From f2df980129bdd0c069fdf818ace1d3262928072e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E6=96=B9=E8=80=8C=E9=9D=99?= Date: Thu, 8 Sep 2022 08:36:38 +0000 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E5=A4=8D=E7=AC=AC8=E7=AB=A0=E5=A4=9A?= =?UTF-8?q?=E8=A1=8C=E5=85=AC=E5=BC=8F=E8=BF=87=E9=95=BF=E7=9A=84=E9=97=AE?= =?UTF-8?q?=E9=A2=98?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 修复第8章多行公式过长的问题，添加了换行，并对齐了大于等于号 Signed-off-by: 方而静 --- src/第8章 无限集合.md | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/第8章 无限集合.md b/src/第8章 无限集合.md index 1042802..028723c 100644 --- a/src/第8章 无限集合.md +++ b/src/第8章 无限集合.md @@ -112,10 +112,10 @@ 设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，只需证明存在 $N_0\geqslant 0$ 使得对于任意 $N\geqslant N_0$ 有 $\sum\limits_{n=0}^{N}\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)\geqslant L-\varepsilon$。 - 存在 $K\geqslant 0$ 使得 $\sum\limits_{k=0}^Kf(g(k))\geqslant L-\varepsilon$。可以归纳证明，存在 $N_0,M_0$ 使得 $g(\mathbb N_{..K})\subseteq \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}$。那么对于任意 $N\geqslant N_0$，有： - $$ - \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)\geqslant \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)\geqslant \sum\limits_{n=0}^{N_0}\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)=\sum\limits_{p\in \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}}f(p)\geqslant \sum\limits_{p\in g(\mathbb N_{..K})}f(p)=\sum\limits_{k\in\mathbb N_{..K}}f(g(k))\geqslant L-\varepsilon - $$ + 存在 $K\geqslant 0$ 使得 $\sum\limits_{k=0}^Kf(g(k))\geqslant L-\varepsilon$。可以归纳证明，存在 $N_0,M_0$ 使得 $g(\mathbb N_{..K})\subseteq \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}$。那么对于任意 $N\geqslant N_0$，有 + + $$\begin{aligned}\sum\limits_{n=0}^N\sum\limits^{\infty}_{m=0}f(n,m)&\geqslant \sum\limits_{n=0}^N\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)\\&\geqslant \sum\limits_{n=0}^{N_0}\sum\limits_{m=0}^{M_0}f(n,m)=\sum\limits_{p\in \mathbb N_{..N_0}\times \mathbb N_{..M_0}}f(p)\\&\geqslant \sum\limits_{p\in g(\mathbb N_{..K})}f(p)=\sum\limits_{k\in\mathbb N_{..K}}f(g(k))\geqslant L-\varepsilon\end{aligned}$$ + 证毕。 第二部分：当 $f(n,m)$ 可以为负时。