## 一、连续函数

- **定义 13.1.1（连续函数）**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。

  设 $x_0\in X$。称 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$ 使得对任意 $x\in X$ 满足 $d_X(x,x_0)<\delta$ 都有 $d_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$。

  如果 $f$ 在 $X$ 上的每一点处都连续，则称 $f$ 是连续的。

- **定理 13.1.2**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。设 $x_0\in X$，那么下列命题等价：

  1. $f$ 在 $x_0$ 处连续。
  2. 对任何 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$。
  3. 对任意含有 $f(x_0)$ 的开集 $V\subseteq Y$，都存在含有 $x_0$ 的开集 $U\subseteq X$ 使得 $f(U)\subseteq V$。

- **定理 13.1.3**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。下列命题等价：

  1. $f$ 是连续的。
  2. 对任何 $x_0\in X$ 和 $X$ 上收敛到 $x_0$ 的序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，$(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 都收敛到 $f(x_0)$。
  3. 对任意开集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是开集。
  4. 对任意闭集 $V\subseteq Y$，$f^{-1}(V)$ 也是闭集。

连续函数不保开性和闭性，例如由 $f(x):=(x,0)$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ 不保开性，由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ 既不保闭性也不保开性。

- **命题 13.1.4**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z)$ 都是度量空间，$f:X\to Y,g:Y\to Z$ 是函数。

  若 $f$ 在 $x_0\in X$ 处连续，$g$ 在 $f(x_0)$ 处连续，$g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

  若 $f$ 连续，$g$ 连续，$g\circ f$ 连续。

## 二、连续性与乘积空间

- **引理 13.2.1**：设 $(X,d_X)$ 是度量空间，$f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R$ 是函数。设 $f\oplus g:X\to\mathbb R^2$ 是它们的直和。$\mathbb R$ 上使用绝对值度量，$\mathbb R^2$ 上使用欧几里得度量。

  设 $x_0\in X$，那么 $f,g$ 都在 $x_0$ 处连续当且仅当 $f\oplus g$ 在 $x_0$ 处连续。

  $f,g$ 都连续当且仅当 $f\oplus g$ 连续。

- **命题 13.2.2**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$f:X\to\mathbb R,g:X\to\mathbb R$ 是函数。

  设 $x_0\in X$，$f,g$ 都在 $x_0$ 处连续。那么 $f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都在 $x_0$ 处连续。若 $c\in\mathbb R$，那么 $cf$ 在 $x_0$ 处连续。若 $g$ 恒非零，那么 $\frac fg$ 在 $x_0$ 处连续。

  设 $f,g$ 连续。那么 $f+g,f-g,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都连续。若 $c\in\mathbb R$，那么 $cf$ 连续。若 $g$ 恒非零，那么 $\frac fg$ 连续。

  **证明**：以 $f+g$ 为例，由连续函数的复合知 $x\mapsto (f(x),g(x))\mapsto f(x)+g(x)$ 是连续的。

## 三、连续性与紧致性

- **定理 13.3.1**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是连续函数。若 $X$ 是紧致的，那么 $f(X)$ 也是紧致的。

连续函数不保完备性。例如由 $f(x):=\frac 1x$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to (0,1]$。

- **推论 13.3.2**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 在某点取到最小值，也在某点取到最大值。
- **定义 13.3.3（一致连续性）**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是函数。称 $f$ 是一致连续的，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in X$ 满足 $d_X(x_1,x_2)<\delta$，都有 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon$。
- **命题 13.3.4**：设 $(X,d)$ 是紧致度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f$ 是一致连续的。

## 四、连续性与连通性

- **定义 13.4.1（连通）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。称 $X$ 是不连通的，如果存在非空开集 $V,W\subseteq X$，使得 $V\cap W=\varnothing$ 且 $V\cup W=X$。称 $X$ 是连通的，如果 $X$ 是非空的且不是不连通的。对于空集，我们不定义它的连通性。

- **引理 13.4.2**：设 $(X,d)$ 是度量空间。$X$ 是不连通的，当且仅当存在非空真子集 $\varnothing \subsetneq V\subsetneq X$，使得 $V$ 没有边界点。

  **证明**：注意到 $V$ 和 $X\setminus V$ 拥有相同的边界点集合。

- **定理 13.4.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是连通的当且仅当 $X$ 是区间。

  **证明**：<=：$X$ 的子集 $V$ 没有边界点，$V$ 必须同时包含区间的左右端点，而 $V$ 和 $X\setminus V$ 不可能同时满足这个条件。

  =>：如果 $X$ 不是区间，那么存在 $x<z<y$ 满足 $x,y\in X$ 而 $z\not\in X$。取 $\{e\in X:e<z\}$ 就是 $X$ 的一个没有边界点的非空真子集。

- **定理 13.4.4**：设 $(X,d_X),(Y,d_Y)$ 都是度量空间，$f:X\to Y$ 是连续函数。若 $X$ 是连通的，那么 $f(X)$ 也是连通的。

  **证明**：没有边界点意味着既开又闭，那么利用定理 13.1.3 说明 $f(X)$ 不连通则 $X$ 不连通即可。也就是说，若 $f(X)=V\cup W$ 不连通，那么对每个 $x_0\in X$，一定存在包含 $f(x_0)$ 的开集都同属于 $V$ 或同属于 $W$，从而一定存在包含 $x_0$ 的开集都同属于 $f^{-1}(V)$ 或同属于 $f^{-1}(W)$，从而 $f^{-1}(V)$ 没有边界点。
  
- **推论 13.4.5**：设 $(X,d)$ 是连通度量空间，$f:X\to\mathbb R$ 是连续函数。那么 $f(X)$ 是区间。

- **命题 13.4.6**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$(E_\alpha)_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 的一簇连通子集。若 $\bigcap_{\alpha\in I}E_\alpha$ 非空，那么 $\bigcup_{\alpha \in I} E_{\alpha}$ 是连通的。

  **证明**：设 $V$ 是 $\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha$ 的一个非空真子集，存在 $\alpha\in I$ 使得 $V\cap E_\alpha$ 是 $E_\alpha$ 的非空真子集（否则对任意 $\alpha\in I$ 必有 $V\cap E_{\alpha}=\varnothing$ 或 $E_{\alpha}\subseteq V$，再结合所有 $E_{\alpha}$ 的交非空即可引出矛盾），那么 $V\cap E_\alpha$ 在 $E_{\alpha}$ 中的边界点也是 $V$ 在 $\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha$ 中的边界点。

- **定义 13.4.7（路连通）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。称 $X$ 是路连通的，当且仅当对任意 $x,y\in X$，都存在连续函数 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。

- **定理 13.4.8**：设 $(X,d)$ 是度量空间。若 $X$ 是路连通的，则 $X$ 是连通的。

  **证明**：设 $V$ 是 $X$ 的非空真子集。任取 $x\in V$ 和 $y\in X\setminus V$，存在 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x$ 且 $f(1)=y$。取 $a=\sup\{b\in [0,1]:f(b)\in V\}$，那么 $f(b)$ 是 $V$ 的边界点，因为包含 $b$ 的任意小开区间内都存在 $f$ 值在 $V$ 内和 $V$ 外的。

//连通空间不一定路连通

- **命题 13.4.9**：设 $(X,d)$ 是度量空间，$E\subseteq X$。若 $E$ 是连通的，那么 $\overline E$ 是连通的。

  **证明**：对 $\overline E$ 的非空真子集 $V$，如果 $E\cap V$ 是 $E$ 的非空真子集，那么它在 $E$ 中的边界点也是 $V$ 在 $\overline E$ 中的边界点。否则，$\overline E\setminus E\setminus V$ 都是 $V$ 的边界点。

- **定义 13.4.10（连通分支）**：设 $(X,d)$ 是度量空间。对于 $x,y\in X$，定义 $x\sim y$ 当且仅当存在一个 $X$ 的子集合包含 $x,y$。那么 $\sim$ 是等价关系。将该等价关系划分为的每个等价类称为 $X$ 的连通分支。

  **证明**：传递性使用命题 13.4.6。

## 五、拓扑空间

选读。