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     设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，只需证明存在 $N_0\geqslant 0$ 使得对于任意 $N\geqslant N_0$ 有 $\sum\limits_{n=0}^{N}\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)\geqslant L-\varepsilon$。
 
-     存在 $K\geqslant 0$ 使得 $\sum\limits_{k=0}^Kf(g(k))\geqslant  L-\varepsilon$。可以归纳证明，存在 $N_0,M_0$ 使得 $g(\mathbb N_{..K})\subseteq \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}$。那么对于任意 $N\geqslant N_0$，有：
-    $$
-    \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)\geqslant \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)\geqslant \sum\limits_{n=0}^{N_0}\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)=\sum\limits_{p\in \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}}f(p)\geqslant \sum\limits_{p\in g(\mathbb N_{..K})}f(p)=\sum\limits_{k\in\mathbb N_{..K}}f(g(k))\geqslant L-\varepsilon
-    $$
+     存在 $K\geqslant 0$ 使得 $\sum\limits_{k=0}^Kf(g(k))\geqslant  L-\varepsilon$。可以归纳证明，存在 $N_0,M_0$ 使得 $g(\mathbb N_{..K})\subseteq \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}$。那么对于任意 $N\geqslant N_0$，有
+    
+    $$\begin{aligned}\sum\limits_{n=0}^N\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)&\geqslant \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)\\&\geqslant \sum\limits_{n=0}^{N_0}\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)=\sum\limits_{p\in \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}}f(p)\\&\geqslant \sum\limits_{p\in g(\mathbb N_{..K})}f(p)=\sum\limits_{k\in\mathbb N_{..K}}f(g(k))\geqslant L-\varepsilon\end{aligned}$$
+    
     证毕。
 
     第二部分：当 $f(n,m)$ 可以为负时。