From 6093b28560ab5e3260af4cf7ee043d724d1adc35 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E6=96=B9=E8=80=8C=E9=9D=99?= Date: Wed, 7 Sep 2022 11:43:15 +0000 Subject: [PATCH 1/3] =?UTF-8?q?=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E5=85=B3=E4=BA=8E?= =?UTF-8?q?=E6=9C=89=E9=99=90=E9=9B=86=E5=90=88=E7=9A=84=E6=9C=80=E5=A4=A7?= =?UTF-8?q?=E5=85=83=E5=92=8C=E6=9C=80=E5=B0=8F=E5=85=83=E7=9A=84=E5=AD=98?= =?UTF-8?q?=E5=9C=A8=E6=80=A7=E7=9A=84=E5=91=BD=E9=A2=98?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 作为对有限集使用类似归纳的方法的一个例子，在第3章的结尾自然的增加关于有限集合的最大元和最小元的存在性的命题 3.6.9，这将方便良序原理的证明。 Signed-off-by: 方而静 --- src/第3章 集合论.md | 16 +++++++++++++++- 1 file changed, 15 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/src/第3章 集合论.md b/src/第3章 集合论.md index 718ec76..e33a4eb 100644 --- a/src/第3章 集合论.md +++ b/src/第3章 集合论.md @@ -430,6 +430,20 @@ 容易证明 $h$ 是个双射，证毕。 -经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。 +经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。这使得我们可以很容易地论证有限集合中有一个最大的数和最小的数。 + +- **命题3.6.9（有限集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。 + + **证明**：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 $x$ 的命题 $p(x)$ 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x+1}$，有 $\min S$ 存在。 + + 对于任意一个单元素集 $\{a\}\subset\mathbb N$，$a$ 显然是 $\{a\}$ 的最小元，且 $\operatorname{card}\{a\}=1$，故 $p(0)$ 为真。 + + 假设 $p(n)$ 为真，考虑任意一个集合 $S\subset\mathbb N$，满足 $\operatorname{card}S=n+2$，由于 $S$ 为非空集合，故可以找到一个元素 $a\in S$。由于 $p(n)$ 为真，故 $S\setminus\{a\}$ 存在最小元，记作 $b$。若 $a>b$ 则根据定义 $b$ 为 $S$ 的最小元。若 $a Date: Wed, 7 Sep 2022 11:57:00 +0000 Subject: [PATCH 2/3] =?UTF-8?q?=E7=BB=99=E5=87=BA=E8=89=AF=E5=BA=8F?= =?UTF-8?q?=E5=8E=9F=E7=90=86=E7=9A=84=E4=B8=80=E4=B8=AA=E6=9B=B4=E7=AE=80?= =?UTF-8?q?=E5=8D=95=E7=9A=84=E8=AF=81=E6=98=8E?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 通过有限集合最小元的存在性，给出良序原理的一个更简单的证明。 Signed-off-by: 方而静 --- src/第8章 无限集合.md | 12 +++--------- 1 file changed, 3 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/src/第8章 无限集合.md b/src/第8章 无限集合.md index a3ba102..1042802 100644 --- a/src/第8章 无限集合.md +++ b/src/第8章 无限集合.md @@ -6,17 +6,11 @@ 可数集意味着存在一种方式可以给集合中的所有元素编号，这使得我们可以将集合中的所有元素用无限序列的形式表示出来，并施加归纳法。 -- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $X\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in X$，使得对于任意 $m\in X$ 有 $n\leqslant m$。且 $n=\inf(X)$。 +- **命题 8.1.2（良序原理）**：设非空集合 $S\subseteq \mathbb N$。那么恰存在一个元素 $n\in S$，使得对于任意 $m\in S$ 有 $n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记为 $\min(S)$。 - 称 $n$ 为集合 $X$ 的最小元，记为 $\min(X)$。 + **证明**：（同一法）首先证明存在性，由于 $S$ 不为空集，存在一个自然数 $m\in S$。考虑集合 $S':=\left\{x\in S:x\leqslant m\right\}$ 显然为非空有限集，根据 3.6.9，$S'$ 存在最小元，记作 $a$，根据定义有 $a\leqslant m$。对于任意 $x\in S$，若 $x\in S'$，则必有 $a\leqslant x$，若 $a\not\in S'$，则必有 $x\geqslant m\geqslant a$。故 $a$ 为集合 $S$ 的最小元。 - **证明**：唯一性：若 $n,n'$ 都是集合 $X$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。 - - 存在性：设 $n=\inf(X)$，只需证明 $n\in X$ 即可。反证，若 $n\not\in X$： - - 首先 $X$ 非空且有下界 $0$，故 $n$ 非 $-\infty,+\infty$ 且为非负实数。根据命题 5.4.10，存在唯一的整数 $A$ 满足 $A\leqslant nn$，那么 $x\geqslant A+1$。于是 $A+1$ 也是 $X$ 的下界，矛盾。 + 然后证明唯一性。（反证法）若 $n,n'$ 都是集合 $S$ 的最小元，那么 $n\leqslant n'$ 和 $n'\leqslant n$ 同时成立，得到 $n=n'$。 - **命题 8.1.3**：设无限集 $X\subseteq \mathbb N$，那么存在唯一一个双射 $f:\mathbb N\to X$，满足对于任意 $n\in\mathbb N$，$f(n)< f(n+1)$。 -- 2.47.2 From f2cde78b37c8b2e72ec6326081e068959959293a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E6=96=B9=E8=80=8C=E9=9D=99?= Date: Wed, 7 Sep 2022 13:39:35 +0000 Subject: [PATCH 3/3] =?UTF-8?q?=E6=94=B9=E4=B8=BA=E4=BB=8E1=E5=BC=80?= =?UTF-8?q?=E5=A7=8B=E5=BD=92=E7=BA=B3?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit 改为从1开始归纳，更加自然 Signed-off-by: 方而静 --- src/第3章 集合论.md | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/src/第3章 集合论.md b/src/第3章 集合论.md index e33a4eb..2290a8b 100644 --- a/src/第3章 集合论.md +++ b/src/第3章 集合论.md @@ -432,13 +432,13 @@ 经过上述性质的证明，我们看到，通过基数和单个选取引理，我们已经能对有限集使用类似归纳的方法了。这使得我们可以很容易地论证有限集合中有一个最大的数和最小的数。 -- **命题3.6.9（有限集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。 +- **命题 3.6.9（有限集的最小元和最大元）**：设 $S\subset\mathbb N$ 为非空有限集，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\leqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最小元，记作 $\min S$。对称地，恰好存在一个自然数 $n\in\mathbb S$，使得 $\forall_{m\in S}n\geqslant m$，称 $n$ 为集合 $S$ 的最大元，记作 $\max S$。 - **证明**：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 $x$ 的命题 $p(x)$ 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x+1}$，有 $\min S$ 存在。 + **证明**：这里只给出最小元的证明，最大元同理。（同一法）首先证明最小元存在性。（数学归纳法）设关于 $x$ 的命题 $p(x)$ 为真当且仅当 $\forall_{S\subset\mathbb N,\operatorname{card}S=x}$，有 $\min S$ 存在。 - 对于任意一个单元素集 $\{a\}\subset\mathbb N$，$a$ 显然是 $\{a\}$ 的最小元，且 $\operatorname{card}\{a\}=1$，故 $p(0)$ 为真。 + 对于任意一个单元素集 $\{a\}\subset\mathbb N$，$a$ 显然是 $\{a\}$ 的最小元，且 $\operatorname{card}\{a\}=1$，故 $p(1)$ 为真。 - 假设 $p(n)$ 为真，考虑任意一个集合 $S\subset\mathbb N$，满足 $\operatorname{card}S=n+2$，由于 $S$ 为非空集合，故可以找到一个元素 $a\in S$。由于 $p(n)$ 为真，故 $S\setminus\{a\}$ 存在最小元，记作 $b$。若 $a>b$ 则根据定义 $b$ 为 $S$ 的最小元。若 $ab$ 则根据定义 $b$ 为 $S$ 的最小元。若 $a