先咕。
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- **引理 8.5.10**：设 $A,B$ 是两个非空集合，那么 $\operatorname{card}A\leq \operatorname{card}B$ 和 $\operatorname{card}B\leq \operatorname{card}A$ 两者中至少一者成立。
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**证明**：不妨假设 $\operatorname{card}A\not\leq \operatorname{card}B$，只需证 $\operatorname{card}B\leq \operatorname{card}A$。
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考虑集合 $F:=\left\{f\in\bigcup\limits_{S\in 2^B}A^S:f\text{是单射}\right\}$，那么 $F$ 非空，因为存在单射 $\varnothing\to A$。易证存在函数 $D:F\to 2^B$，使得 $D_f$ 表示 $f$ 的定义域。
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定义在 $F$ 上的关系 $\leq$：对于任意 $f,g\in F$，定义 $f\leq g$ 当且仅当 $D_f\subseteq D_g$ 且对于任意 $b\in D_f$ 有 $f(b)=g(b)$。
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容易证明，$(F,\leq)$ 构成一个偏序集。
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注意到一个事实：对于任意 $f\in F$ 满足 $D_f\neq B$，有 $f$ 肯定不是 $F$ 的极大元。因为 $f$ 肯定不是满射（否则 $f$ 为双射，那么 $f^{-1}$ 为 $A\to D_f$ 的单射，从而存在 $A\to B$ 的单射，矛盾），那么任取 $b\in B\setminus D_f$ 和 $a\in A\setminus f(D_f)$ 并在 $f$ 的基础上新令 $b$ 对应的函数值为 $a$ 即可得到 $D_f\cup\{b\}\to A$ 的单射 $f'$，从而 $f<f'$ 且 $f'\in F$。
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这意味着，若 $(F,\leq)$ 存在极大元，那么极大元只有可能是 $B\to A$ 的单射。于是我们只需说明 $(F,\leq)$ 存在极大元即可。
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考虑使用佐恩引理。设 $F'\subseteq F$ 且 $(F',\leq)$ 是全序集，需证明 $F'$ 存在 $F$ 内的上界。
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设 $S=\bigcup\limits_{f\in F'}D_f$。对于任意 $b\in S$，显然 $\{f\in F':b\in D_f\}$ 非空，利用选择公理从中任选一个，记为 $f_b$。然后定义函数 $g:S\to A$ 满足对于任意 $b\in S$ 有 $g(b):=f_b(b)$。可以证明 $g$ 是单射（那么 $g\in F$）且 $g$ 是 $F'$ 的上界，从而 $g$ 是 $F'$ 在 $F$ 内的上界。证毕。
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结合引理 8.5.10，延续 8.3 中的叙述，如果我们承认选择公理，那么集合关于基数比较构成 “全序关系”。
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- **命题 8.5.11**：选择公理和佐恩引理等价。
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**证明**：考虑在假设佐恩引理成立的前提下，证明命题 8.4.5 中的命题 $Q$ 成立，从而得到选择公理成立。
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设集合 $S:=\left\{Y\in 2^{\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}}:\forall_{\alpha\in I},\operatorname{card}(Y\cap X_{\alpha})=0\lor\operatorname{card}(Y\cap X_{\alpha})=1\right\}$。
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容易证明，若 $(S,\subseteq)$ 存在极大元 $Y$，那么应该对于任意 $\alpha\in I$ 有 $\operatorname{card}Y\cap X_{\alpha}=1$。从而考虑利用佐恩引理说明 $S$ 存在极大元。
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考虑任意 $T\subseteq S$ 满足 $(T,\subseteq)$ 是全序集。设 $M=\bigcup T$，显然对于任意 $Y\in T$ 有 $Y\subseteq M$，即 $M$ 是 $(T,\subseteq)$ 上界。
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而若存在 $\alpha\in I$，使得存在不同的 $a,b\in M\cap X_{\alpha}$，不妨设 $a\in Y_a,b\in Y_b$ 且 $Y_a,Y_b\in T$，不妨设 $Y_a\subseteq Y_b$，那么 $a,b\in Y_b\cap X_{\alpha}$，这与 $Y_b\in S$ 矛盾，从而有 $\operatorname{card}(Y\cap X_{\alpha})=0$ 或 $\operatorname{card}(Y\cap X_{\alpha})=1$，那么 $M\in S$。
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那么 $M$ 是 $(T,\subseteq)$ 在 $S$ 内的上界。证毕。
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- **命题 8.5.12**：豪斯多夫极大原理（任意偏序集一定存在极大全序子集）：设 $(X,\leq)$ 是偏序集，$S:=\{Y\in 2^X:(Y,\leq)\text{是全序集}\}$。那么 $(S,\subseteq)$ 存在极大元。
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那么佐恩引理和豪斯多夫极大原理等价。
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**证明**：假设佐恩引理成立：考虑任意 $T\subseteq S$ 满足 $(T,\subseteq)$ 是全序集。设 $M=\bigcup T$，显然对于任意 $Y\in T$ 有 $Y\subseteq M$，即 $M$ 是 $(T,\subseteq)$ 的上界。
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而对于任意 $a,b\in M$，不妨设 $a\in Y_a,b\in Y_b$ 且 $Y_a,Y_b\in T$，不妨设 $Y_a\subseteq Y_b$，那么 $a,b\in Y_b$，从而 必有 $a\leq b$ 或 $b\leq a$，从而 $M$ 是 $X$ 的全序子集，从而 $M\in S$，那么 $M$ 是 $(T,\subseteq)$ 在 $S$ 内的上界。根据佐恩引理，$(S,\subseteq)$ 存在极大元，从而豪斯多夫极大原理成立。
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假设豪斯多夫极大原理成立：那么存在 $Y\subseteq X$，使得 $(Y,\leq)$ 是全序集，且不存在 $Y'\subseteq X$ 满足 $(Y',\leq)$ 也是全序集且 $Y\subsetneq Y'$。
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根据佐恩引理的假设，$(Y,\leq)$ 应当存在 $X$ 内的上界 $M$。那么对于任意 $y\in Y$ 有 $y\leq M$。而且不存在 $M'\in X$ 使得 $M'>M$，否则 $Y\cup\{M\}$ 也是全序集，矛盾。那么 $M$ 是 $X$ 的极大元，从而佐恩引理成立。
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- **命题 8.5.13**：良序原理：设 $X$ 是集合，那么存在定义在 $X$ 上的关系 $\leq$ 使得 $(X,\leq)$ 是良序集。
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那么选择公理和良序原理等价。
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**证明**：假设选择公理成立（该段证明较长，但是应该无困难的阅读障碍）：设
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$$
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\Omega:=\bigcup_{Y\in 2^X}\bigg\{(Y,\leq):\ \leq\ \in \{0,1\}^{Y\times Y},(Y,\leq)\text{是良序集}\bigg\}
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$$
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这里，某个定义在 $Y$ 上的关系 $\leq$ 被看做 $Y\times Y\to \{0,1\}$ 的一个二元函数，其中 $0$ 代表假，$1$ 代表真。
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对于 $(Y,\leq),(Y',\leq')\in \Omega$，称 $(Y,\leq)$ 是 $(Y',\leq')$ 的一个前段，记作 $(Y,\leq)\prec(Y',\leq')$，当且仅当存在 $x\in Y'$ 使得 $Y=\{y\in Y':y<'x\}$（从而 $Y\subsetneq Y'$），且对于任意 $y,y'\in Y$ 有 $y\leq y'\iff y\leq' y'$。称 $(Y,\leq)\preceq(Y',\leq')$，当且仅当 $(Y,\leq)=(Y',\leq')$ 或 $(Y,\leq)\prec(Y',\leq')$。可以证明 $(\Omega,\preceq)$ 是偏序集。
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可以证明若 $(Y,\leq)$ 是 $(\Omega,\preceq)$ 的极大元，那么必有 $Y=X$：否则往 $Y$ 中添加一个元素 $y'\in X\setminus Y$ 得到 $Y'$，并在 $\leq$ 基础上令任意 $y\in Y$ 都满足 $y\leq y'$ 得到 $\leq'$，然后可以证明 $(Y',\leq')$ 是良序集且 $(Y,\leq)\prec(Y',\leq')$。
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考虑对于任意 $S\subseteq\Omega$ 且 $(S,\preceq)$ 是全序集，证明 $S$ 有在 $\Omega$ 内的上界。
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设 $U:=\bigcup\limits_{(Y,\leq)\in S}Y$。考虑定义在 $U$ 上的关系 $\leq_U$。再说明 $(U,\leq_U)$ 是 $S$ 在 $\Omega$ 内的上界。
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对于 $y_1,y_2\in U$ 和 $(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2)\in S$ 满足 $y_1\in Y_1,y_2\in Y_2$。若 $Y_1\preceq Y_2$，那么定义命题 $P(y_1,y_2,(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2))$ 表示 $y_1\leq_2 y_2$；否则若 $Y_2\prec Y_1$，定义命题 $P(y_1,y_2,(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2))$ 表示 $y_1\leq_1y_2$。
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我们断言，对于任意 $(Y_1,\leq_1),(Y_1',\leq_1'),(Y_2,\leq_2),(Y_2',\leq_2')\in S$ 满足 $y_1\in Y_1\cap Y_1',y_2 \in Y_2\cap Y_2'$，有 $P(y_1,y_2,(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2))\iff P(y_1,y_2,(Y_1',\leq_1'),(Y_2',\leq_2'))$。这可以通过对 $(Y_1,\leq_1),(Y_1',\leq_1'),(Y_2,\leq_2),(Y_2',\leq_2')$ 四者关于 $\preceq$ 的大小顺序讨论来证明。
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对于任意 $y_1,y_2\in U$，我们定义 $y_1\leq_U y_2$，当且仅当对于任意 $(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2)\in S$ 满足 $y_1\in Y_1,y_2\in Y_2$ 都有 $P(y_1,y_2,(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2))$ 成立。
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于是，这等价于存在 $(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2)\in S$ 满足 $y_1\in Y_1,y_2\in Y_2$ 使得 $P(y_1,y_2,(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2))$ 成立（即 $y_1\leq_U y_2$ 不依赖于 $(Y_1,\leq_1),(Y_2,\leq_2)$ 的具体取值）。说明了这一点后，容易证明 $(U,\leq_U)$ 是全序集。
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现证明任意非空 $V\subseteq U$，$(V,\leq_U)$ 有极小元。任取 $y\in V$，那么存在 $(Y,\leq)\in S$ 使得 $y\in Y$。那么 $V\cap Y$ 非空且 $V\cap Y\subseteq Y$，那么 $(V\cap Y,\leq)$ 应有极小元 $y_{\min}$。
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对于任意 $y'\in V$，存在 $(Y',\leq')\in S$ 使得 $y'\in Y'$：若 $y'\in Y$，那么 $y'\in Y\cap V$，从而 $y_{\min}\leq y'$，那么 $y_{\min}\leq_U y'$；若 $y'\not\in Y$，那么应有 $Y\prec Y'$，那么应存在 $x\in Y'$ 使得 $Y=\{y<'x:y\in Y'\}$，那么应有 $y_{\min}<'x\leq' y'$， 从而 $y_{\min}\leq' y'$，那么 $y_{\min}\leq_U y'$。于是，$y_{\min}$ 是 $V$ 极小元。
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那么 $(U,\leq_U)$ 是良序集，且 $(U,\leq_U)\in \Omega$。
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对于任意 $(Y,\leq)\in S$，应有 $Y\subseteq U$。若 $Y=U$，则易知 $(Y,\leq)=(U,\leq_U)$；若 $Y\subsetneq U$，那么存在 $y'\in U\setminus Y$，存在 $(Y',\leq')\in S$ 使得 $y'\in Y'$，那么应有 $(Y,\leq)\prec(Y',\leq')$，那么应存在 $x\in Y'$ 使得 $Y=\{y<'x:y\in Y'\}$。
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现证明 $\{y<'x:y\in Y'\}=\{y<_Ux:y\in U\}$：显然任意左集元素属于右集，而对于任意右集元素 $y$，只需证明 $y\in Y'$ 即可。若 $y\not\in Y'$，存在 $(Y'',\leq'')\in S$ 使得 $y\in Y''$，那么应有 $Y'\prec Y''$，那么应存在 $x'\in Y''$ 使得 $Y'=\{z<''x':z\in Y''\}$，那么应有 $x<''x'$，而 $y<_Ux\implies y<''x$，从而 $y<''x'\implies y\in Y'$，矛盾。
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那么我们证明了 $Y=\{y<'x:y\in Y'\}=\{y<_Ux:y\in U\}$，那么 $(Y,\leq)\prec (U,\leq_U)$。
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从而 $(U,\leq_U)$ 是 $(S,\preceq)$ 在 $\Omega$ 内的上界。根据佐恩引理，$(\Omega,\preceq)$ 存在极大元，那么存在良序集 $(X,\leq)$。从而良序原理成立。
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假设良序原理成立：存在定义在 $\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha}$ 的关系 $\leq$ 使得 $(\bigcup_{\alpha\in I}X_{\alpha},\leq)$ 是良序集。那么定义函数 $x_{\alpha}:=\min(X_{\alpha})$ 即可，其中 $\min(X_{\alpha})$ 表示 $(X_\alpha,\leq)$ 的最小元。
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- **命题 8.5.14**：设命题 $Q$ 为：设 $\Omega$ 是一个不包含空集的集族。那么存在 $\Omega'\subseteq\Omega$，使得对于任意 $A,B\in \Omega'$ 有 $A\cap B=\varnothing$，且对于任意 $A\in\Omega$ 都存在 $C\in\Omega'$ 使得 $A\cap C\neq\varnothing$。
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那么选择公理和命题 $Q$ 等价。
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**证明**：假设选择公理成立：设 $U:=\{S\in 2^\Omega:\forall_{A,B\in S},A\cap B=\varnothing\}$。
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假设 $S$ 是偏序集 $(U,\subseteq)$ 的极大元，那么应对于任意 $A\in\Omega$ 都存在 $C\in S$ 使得 $A\cap C\neq \varnothing$，否则可以将 $A$ 加入 $S$ 内得到更大的 $S'$。
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设 $V\subseteq U$ 满足 $(V,\subseteq)$ 是全序集。设 $K:=\bigcup V$，那么 $K$ 是 $(V,\subseteq)$ 的上界。
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对于任意 $A,B\in K$，存在 $S,T\in V$ 使得 $A\in S,B\in T$，不妨设 $S\subseteq T$，那么 $A,B\in T$，从而 $A\cap B=\varnothing$。那么 $K\in U$。
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于是 $K$ 是 $(V,\subseteq)$ 在 $U$ 内的上界。根据佐恩引理，$(U,\subseteq)$ 存在极大元。证毕。
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假设命题 $Q$ 成立，考虑证明命题 8.4.5 中所述的命题 $Q$（为了避免混淆记为命题 $R$）成立：设 $\Omega:=\bigcup\limits_{\alpha\in I}\bigg\{\big\{\big(0,\alpha),(1,x)\big\}:x\in X_{\alpha}\bigg\}$。
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那么存在 $\Omega'\subseteq \Omega$，使得对于任意 $A,B\in\Omega'$ 有 $A\cap B=\varnothing$，且对于任意 $A\in\Omega$ 都存在 $C\in\Omega'$ 使得 $A\cap C\neq\varnothing$。
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令 $Y:=\{x:\{(0,\alpha),(1,x)\}\in \Omega'\}$，可以证明该 $Y$ 合法。
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结合我们所证明的命题，我们看到如下命题均为等价的：
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1. 选择公理
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1. 命题 8.4.4 中所述的命题 $Q$
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1. 命题 8.4.5 中所述的命题 $Q$
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1. 命题 8.4.6 中所述的命题 $Q$
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1. 佐恩引理
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1. 豪斯多夫极大原理
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1. 良序原理
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1. 命题 8.5.14 中所述的命题 $Q$
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当然，这也意味着如果我们承认选择公理，我们将得到上述这些实用的推论。
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