$\newcommand{\d}{\text d}$

## 11.1 划分

- **定义 11.1.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 $X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。

在 13.4 中将定义更一般的连通性的概念，它适用于任意度量空间。

- **引理 11.1.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，那么 $X$ 是有界且连通的，当且仅当 $X$ 是有界区间。

  **证明**：从上确界和下确界的角度构造。

- **引理 11.1.3**：设 $I,J$ 是有界区间，那么 $I\cap J$ 也是有界区间。

  **证明**：最简洁的方式是从连通的角度考虑。

- **定义 11.1.4（区间的长度）**：设 $I$ 是有界区间。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=b-a$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=0$。

- **定义 11.1.5（划分）**：设 $I$ 是有界区间。称一个由区间构成的有限集 $P$ 是 $I$ 的一个划分，当且仅当 $P$ 中的区间都是 $I$ 的子集，且任意 $I$ 中的元素都恰属于 $P$ 中的一个区间。

- **定理 11.1.6**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的一个划分。那么 $|I|=\sum_{J\in P}|J|$。
  
  **证明**：对 $\operatorname{card} P$ 归纳。
  
- **定义 11.1.7（加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。称 $P'$ 比 $P$ 更细（或称 $P'$ 是 $P$ 的加细，或称 $P$ 比 $P'$ 更粗），当且仅当对于任意 $J'\in P'$ 都存在 $J\in P$ 使得 $J'\subseteq J$。

- **定义 11.1.8（公共加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。定义 $P$ 和 $P'$ 的公共加细为 $P\# P':=\{J\cap J':J\in P,J'\in P'\}$。

- **引理 11.1.9**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。那么 $P\# P'$ 也是 $I$ 的划分，且同时是 $P$ 和 $P'$ 的加细。

## 11.2 逐段常值函数

- **定义 11.2.1（常值函数）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是常值的，当且仅当存在 $c\in\mathbb R$ 使得对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)=c$。此时称 $c$ 是 $f$ 的常数值。

  设 $E\subseteq X$，称 $f$ 在 $E$ 上是常值的，当且仅当 $f|_E$ 是常值函数。

当 $X$ 非空时，$f$ 的常数值唯一。

- **定义 11.2.2（逐段常值函数）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是函数。

  设 $P$ 是 $I$ 的划分。称 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，当且仅当对于任意 $J\in P$，$f$ 在 $J$ 上是常值的。

  称 $f$ 是逐段常值的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。

- **引理 11.2.3**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$P'$ 是 $P$ 的加细，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。那么 $f$ 也是关于 $P'$ 逐段常值的。

- **引理 11.2.4**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是逐段常值函数，$c\in\mathbb R$。那么 $f+g,f-g,cd,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都是逐段常值函数。且若对于任意 $x\in I$ 有 $g(x)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也是逐段常值函数。

- **定义 11.2.5（逐段常值积分 1）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。定义 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分为：
  $$
  \textit{p.c.}\int_{[P]}f:=\sum_{J\in P}c_J|J|
  $$
  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。

- **定义 11.2.6（逐段常值积分 2）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义 $f$ 的逐段常值积分 $\textit{p.c.}\int_If$ 为 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分。

  **证明**：我们需要证明，对于 $I$ 的不同划分 $P,P'$ 满足 $f$ 关于 $P$ 和关于 $P'$ 都是逐段常值的，有 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分和 $f$ 关于 $P'$ 的逐段常值积分相同。先证明 $P'$ 是 $P$ 的加细时的情况，再利用公共加细即可。

  当 $P'$ 为 $P$ 的加细时，考虑由 $S(J):=\{J'\in P':J'\subseteq J\}$ 定义的函数 $S:P\to 2^{P'}$，证明好 $S$ 的性质即可。

逐段常值积分很直观地对应于面积的概念，所以可以较容易地证明下述命题。

- **定理 11.2.7**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。

  1. $\textit{p.c.}\int_I(f+g)=\textit{p.c.}\int_If+\textit{p.c.}\int_Ig$。
  2. $\textit{p.c.}\int_I(f-g)=\textit{p.c.}\int_If-\textit{p.c.}\int_Ig$。
  3. 设 $c$ 是实数，则 $\textit{p.c.}\int_I(cf)=c(\textit{p.c.}\int_If)$。
  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq \textit{p.c.}\int_Ig$。
  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。
  7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。

## 11.3 上黎曼积分和下黎曼积分

- **定义 11.3.1**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f:X\to R$ 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\geq f(x)$。

- **定义 11.3.2（上黎曼积分和下黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，定义 $f$ 的上黎曼积分为：
  $$
  \overline\int_If:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  $$
  类似地定义 $f$ 的下黎曼积分 $\underline\int_If$。

- **引理 11.3.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$M$ 是它的界，那么：
  $$
  -M|I|\leq \underline\int_If\leq \overline\int_If\leq M|I|
  $$
  **证明**：为证 $\overline\int_If\leq M|I|$，构造由 $g(x):=M$ 定义的函数 $g:I\to\mathbb R$，显然它是关于 $\{I\}$ 逐段常值的且 $\textit{p.c.}\int_Ig=M|I|$，而 $g\geq f$。

  为证 $\underline\int_If\leq \overline\int_If$，即 $\sup A\leq \inf B$ 的形式，证明任意 $A$ 中元素小于等于任意 $B$ 中元素即可（显然 $A,B$ 都是非空的）。

- **定义 11.3.4（黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。

  若 $\underline\int_If=\overline\int_If$，我们就称 $f$ 黎曼可积，并定义 $\int_If:=\underline\int_If=\overline\int_If$。

  否则称 $f$ 不是黎曼可积的。

  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I$ 简记作 $\int_If$。

当 $f$ 是一个表达式的形式时，例如 $xy$，为了明确 $f$ 是函数 $f(x):=xy$，会写成 $\int_If\text dx$。

黎曼积分的概念对应于 “最佳的面积拟合”，其中拟合手法是通过不断细分划分时的上下逐段常值函数的逼近。

- **引理 11.3.5（逐段常值积分相容于黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的逐段常值函数，那么 $f$ 有黎曼可积的，且 $\int_If=\textit{p.c.}\int_If$。

- **定义 11.3.6（黎曼和）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$P$ 是 $I$ 的划分。定义上黎曼和：
  $$
  U(f,P):=\sum_{J\in P:J\neq \varnothing}\left(\sup_{x\in J}f(x)\right)|J|
  $$
  类似地定义下黎曼和 $L(f,P)$。

- **引理 11.3.7**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$g:I\to\mathbb R$ 是关于某划分 $P$ 逐段常值的函数且满足 $g\geq f$，那么：
  $$
  \textit{p.c.}\int_Ig\geq U(f,P)
  $$
  关于下黎曼和也有类似的结论。

- **命题 11.3.8**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，那么：
  $$
  \overline\int_If=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}
  $$
  对于下黎曼积分也有类似地结论。

  **证明**：设 $A=\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}$，$B=\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 $b\in B$ 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 $a\in A$ 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。

若函数黎曼可积，那么总能找到 $P$，使得 $U(f,P)-L(f,P)$ 是任意小的。

- **命题 11.3.9**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，那么对任意 $\varepsilon>0$，存在 $I$ 的划分 $P$，使得 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

  **证明**：存在 $I$ 的划分 $P,Q$ 使得 $U(f,P)-L(f,Q)<\varepsilon$，那么 $U(f,P\# Q)-L(f,P\# Q)<\varepsilon$。

- **命题 11.3.10**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的函数，$S\in\mathbb R$，那么下列命题等价：

  1. $f$ 在 $I$ 上有界且黎曼可积，且 $\int_If=S$。
  2. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $I$ 的划分 $P$ 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，以及 $\xi:P\to\mathbb R$ 满足 $\xi_J\in J$（从而 $J$ 非空），都有 $\big|\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|-S\big|<\varepsilon$。

  **证明**：2->1：若 $f$ 在 $I$ 上无界。存在 $\delta>0$，使得对任意 $I$ 的划分 $P$ 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，以及 $\xi:P\to\mathbb R$ 满足 $\xi_J\in J$，都有 $\big|\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|-S\big|<1$。那么先任意找一个 $I$ 的划分 $P$ 满足 $\max_{J\in P}|J|\leq\delta$，可证 $f$ 必定在某个 $J\in P$ 上无界，从而可以将 $\big|f(\xi_J)|J|\big|$ 无限放大，而 $\sum_{J'\in P,J\neq J'}f(\xi_{J'})|J'|$ 固定为常数。从而 $\sum_{J'\in P}f(\xi_{J'})|J'|$ 可以是无界的，矛盾。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么存在 $I$ 的划分 $P$ 以及 $\xi:P\to\mathbb R$ 满足 $\xi(J)\in J$，满足 $f(\xi_J)>\sup_{x\in J} f(x)-\varepsilon$，以及 $\sum_{J\in P}f(\xi_J)|J|<S+\varepsilon$，从而：
  
  $$
  U(f,P)=\sum_{J\in P}\big(\sup_{x\in J} f(x)\big)|J|<\sum_{J\in P}(f(\xi_J)+\varepsilon)|J|<S+\varepsilon+|I|\varepsilon
  $$
  
  另一侧同理，那么易证 $f$ 在 $I$ 上黎曼可积且 $\int_I f=S$。

  1->2：设 $f$ 有界 $M>0$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。根据命题 11.3.9，存在 $I$ 的划分 $P$，使得 $S-\varepsilon<L(f,P)\leq S\leq U(f,P)<S+\varepsilon$。

  设 $\delta>0$。设 $I$ 的划分 $Q$ 满足 $\max_{K\in Q}|K|\leq\delta$，以及 $\xi:Q\to\mathbb R$ 满足 $\xi_{K}\in K$。一方面，对任意 $J\in P$，满足 $K\cap J\neq\varnothing$ 且 $K\not\subseteq J$ 的 $K\in Q$ 至多有两个；一方面，任意 $K\in Q$ 必然和某个 $J\in P$ 有非空的交。设 $Q'=\{K\in Q:\text{不存在 }J\in P\text{ 使得 }K\subseteq J\}$，那么 $\operatorname{card}Q'\leq 2\operatorname{card} P$。

  存在 $\Phi:Q\setminus Q'\to P$ 使得 $K\subseteq \Phi(K)$ 对任意 $K\in Q\setminus Q'$ 成立。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \sum_{K\in Q}f(\xi_K)|K|=\sum_{K\in Q'}f(\xi_K)|K|+\sum_{K\in Q\setminus Q'}f(\xi_K)|K|<\sum_{K\in Q'
  }M\delta+\sum_{K\in Q\setminus Q'}\sup_{x\in \Phi(K)}f(x)|K|\\
  \leq2\delta\operatorname{card} P+\sum_{J\in  P}\sup_{x\in J}f(x)\sum_{K\in Q\setminus Q'}|K|\leq 2\delta\operatorname{card} P+\sum_{J\in  P}\sup_{x\in J}f(x)|J|<2\delta\operatorname{card P}+S+\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  另一侧同理，那么易得 2。

## 11.4 黎曼积分的基本性质

- **定理 11.4.1（黎曼积分算律）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。
  
  1. 函数 $f+g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f+g)=\int_If+\int_Ig$。
  2. 函数 $f-g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f-g)=\int_If-\int_Ig$。
  3. 设 $c$ 是实数，那么函数 $cf$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(cf)=c(\int_If)$。
  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，那么 $\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，那么 $\int_If\geq \int_Ig$。
  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是黎曼可积的，且 $\int_JF=\int_If$。
    7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是黎曼可积的，且 $\int_If=\int_Jf+\int_Kf$。
  
  **证明**：证明都是类似的，这里只证 1。
  
  设 $A:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f+g\right\}$，$B:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f\right\}$，$C:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq g\right\}$。根据定理 11.2.7 可知，对于任意 $b\in B$ 和 $c\in C$，$b+c\in A$，那么可知 $\inf A\leq \inf B+\inf C$，即 $\overline\int_I(f+g)\leq \overline\int_If+\overline\int_Ig=\int_If+\int_Ig$。同理可得 $\underline\int_I(f+g)\geq \int_If+\int_Ig$。再结合 $\underline\int_I(f+g)\leq \overline\int_I(f+g)$ 即证。
  
- **定理 11.4.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $\max(f,g)$ 和 $\min(f,g)$ 都是黎曼可积的。

  **证明**：只证 $\max(f,g)$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $\underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$，同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。我们知道 $\max(\underline f,\underline g)$ 仍是逐段常值函数且 $\max(\underline f,\underline g)\leq \max(f,g)$，从而 $\int_I\max(\underline f,\underline g)\leq \underline\int_I\max(f,g)$，对于 $\max(\overline f,\overline g)$ 同理。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_I\max(f,g)-\underline\int_I\max(f,g)&\leq \int_I\max(\overline f,\overline g)-\int_I\max(\underline f,\underline g)\\
  &=\int_I\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\\
  &\leq \int_I(\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)\\
  &=\int_I\overline f-\int_I\underline f+\int_I\overline g-\int_I\underline g\\
  &\leq 4\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_I \max(f,g)=\overline\int_I\max(f,g)$。

定理 11.4.2 的证明关键是，证明 $\max(f,g)$ 仍然是夹在 $\max(\underline f,\underline g),\max(\overline f,\overline g)$ 之间的，而 $\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\leq \max(\overline f-\underline f,\overline g-\underline g)\leq (\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)$。

- **推论 11.4.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，那么正部 $f_+:=\max(f,0)$ 和负部 $f_-:=\min(f,0)$ 是黎曼可积的，绝对值 $|f|:=f_+-f_-$ 也是黎曼可积的。

- **定理 11.4.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $fg$ 是黎曼可积的。

  **证明**：先考虑 $f,g\geq 0$ 的情况。由于 $f,g$ 黎曼可积，那么 $f,g$ 有界，不妨设界为 $M$。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $0\leq \underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$（先在无 $0\leq \underline f'$ 要求的情况下取出 $\underline f'$，再取 $\underline f:=\max(0,\underline f')$），同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。那么 $\underline f\underline g$ 仍是逐段常值函数且 $\underline f\underline g\leq fg$，从而 $\int_I\underline f\underline g\leq \underline\int_I fg$，对于 $\overline f\overline g$ 同理。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_Ifg-\underline\int_Ifg&\leq \int_I\overline f\overline g-\int_I\underline f\underline g\\
  &=\int_I\overline f(\overline g-\underline g)+\int_I\underline g(\overline f-\underline f)\\
  &\leq \int_IM(\overline g-\underline g)+\int_IM(\overline f-\underline f)\\
  &=M\int_I(\overline g-\underline g)+M\int_I(\overline f-\underline f)\\
  &\leq 4M\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_Ifg=\overline\int_I fg$。

  对于更一般的情况，将 $fg$ 拆成 $(f_+-f_-)(g_+-g_-)=f_+g_+-f_-g_+-f_+g_-+f_-g_-$，根据推论 11.4.3 可知 $f_+,f_-,g_+,g_-$ 都是黎曼可积的，然后就是 $f,g\geq0$ 的情况了。

- **引理 11.4.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，$P$ 是 $I$ 的分法，那么 $\int_If=\sum_{J\in P}\int_J f$。

  **证明**：结合定理 11.4.1.7，对 $\operatorname{card}P$ 归纳。

## 11.5 连续函数的黎曼可积性

- **定理 11.5.1**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的一致连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=[a,b)$ 的情况，其他情况类似。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in [a,b)$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。

  存在正整数 $N>0$，使得 $N\geq \frac{b-a}{\delta}$，那么容易得到 $[a,b)$ 的一个大小为 $N$ 的划分 $P$，其中每个区间的长度都等于 $\frac{b-a}{N}\leq \delta$。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq U(f,P)-L(f,P)\\
  &=\sum_{J\in P}\left(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)\right)\frac{b-a}{N}\\
  &\leq \sum_{J\in P}\varepsilon \frac{b-a}{N}\\
  &=\varepsilon(b-a)
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

$f$ 一致连续意味着，只要划分的每段长度都足够小，就能使得每段的极差在 $\varepsilon$ 以内，从而总面积的差在 $\varepsilon|I|$ 以内。

- **引理 11.5.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $I$ 上的连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：结合定理 9.9.6 和定理 11.5.1 可得。

- **命题 11.5.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=(a,b)$ 的情况，其他情况类似。

  设 $M$ 是 $f$ 的界，$\delta$ 是 $(0,\frac{b-a}{2})$ 中的任意实数，那么 $a+\delta<b-\delta$。那么根据引理 11.5.2，$f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 $\underline g$ 使得 $\underline g\leq f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 且 $\int_{[a+\delta,b-\delta]}f-\delta\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline g\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}f$，同理存在 $\overline g$。

  由 $\underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\delta,b-\delta]\\-M&x\not\in [a+\delta,b-\delta]\end{cases}$ 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 $\underline f\leq f$ 且 $\underline f$ 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq \int_I\overline f-\int_I\underline f\\
  &=\left(\int_{(a,a+\delta)}\overline f-\int_{(a,a+\delta)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\delta,b-\delta]}\overline f-\int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\delta,b)}\overline f-\int_{(b-\delta,b)}\underline f\right)\\
  &<4M\delta+2\delta
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

命题 11.5.3 表明，对于 $f(x):=\sin\frac{1}{x}$ 这样的函数 $f:(0,1]\to\mathbb R$，即使对于任意划分 $P$，$f$ 在 $P$ 上的任意上逐段常值函数在最左侧一段的函数值至少为 $1$、$f$ 在 $P$ 上的任意下逐段常值函数在最左侧一段的函数值至多为 $-1$，仍然能通过人为控制这一段的长度缩小，使得这一段对应的面积差缩小。而对于剩下的部分，上下黎曼积分的差是趋于 $0$ 的。

- **定义 11.5.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的函数。称 $f$ 是逐段连续的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$，使得对于任意 $J\in P$ 有 $f|_J$ 是连续的。
- **命题 11.5.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界逐段连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

## 11.6 单调函数的黎曼可积性

- **命题 11.6.1**：设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的单调函数。那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：不妨设 $f$ 是单调不降的。设 $\varepsilon'>0$ 是任意正实数，那么存在正整数 $N>0$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{\varepsilon'}<N$，设 $\varepsilon=\frac{f(b)-f(a)}{N}$，从而 $0\leq \varepsilon <\varepsilon '$。

  根据 $x_i:=\sup\{x\in [a,b]:f(x)\leq f(a)+\varepsilon i\}$ 定义 $x:\mathbb N_{1..N-1}\to\mathbb R$，那么有 $a\leq x_1\leq\cdots\leq x_{N-1}\leq b$。那么可以得到 $[a,b]$ 的划分 $P=\{[a,x_1),[x_1,x_2),\cdots,[x_{N-1},b]\}$ 且对于任意 $J\in P$ 和 $x,y\in J$ 有 $f(x)-f(y)\leq \varepsilon$，那么可以证明 $f$ 的上下黎曼积分的差不超过 $\varepsilon(b-a)$。然后易证。

  另一种证明方法是：直接将 $[a,b]$ 用长度不超过 $\delta>0$ 的区间划分，然后可以证明上下黎曼积分的差不超过 $\delta(f(b)-f(a))$，然后易证。两种证明是非常对称的，这也得益于单调函数的对称性。

- **命题 11.6.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的单调有界函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：类似命题 11.5.3 的证明。

- **命题 11.6.3**：设 $f:[m,+\infty)\to\mathbb R$ 是单调不升的非负函数。那么 $\sum_{n=m}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq m}\int_{[m,N]}f$ 是有限的。

  **证明**：不妨设 $m=0$。由于 $f$ 是非负函数，所以 $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq 0}\sum\limits_{n=0}^N f(n)$ 有限。记 $A=\left\{\sum\limits_{n=0}^N f(n):N\geq 0\right\}$，$B:=\left\{\int_{[0,N]}f:N\geq 0\right\}$。

  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lfloor x\rfloor)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值函数且 $g\geq f$，那么 $\int_{[0,N]}f\leq \int_{[0,N]}g=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)$。从而对于任意 $b\in B$，存在 $a\in A$ 使得 $b\leq a$，那么 $\sup b\leq \sup a$。

  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lceil x\rceil)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值的且 $g\leq f$，那么 $\sum_{n=0}^{N}f(n)=f(0)+\int_{[0,N]}g\leq f(0)+\int_{[0,N]}f$。从而对于任意 $a\in A$，存在 $b\in B$ 使得 $a\leq f(0)+b$，那么 $\sup a\leq f(0)+\sup b$。

## 11.7 一个非黎曼可积的函数

- **命题 11.7.1**：由 $f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 $f$ 有界但不黎曼可积。

  **证明**：设 $P$ 是 $[0,1]$ 的划分，那么对于任意 $J\in P$ 且 $J\neq \varnothing$ 有 $\sup\limits_{x\in J}f(x)=1$，从而 $U(f,P)=1$，那么$\overline\int_{[0,1]}f=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}=1$。同理 $\underline\int_{[0,1]}f=0$，从而 $f$ 不是黎曼可积的。

## 11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分

- **定义 11.8.1（$\alpha$ 长度）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=0$。

- **引理 11.8.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分。那么 $\alpha[I]=\sum_{J\in P}\alpha[J]$。

- **定义 11.8.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 逐段常值的函数。定义：
  $$
  \textit{p.c.}\int_{[P]}f\text{d}\alpha:=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]
  $$
  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。

- **定义 11.8.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义：
  $$
  \textit{p.c.}\int_If\text d\alpha:=\textit{p.c.}\int_{[P]}f\text d\alpha
  $$

- **定理 11.8.5**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么定理 11.2.7 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：$\alpha$ 是单调不降的，那么对于任意有界区间 $I$ 都有 $\alpha[I]\geq 0$。

- **定义 11.8.6（上黎曼-斯蒂尔杰斯积分和下黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数，定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的上黎曼-斯蒂尔杰斯积分为：
  $$
  \overline\int_If\text d\alpha:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig\text d\alpha:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  $$
  类似地定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的的下黎曼-斯蒂尔杰斯积分 $\underline\int_If\text d\alpha$。

- **引理 11.8.7**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么引理 11.3.3 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：为比较两逐段常值函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的大小，先通过公共加细将两者的划分统一。

- **定义 11.8.8（黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数。

  若 $\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$，我们就称 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，并定义 $\int_If\text d\alpha:=\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$。

  否则称 $f$ 不是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的。

  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I\text d\alpha$ 简记作 $\int_If\text d\alpha$。

如果 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，那么其积分可以理解为，先给数轴上每个位置 $x$ 标上 $\alpha(x)$，再按照数轴上标的数，将数轴拉伸还原为正常的形态（所标的数均匀分布），函数图像也随之拉伸，然后对新的函数做黎曼积分。需要特殊处理的是 $\alpha$ 在 $x_0$ 处间断的情况，设 $\alpha$ 在 $x_0$ 处的左右极限分别为 $a,b$，那么若 $a\neq \alpha(x_0)$，就将拉伸后的函数在 $[a,\alpha(x_0)]$ 上的值定为 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限（一定存在，否则可以证明 $f$ 不是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的）；对 $[\alpha(x_0),b]$ 上的函数值同样讨论。（这里可能的疑惑是，为什么和 $f$ 在 $x_0$ 处的值无关，这是可以把 $x_0$ 单独划为一个区间 $[x_0,x_0]$）

- **引理 11.8.9**：设由 $\alpha(x):=x$ 定义的函数 $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。那么 $f$ 黎曼可积当且仅当 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，且此时有 $\int_If=\int_If\text d\alpha$。

由于引理 11.8.9 的缘故，我们有时将 $\int_If$ 写成 $\int_If\text dx$。

- **命题 11.8.10**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么 11.4、11.5、11.6 中的除 11.5.3、11.5.5 外的所有命题关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：11.5.3（及其推论 11.5.5）不成立，是因为证明时将 $(a,b)$ 拆成了 $(a,a+\delta),[a+\delta,b-\delta],(b-\delta,b)$，而 $(a,a+\delta)$ 的 $\alpha$ 长度不一定是个极小值（当 $\alpha$ 在 $a$ 处间断时）。例如由 $f(x):=\sin\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 关于由 $\alpha(x):=\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}$ 定义的函数 $\alpha:[0,1]\to\mathbb R$ 不黎曼-斯蒂尔杰斯可积。

  11.6.2 证明时也用了类似 11.5.3 的方法，但由于单调函数的性质，我们能将 $(a,a+\delta)$ 的极差控制在很小的范围内，完整证明如下：

  设 $M=\inf\limits_{x\in (a,b)}f(x)$，$\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么 $\{x\in (a,b):f(x)<M+\varepsilon\}$ 非空，那么设 $c$ 是其上确界，那么应有 $a<c\leq b$，再取 $\delta_1=\min(c-a,\frac{b-a}{2})$，那么 $\delta_1>0$ 且对于任意 $x\in (a,a+\delta_1)$ 有 $M\leq f(x)<M+\varepsilon$（若存在 $f(x)\geq M+\varepsilon$，根据上确界的定义存在 $x<y\leq c$ 使得 $f(y)<M+\varepsilon$，违背了单调性），然后再证明就好（注意 $\alpha|_{\overleftrightarrow I}$ 是有界闭集上的单调不降函数，所以有界）。


## 11.9 微积分基本定理

- **定理 11.9.1（微积分第一基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。

  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $F$ 是一致连续的。

  若 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处有极限 $L$，那么 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=L$。

  **证明**：根据定义 11.3.4，$f$ 是有界函数，设界为 $M$。

  设 $\delta>0$ 是任意正实数，$x,y\in [a,b]$ 且 $0\leq y-x<\delta$，那么 $\left|\int_{[a,y]}f-\int_{[a,x]}f\right|=\left|\int_{(x,y]}f\right|<M\delta$，然后易证 $F$ 一致连续。

  设 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处有极限 $L$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in [a,b]$ 且 $0<x-x_0<\delta$ 有 $|f(x)-L|<\varepsilon$，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-L\right|=\left|\dfrac{\int_{(x_0,x]}f}{x-x_0}-L\right|<\varepsilon$，然后易证 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=L$。

- **定义 11.9.2（原函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$。称函数 $F:X\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，当且仅当 $F$ 是可微函数且对于任意 $x\in X$ 有 $F'(x)=f(x)$。

- **定理 11.9.3（微积分第二基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。若 $F:[a,b]\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，那么 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。

  **证明**：考虑任意 $c,d\in [a,b]$ 且 $c<d$，根据命题 10.2.5，有 $F(d)-F(c)\leq \left(\sup\limits_{x\in[c,d]}F'(x)\right)(d-c)$，那么可得 $F(b)-F(a)\leq \overline\int_{[a,b]}f$，同理可得 $\underline\int_{[a,b]}f\leq F(b)-F(a)$，而 $f$ 又是黎曼可积函数，所以 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。

需要说明的是，微积分的两个基本定理对于定义域为任意有界区间都是成立的。

微积分的两个基本定理可以理解为，对于黎曼可积函数 $f$，只要 $f$ 处处有极限（一般来说就是连续）、或者 $f$ 有原函数，那么 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 就是 $f$ 的原函数。

注意闭区间上的可微函数的导数是有可能存在 “无限间断点”，从而有原函数的有界区间上的函数不一定黎曼可积。例如由 $F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^3}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $F:[-1,1]\to\mathbb R$ 是可微函数，但是其导数发散。

注意闭区间上的可微函数的导函数可能存在 “震荡间断点”，从而若 $f$ 黎曼可积、$F(x):=\int_{[a,x]}f$ 在 $x_0$ 处可微，并不能说明 $f$ 在 $x_0$ 处的极限是 $F'(x_0)$。例如由 $F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $F:[-1,1]\to\mathbb R$ 是可微函数，其导函数黎曼可积，但是在 $0$ 处是震荡间断点。

根据微积分第二基本定理，只要找到黎曼可积函数 $f$ 的一个原函数，就可以相对容易地计算 $f$ 的积分。这将定积分与不定积分联系起来。

- **引理 11.9.4**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调的黎曼可积函数。

  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $x_0\in (a,b)$ 处连续，当且仅当 $F$ 在 $x_0$ 处可微。

  **证明**：不妨设 $f$ 单调不降。设 $F$ 在 $x_0$ 处可微，而 $f$ 在 $x_0\in (a,b)$ 处不连续。那么存在 $\varepsilon>0$ 使得对于任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 $f$ 是单调不降的，那么对于任意 $x\in (x_0,b]$ 都有 $f(x)>f(x_0)+\varepsilon$ 或对于任意 $x\in [a,x_0)$ 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。
  
  不妨设前者成立，那么对 $x\in(x_0,b]$，$\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}=\dfrac{\int_{(x_0,x]}f}{x-x_0}>f(x_0)+\varepsilon$；而对 $x\in[a,x_0)$，$\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}=\dfrac{\int_{[x,x_0)}f}{x-x_0}\leq f(x_0)$。从而 $F$ 在 $x_0$ 处不可微，矛盾。

接下来介绍一个微积分第二基本定理导出的结论。

- **引理 11.9.5**：设 $p$ 是实数，那么 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时绝对收敛，当 $p\leq 1$ 时发散。

  **证明**：结合命题 11.6.3 和微积分第二基本定理。

## 11.10 基本定理的推论

- **定理 11.10.1（分部积分公式）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$F:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $G:[a,b]\to\mathbb R$ 都是可微函数，$F',G'$ 都是黎曼可积函数。那么 $FG',F'G$ 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。

  **证明**：$F$ 是闭区间上的可微函数，从而是闭区间上的连续函数，从而 $F$ 是黎曼可积的，从而 $FG'$ 也黎曼可积。根据导数算律，可知 $FG$ 也是可微的且 $(FG)'=FG'+F'G$，那么 $(FG)'$ 也是黎曼可积的，根据微积分第二基本定理可知：

  $$
  F(b)G(b)-F(a)G(a)=\int_{[a,b]}(FG)'=\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G
  $$

- **引理 11.10.2**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  **证明**：$f$ 和 $\alpha'$ 都是黎曼可积的，从而 $f\alpha'$ 也是黎曼可积的。设任意 $[a,b]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，那么有 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，同时 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}c_J\alpha'=\sum_{J\in P}c_J\int_J \alpha'=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，其中最后一步用到了微积分第二基本定理。

- **命题 11.10.3**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  **证明**：由于 $\alpha$ 是单调不降的，可以证明 $\alpha'$ 是非负的。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在逐段常值函数 $\overline f$ 使得 $\overline f\geq f$ 且 $\int_{[a,b]}\overline f\text d\alpha<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon$，从而 $\int_{[a,b]}\overline f\alpha'<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon$。而 $\overline f\geq f$ 和 $\alpha'$ 非负说明 $\overline f\alpha'\geq f\alpha'$，从而利用积分的保序性可证 $\overline\int_{[a,b]}f\alpha'\leq \int_{[a,b]}f\text d\alpha$，对另一侧类似证明后可以得到 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\int_{[a,b]}f\text d\alpha$。

- **引理 11.10.4**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  **证明**：设 $[\varphi(a),\varphi(b)]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 关于 $P$ 是逐段常值的。考虑 $Q=\{\{x\in [a,b]:\varphi(x)\in J\}:J\in P\}$，可以证明 $Q$ 是 $[a,b]$ 的划分，且 $f\circ\varphi$ 是关于 $Q$ 逐段常值的，且 $P,Q$ 之间根据 $\varphi$ 构成双射关系，且：
  
  $$
  \int_{[a,b]}f\circ\varphi\text d\varphi=\sum_{K\in Q}d_{K}\varphi[K]=\sum_{K\in Q}c_{\varphi(K)}|\varphi(K)|=\sum_{J\in P}c_J|J|=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f
  $$

- **命题 11.10.5**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\varphi$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

命题 11.10.5 事实上和我们介绍黎曼-斯蒂尔杰斯积分时的 “伸缩” 理解一样，其证明是通过该理解在逐段常值函数上成立来证明的。

- **定理 11.10.6（换元公式）**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的可微函数，$\varphi'$ 是黎曼可积函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $(f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  **证明**：联合命题 11.10.3 和命题 11.10.5 可知。

当 $f$ 连续时，我们也可以得到命题 11.10.6 的一个相似结论，此时不要求 $\varphi$ 是单调不降的。

- **定义 11.10.7（有向黎曼积分）**：设 $a,b\in\mathbb R$，$f:[\min\{a,b\},\max\{a,b\}]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。若 $a\leq b$，定义 $\int_{a}^bf:=\int_{[a,b]}f$；若 $a>b$，定义 $\int_{a}^b f:=-\int_{[b,a]} f$。

我们介绍的（以及接下来介绍的）很多有关黎曼积分的性质都可以推广到有向黎曼积分上，特别是微积分的两个基本定理和分部积分公式（这也导致了它们推导出的换元公式等性质在有向黎曼积分上也成立），但为了方便我们一般不特意写出。

- **定理 11.10.8（换元公式）**：设 $\varphi:[a,b]\to \mathbb R$ 是可微函数，$\varphi'$ 是黎曼可积函数，$f:\varphi([a,b])\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $(f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f$。

  **证明**：$f$ 的定义域 $\varphi([a,b])$ 是有界闭区间且 $f$ 连续，从而 $f$ 是黎曼可积的且有原函数，设 $F$ 是 $f$ 的原函数。

  同理，由于 $f\circ \varphi$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数，所以它黎曼可积，于是 $(f\circ \varphi)\varphi'$ 也黎曼可积，而 $F\circ \varphi$ 是其原函数，于是：

  $$
  \int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f
  $$

## 11.11 黎曼积分的应用

- **定理 11.11.1（泰勒公式-积分余项）**：设 $I\subseteq\mathbb R$ 是区间，$x_0\in I$，$n\in\mathbb N$，$f:I\to\mathbb R$ 是 $n+1$ 阶可微的函数，且 $f^{(n+1)}$ 是黎曼可积函数。那么对于任意 $x\in I$，$f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt$。

  **证明**：法一：根据微积分第二基本定理：
  
  $$
  \begin{aligned}
  f(x)&=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(x_1)\text{d} x_1\\
  &=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}\left(f'(x_0)+\int_{x_0}^{x_1}f''(x_2)\text{d} x_2\right)\text{d} x_1\\
  &=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}\left(f'(x_0)+\int_{x_0}^{x_1}\left(\cdots\left(f^{(n)}(x_0)+\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\right)\cdots\right)\text{d} x_2\right)\text{d} x_1\\
  \end{aligned}
  $$
  
  接着可以将常数外提：
  
  $$
  \begin{aligned}
  &\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{x_1}\cdots\int_{x_0}^{x_{n-1}}f^{(n)}(x_0)\text{d} x_n\cdots\text{d} x_2\text{d} x_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\int_{0}^{h_1}\cdots\int_{0}^{h_{n-1}}f^{(n)}(x_0)\text{d} h_n\cdots\text{d} h_2\text{d} h_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\cdots\int_{0}^{h_{n-2}}f^{(n)}(x_0)h_{n-1}\text{d} h_{n-1}\cdots\text{d} h_1\\
  =&\int_{0}^{x-x_0}\cdots\int_{0}^{h_{n-3}}\frac{f^{(n)}(x_0)}{2}h_{n-2}^2\text{d} h_{n-2}\cdots\text{d} h_1\\
  =&\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x_0-x)^n
  \end{aligned}
  $$
  
  于是：
  
  $$
  f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{x_1}\cdots\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\cdots\text{d} x_2\text{d} x_1
  $$
  
  而利用分部积分，若 $g$ 有原函数，我们可以证明：
  
  $$
  \begin{aligned}
  &\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n}}{n!}\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\text{d} x\\
  =&-\int_{a}^{b}-\frac{(b-x)^{n}}{n!}\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\text{d} x\\
  =&\left.\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}\left(\int_{a}^{x}g(y)\text{d} y\right)\right|_{x=a}^{x=b}+\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}g(x)\text{d} x\\
  =&\int_{a}^{b}\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}g(x)\text{d} x
  \end{aligned}
  $$
  
  而 $\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}=f^{(n)}(x_n)-f^{(n)}(x_0)$ 是关于 $x_n$ 的连续函数，从而 $\int_{x_0}^{x_{n-1}}\int_{x_0}^{x_n}f^{(n+1)}(x_{n+1})\text{d} x_{n+1}\text{d} x_n$ 是关于 $x_{n-1}$ 的可微函数从而连续，……。于是就可以从外往内拆积分号，将原式化简为：
  
  $$
  f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t
  $$
  
  法二：对 $n$ 归纳。假设 $n-1$ 时命题成立。
  
  $$
  \begin{aligned}
  f(x)&=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}\text{d} t\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)-\int_{x_0}^{x}-\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t)\text{d} t\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)-\left(\left.\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n)}(t)\right|_{t=x_0}^{t=x}-\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t\right)\\
  &=T_{n-1,x_0}f(x-x_0)+\frac{(x-x_0)^{n}}{n!}f^{(n)}(x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{(x-t)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t\\
  &=T_{n,x_0}f(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}\text{d} t
  \end{aligned}
  $$
  
  法三（若 $f^{(n+1)}$ 连续）：要证 $f(x)=Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt$ 对任意 $x,x_0$ 成立。可以把 $x$ 固定，$Tf_{x_0,n}(x-x_0)+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt$ 看成是关于 $x_0$ 的函数 $g$，此时就转为证明 $g$ 是常值的（注意已经有 $g(x)=f(x)$），只需证明 $g'$ 恒为 $0$ 即可：

  $$
  \begin{aligned}
  g(x_0)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\int_{x_0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text dt\\
  g'(x_0)&=f'(x_0)+(f''(x_0)(x-x_0)-f'(x_0))+\cdots+\left(\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n-\frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1}\right)-\frac{f^{(n+1)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n\\
  &=0
  \end{aligned}
  $$


积分余项的泰勒公式给出了函数多项式逼近余项的确切表达式。

- **定理 11.11.2（积分平均值定理）**：设 $a,b\in\mathbb R\land a<b$，$g:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数，$g$ 恒非负且 $\int_{[a,b]}g>0$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，那么 $fg$ 是黎曼可积函数。那么存在 $x \in (a,b)$ 使得 $\int_{[a,b]}fg=f(x)\int_{[a,b]}g$。

  **证明**：排除掉 $\int_{[a,b]}g=0$ 的简单情况，式子变为 $f(x)=\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}$。

  $f$ 存在最小值 $A$ 和最大值 $B$，那么 $A=\frac{\int_{[a,b]}Ag}{\int_{[a,b]}g}\leq\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}\leq\frac{\int_{[a,b]}Bg}{\int_{[a,b]}g}=B$，再根据连续函数的介值性可取得 $x\in[a,b]$。

  为取得 $x\in (a,b)$，发现 $\int_{[a,b]}Ag\neq \int_{[a,b]}fg\neq\int_{[a,b]}Bg$ 时肯定可以。否则，不妨设 $\int_{[a,b]}Ag=\int_{[a,b]}fg$，那么任取 $a<c<b$ 使得 $\int_{[c,b]}g>0$（容易证明一定存在），那么 $f$ 在 $[c,b]$ 上的最小值 $A'$ 一定为 $A$，否则设 $A'>A$：
  $$
  \int_{[a,b]}fg=\int_{[a,c]}fg+\int_{[c,b]}fg\geq\int_{[a,c]}Ag+\int_{[c,b]}A'g=\int_{[a,c]}Ag+A'\int_{[c,b]}g>\int_{[a,c]}Ag+A\int_{[c,b]}g=\int_{[a,b]}Ag
  $$
  矛盾。那么根据连续函数的介值性可以取到 $x\in [c,b]$ 且 $f(x)=A$。如果需要，类似地再把 $b$ 端点排掉即可。

定理 11.11.2 告诉我们，$\frac{\int_{[a,b]}fg}{\int_{[a,b]}g}$ 可以理解为某种意义上的加权平均，它的值在 $f$ 的值域范围内。

在定理积分余项的泰勒公式中，根据积分平均值定理，存在 $\xi\in(x,x_0)$ 使得积分余项 $\int_{[x_0,x]}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n\text{d} t=f^{(n+1)}(\xi)\int_{[x_0,x]}\frac{1}{n!}(x-t)^n\text{d} t=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 变为拉格朗日余项（这里不需要要求 $f^{(n+1)}$ 连续，因为它满足介值性，而观察积分平均值定理，只要在知道 $\int_{[a,b]}fg$ 黎曼可积的前提下，其实也只要求 $f$ 满足介值性即可）。