### 第 11 章 黎曼积分

#### 11.1 划分

- **定义 11.1.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，称 $X$ 是连通的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 且 $x<y$，有 $[x,y]\in X$。

在 13.4 中将定义更一般的连通性的概念，它适用于任意度量空间。

- **引理 11.1.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，那么 $X$ 是有界且连通的，当且仅当 $X$ 是有界区间。

  **证明**：从上确界和下确界的角度构造。

- **引理 11.1.3**：设 $I,J$ 是有界区间，那么 $I\cap J$ 也是有界区间。

  **证明**：最简洁的方式是从连通的角度考虑。

- **定义 11.1.4（区间的长度）**：设 $I$ 是有界区间。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=b-a$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的长度为 $|I|:=0$。

- **定义 11.1.5（划分）**：设 $I$ 是有界区间。称一个由区间构成的有限集 $P$ 是 $I$ 的一个划分，当且仅当 $P$ 中的区间都是 $I$ 的子集，且任意 $I$ 中的元素都恰属于 $P$ 中的一个区间。

- **定理 11.1.6**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的一个划分且 $\operatorname{card} P=n$。那么 $|I|=\sum_{J\in P}|J|$。
  
  **证明**：对 $n$ 归纳。
  
- **定义 11.1.7（加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。称 $P'$ 比 $P$ 更细（或称 $P'$ 是 $P$ 的加细，或称 $P$ 比 $P'$ 更粗），当且仅当对于任意 $J'\in P'$ 都存在 $J\in P$ 使得 $J'\subseteq J$。

- **定义 11.1.8（公共加细）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。定义 $P$ 和 $P'$ 的公共加细为 $P\# P':=\{J\cap J':J\in P,J'\in P'\}$。

- **引理 11.1.9**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 和 $P'$ 都是 $I$ 的划分。那么 $P\# P'$ 也是 $I$ 的划分，且同时是 $P$ 和 $P'$ 的加细。

#### 11.2 逐段常值函数

- **定义 11.2.1（常值函数）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是常值的，当且仅当存在 $c\in\mathbb R$ 使得对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)=c$。此时称 $c$ 是 $f$ 的常数值。

  设 $E\subseteq X$，称 $f$ 在 $E$ 上是常值的，当且仅当 $f|_E$ 是常值函数。

当 $X$ 非空时，$f$ 的常数值唯一。

- **定义 11.2.2（逐段常值函数）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是函数。

  设 $P$ 是 $I$ 的划分。称 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，当且仅当对于任意 $J\in P$，$f$ 在 $J$ 上是常值的。

  称 $f$ 是逐段常值的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。

- **引理 11.2.3**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$P'$ 是 $P$ 的加细，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。那么 $f$ 也是关于 $P'$ 逐段常值的。

- **引理 11.2.4**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是逐段常值函数，$c\in\mathbb R$。那么 $f+g,f-g,cd,fg,\max(f,g),\min(f,g)$ 都是逐段常值函数。且若对于任意 $x\in I$ 有 $g(x)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也是逐段常值函数。

- **定义 11.2.5（逐段常值积分 1）**：设 $I$ 是有界区间，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 的逐段常值函数。定义 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分为：
  $$
  \textit{p.c.}\int_{[P]}f:=\sum_{J\in P}c_J|J|
  $$
  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。

- **定义 11.2.6（逐段常值积分 2）**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义 $f$ 的逐段常值积分 $\textit{p.c.}\int_If$ 为 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分。

  **证明**：我们需要证明，对于 $I$ 的不同划分 $P,P'$ 满足 $f$ 关于 $P$ 和关于 $P'$ 都是逐段常值的，有 $f$ 关于 $P$ 的逐段常值积分和 $f$ 关于 $P'$ 的逐段常值积分相同。先证明 $P'$ 是 $P$ 的加细时的情况，再利用公共加细即可。

  当 $P'$ 为 $P$ 的加细时，考虑由 $S(J):=\{J'\in P':J'\subseteq J\}$ 定义的函数 $S:P\to 2^{P'}$，证明好 $S$ 的性质即可。

- **定理 11.2.7**：设 $I$ 是有界区间，$f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。

  1. $\textit{p.c.}\int_I(f+g)=\textit{p.c.}\int_If+\textit{p.c.}\int_Ig$。
  2. $\textit{p.c.}\int_I(f-g)=\textit{p.c.}\int_If-\textit{p.c.}\int_Ig$。
  3. 设 $c$ 是实数，则 $\textit{p.c.}\int_I(cf)=c(\textit{p.c.}\int_If)$。
  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，则 $\textit{p.c.}\int_If\geq \textit{p.c.}\int_Ig$。
  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_JF=\textit{p.c.}\int_If$。
  7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是逐段常值函数且 $\textit{p.c.}\int_If=\textit{p.c.}\int_Jf|_J+\textit{p.c.}\int_Kf|_K$。

#### 11.3 上黎曼积分和下黎曼积分

- **定义 11.3.1**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f:X\to R$ 和 $g:X\to\mathbb R$。记 $g\geq f$（或记 $f\leq g$），当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\geq f(x)$。

- **定义 11.3.2（上黎曼积分和下黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，定义 $f$ 的上黎曼积分为：
  $$
  \overline\int_If:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  $$
  类似地定义 $f$ 的下黎曼积分 $\underline\int_If$。

- **引理 11.3.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$M$ 是它的界，那么：
  $$
  -M|I|\leq \underline\int_If\leq \overline\int_If\leq M|I|
  $$
  **证明**：为证 $\overline\int_If\leq M|I|$，构造由 $g(x):=M$ 定义的函数 $g:I\to\mathbb R$，显然它是关于 $\{I\}$ 逐段常值的且 $\textit{p.c.}\int_Ig=M|I|$，而 $g\geq f$。

  为证 $\underline\int_If\leq \overline\int_If$，即 $\sup A\leq \inf B$ 的形式，证明任意 $A$ 中元素小于等于任意 $B$ 中元素即可。

- **定义 11.3.4（黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。

  若 $\underline\int_If=\overline\int_If$，我们就称 $f$ 黎曼可积，并定义 $\int_If:=\underline\int_If=\overline\int_If$。

  否则称 $f$ 不是黎曼可积的。

  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I$ 简记作 $\int_If$。

- **引理 11.3.5（逐段常值积分相容于黎曼积分）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的逐段常值函数，那么 $f$ 有黎曼可积的，且 $\int_If=\textit{p.c.}\int_If$。

- **定义 11.3.6（黎曼和）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$P$ 是 $I$ 的划分。定义上黎曼和：
  $$
  U(f,P):=\sum_{J\in P:J\neq \varnothing}\left(\sup_{x\in J}f(x)\right)|J|
  $$
  类似地定义下黎曼和 $L(f,P)$。

- **引理 11.3.7**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，$g:I\to\mathbb R$ 是关于某划分 $P$ 逐段常值的函数且满足 $g\geq f$，那么：
  $$
  \textit{p.c.}\int_Ig\geq U(f,P)
  $$
  关于下黎曼和也有类似的结论。

- **命题 11.3.8**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数，那么：
  $$
  \overline\int_If=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}
  $$
  对于下黎曼积分也有类似地结论。

  **证明**：设 $A=\left\{\textit{p.c.}\int_Ig:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}$，$B=\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}$。对于任意 $a\in A$，根据引理 11.3.7，存在 $b\in B$ 使得 $b\leq a$，从而可得 $\inf B\leq \inf A$。而对于任意 $b\in B$，通过构造可知存在 $a\in A$ 使得 $a=b$，从而 $\inf A\leq \inf B$。那么 $\inf A=\inf B$。

#### 11.4 黎曼积分的基本性质

- **定理 11.4.1（黎曼积分算律）**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。
  
  1. 函数 $f+g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f+g)=\int_If+\int_Ig$。
  2. 函数 $f-g$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(f-g)=\int_If-\int_Ig$。
  3. 设 $c$ 是实数，那么函数 $cf$ 是黎曼可积的，且 $\int_I(cf)=c(\int_If)$。
  4. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq 0$，那么 $\int_If\geq 0$。
  5. 设对于任意 $x\in I$ 有 $f(x)\geq g(x)$，那么 $\int_If\geq \int_Ig$。
  6. 设 $J$ 是有界区间且 $I\subseteq J$，则由 $F(x):=\begin{cases}f(x)&x\in I\\0&x\not\in I\end{cases}$ 定义的函数 $F:J\to\mathbb R$ 也是黎曼可积的，且 $\int_JF=\int_If$。
    7. 设 $\{J,K\}$ 是 $I$ 的划分，则 $f|_J$ 和 $f|_K$ 也是黎曼可积的，且 $\int_If=\int_Jf+\int_Kf$。
  
  **证明**：证明都是类似的，这里只证 1。
  
  设 $A:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f+g\right\}$，$B:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq f\right\}$，$C:=\left\{\textit{p.c.}\int_Ih:h\text{ 是逐段常值函数且 }h\geq g\right\}$。根据定理 11.2.7 可知，对于任意 $b\in B$ 和 $c\in C$，$b+c\in A$，那么可知 $\inf A\leq \inf B+\inf C$，即 $\overline\int_I(f+g)\leq \overline\int_If+\overline\int_Ig=\int_If+\int_Ig$。同理可得 $\underline\int_I(f+g)\geq \int_If+\int_Ig$。再结合 $\underline\int_I(f+g)\leq \overline\int_I(f+g)$ 即证。
  
- **定理 11.4.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $\max(f,g)$ 和 $\min(f,g)$ 都是黎曼可积的。

  **证明**：只证 $\max(f,g)$。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $\underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$，同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。我们知道 $\max(\underline f,\underline g)$ 仍是逐段常值函数且 $\max(\underline f,\underline g)\leq \max(f,g)$，从而 $\int_I\max(\underline f,\underline g)\leq \underline\int_I\max(f,g)$，对于 $\max(\overline f,\overline g)$ 同理。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_I\max(f,g)-\underline\int_I\max(f,g)&\leq \int_I\max(\overline f,\overline g)-\int_I\max(\underline f,\underline g)\\
  &=\int_I\max(\overline f,\overline g)-\max(\underline f,\underline g)\\
  &\leq \int_I(\overline f-\underline f)+(\overline g-\underline g)\\
  &=\int_I\overline f-\int_I\underline f+\int_I\overline g-\int_I\underline g\\
  &\leq 4\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_I \max(f,g)=\overline\int_I\max(f,g)$。

- **推论 11.4.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，那么正部 $f_+:=\max(f,0)$ 和负部 $f_-:=\min(f,0)$ 是黎曼可积的，绝对值 $|f|:=f_+-f_-$ 也是黎曼可积的。

- **定理 11.4.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 和 $g:I\to\mathbb R$ 都是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数。那么 $fg$ 是黎曼可积的。

  **证明**：先考虑 $f,g\geq 0$ 的情况。由于 $f,g$ 黎曼可积，那么 $f,g$ 有界，不妨设界为 $M$。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在逐段常值函数 $\underline f$ 使得 $0\leq \underline f\leq f$ 且 $\int_If-\varepsilon\leq \int_I\underline f\leq \int_I f$（先在无 $0\leq \underline f'$ 要求的情况下取出 $\underline f'$，再取 $\underline f:=\max(0,\underline f')$），同理存在 $\overline f,\underline g,\overline g$。那么 $\underline f\underline g$ 仍是逐段常值函数且 $\underline f\underline g\leq fg$，从而 $\int_I\underline f\underline g\leq \underline\int_I fg$，对于 $\overline f\overline g$ 同理。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_Ifg-\underline\int_Ifg&\leq \int_I\overline f\overline g-\int_I\underline f\underline g\\
  &=\int_I\overline f(\overline g-\underline g)+\int_I\underline g(\overline f-\underline f)\\
  &\leq \int_IM(\overline g-\underline g)+\int_IM(\overline f-\underline f)\\
  &=M\int_I(\overline g-\underline g)+M\int_I(\overline f-\underline f)\\
  &\leq 4M\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_Ifg=\overline\int_I fg$。

  对于更一般的情况，将 $fg$ 拆成 $(f_+-f_-)(g_+-g_-)=f_+g_+-f_-g_+-f_+g_-+f_-g_-$，根据推论 11.4.3 可知 $f_+,f_-,g_+,g_-$ 都是黎曼可积的，然后就是 $f,g\geq0$ 的情况了。

- **引理 11.4.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的黎曼可积函数，$P$ 是 $I$ 的分法，那么 $\int_If=\sum_{J\in P}\int_J f$。

  **证明**：结合定理 11.4.1.7，对 $\operatorname{card}P$ 归纳。

#### 11.5 连续函数的黎曼可积性

- **定理 11.5.1**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的一致连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=[a,b)$ 的情况，其他情况类似。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in [a,b)$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。

  存在正整数 $N>0$，使得 $N\geq \frac{b-a}{\delta}$，那么容易得到 $[a,b)$ 的一个大小为 $N$ 的划分 $P$，其中每个区间的长度都等于 $\frac{b-a}{N}\leq \delta$。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq U(f,P)-L(f,P)\\
  &=\sum_{J\in P}\left(\sup_{x\in J}f(x)-\inf_{x\in J}f(x)\right)\frac{b-a}{N}\\
  &\leq \sum_{J\in P}\varepsilon \frac{b-a}{N}\\
  &=\varepsilon(b-a)
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

- **引理 11.5.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $I$ 上的连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：结合定理 9.9.6 和定理 11.5.1 可得。

- **命题 11.5.3**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：只考虑实数 $a,b$ 满足 $a<b$ 且 $I=(a,b)$ 的情况，其他情况类似。

  设 $M$ 是 $f$ 的界，$\delta$ 是 $(0,\frac{b-a}{2})$ 中的任意实数，那么 $a+\delta<b-\delta$。那么根据引理 11.5.2，$f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 是黎曼可积的，于是存在逐段常值函数 $\underline g$ 使得 $\underline g\leq f|_{[a+\delta,b-\delta]}$ 且 $\int_{[a+\delta,b-\delta]}f-\delta\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline g\leq \int_{[a+\delta,b-\delta]}f$，同理存在 $\overline g$。

  由 $\underline f(x):=\begin{cases}\underline g(x)&x\in[a+\delta,b-\delta]\\-M&x\not\in [a+\delta,b-\delta]\end{cases}$ 定义函数 $\underline f:I\to\mathbb R$，那么 $\underline f\leq f$ 且 $\underline f$ 是逐段常值函数，同理定义 $\overline f$。那么：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_If-\underline\int_If&\leq \int_I\overline f-\int_I\underline f\\
  &=\left(\int_{(a,a+\delta)}\overline f-\int_{(a,a+\delta)}\underline f\right)+\left(\int_{[a+\delta,b-\delta]}\overline f-\int_{[a+\delta,b-\delta]}\underline f\right)+\left(\int_{(b-\delta,b)}\overline f-\int_{(b-\delta,b)}\underline f\right)\\
  &<4M\delta+2\delta
  \end{aligned}
  $$
  然后易证 $\underline\int_If=\overline\int_I f$。

- **定义 11.5.4**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的函数。称 $f$ 是逐段连续的，当且仅当存在 $I$ 的划分 $P$，使得对于任意 $J\in P$ 有 $f|_J$ 是连续的。

- **命题 11.5.5**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界逐段连续函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

#### 11.6 单调函数的黎曼可积性

- **命题 11.6.1**：设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 是有界闭区间 $[a,b]$ 上的单调函数。那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：不妨设 $f$ 是单调不降的。设 $\varepsilon'>0$ 是任意正实数，那么存在正整数 $N>0$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{\varepsilon'}<N$，设 $\varepsilon=\frac{f(b)-f(a)}{N}$，从而 $0\leq \varepsilon <\varepsilon '$。

  根据 $x_i:=\sup\{x\in [a,b]:f(x)\leq f(a)+\varepsilon i\}$ 定义 $x:\mathbb N_{1..N-1}\to\mathbb R$，那么有 $a\leq x_1\leq\cdots\leq x_{N-1}\leq b$。那么可以得到 $[a,b]$ 的划分 $P=\{[a,x_1),[x_1,x_2),\cdots,[x_{N-1},b]\}$ 且对于任意 $J\in P$ 和 $x,y\in J$ 有 $f(x)-f(y)\leq \varepsilon$。然后易证。

- **命题 11.6.2**：设 $f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的单调有界函数，那么 $f$ 是黎曼可积的。

  **证明**：类似命题 11.5.3 的证明。

- **命题 11.6.3**：设 $f:[m,+\infty)\to\mathbb R$ 是单调不升的非负函数。那么 $\sum_{n=m}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq m}\int_{[m,N]}f$ 是有限的。

  **证明**：不妨设 $m=0$。由于 $f$ 是非负函数，所以 $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ 收敛，当且仅当 $\sup\limits_{N\geq 0}\sum\limits_{n=0}^N f(n)$ 有限。记 $A=\left\{\sum\limits_{n=0}^N f(n):N\geq 0\right\}$，$B:=\left\{\int_{[0,N]}f:N\geq 0\right\}$。

  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lfloor x\rfloor)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值函数且 $g\geq f$，那么 $\int_{[0,N]}f\leq \int_{[0,N]}g=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)$。从而对于任意 $b\in B$，存在 $a\in A$ 使得 $b\leq a$，那么 $\sup b\leq \sup a$。

  设 $N\geq 0$ 是任意自然数。考虑由 $g(x):=f(\lceil x\rceil)$ 定义的函数 $g:[0,+\infty)$，那么 $g$ 是逐段常值的且 $g\leq f$，那么 $\sum_{n=0}^{N}f(n)=f(0)+\int_{[0,N]}g\leq f(0)+\int_{[0,N]}f$。从而对于任意 $a\in A$，存在 $b\in B$ 使得 $a\leq f(0)+b$，那么 $\sup a\leq f(0)+\sup b$。

- **推论 11.6.5**：设 $p$ 是实数，那么 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时绝对收敛，当 $p\leq 1$ 时发散。

  **证明**：不太懂，感觉需要用积分和导数的关系。

#### 11.7 一个非黎曼可积的函数

- **命题 11.7.1**：由 $f(x):=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义函数 $f:[0,1]\to\mathbb R$。那么 $f$ 有界但不黎曼可积。

  **证明**：设 $P$ 是 $[0,1]$ 的划分，那么对于任意 $J\in P$ 且 $J\neq \varnothing$ 有 $\sup\limits_{x\in J}f(x)=1$，从而 $U(f,P)=1$，那么$\overline\int_{[0,1]}f=\inf\{U(f,P):P\text{ 是 }I\text{ 的划分}\}=1$。同理 $\underline\int_{[0,1]}f=0$，从而 $f$ 不是黎曼可积的。

//无法用逐段常值函数拟合，从而不能用黎曼积分算积分（面积）

#### 11.8 黎曼-斯蒂尔杰斯积分

- **定义 11.8.1（$\alpha$ 长度）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$。若存在 $a,b\in\mathbb R$ 且 $a<b$ 满足 $I$ 为 $[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)$ 之一，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=\alpha(b)-\alpha(a)$；否则 $I$ 是空集或单元素集，则定义 $I$ 的 $\alpha$ 长度为 $\alpha[I]:=0$。

- **引理 11.8.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分。那么 $\alpha[I]=\sum_{J\in P}\alpha[J]$。

- **定义 11.8.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$P$ 是 $I$ 的划分，$f:I\to\mathbb R$ 是关于 $P$ 逐段常值的函数。定义：
  $$
  p.c.\int_{[P]}f\text{d}\alpha:=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]
  $$
  其中 $c_J$ 为 $f$ 在 $J$ 上的常数值。特别地，当 $J$ 为空集时，取 $c_J:=0$。

- **定义 11.8.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $\alpha:X\to\mathbb R$，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是逐段常值函数，那么存在 $P$ 是 $I$ 的划分满足 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的。定义：
  $$
  p.c.\int_If\text d\alpha:=p.c.\int_{[P]}f\text d\alpha
  $$

- **定理 11.8.5**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么定理 11.2.7 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：$\alpha$ 是单调不降的，那么对于任意有界区间 $I$ 都有 $\alpha[I]\geq 0$。

- **定义 11.8.6（上黎曼-斯蒂尔杰斯积分和下黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数，定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的上黎曼-斯蒂尔杰斯积分为：
  $$
  \overline\int_If\text d\alpha:=\inf\left\{\textit{p.c.}\int_Ig\text d\alpha:g\text{ 是逐段常值函数且 }g\geq f\right\}
  $$
  类似地定义 $f$ 关于 $\alpha$ 的的下黎曼-斯蒂尔杰斯积分 $\underline\int_If\text d\alpha$。

- **引理 11.8.7**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么引理 11.3.3 关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：为比较两逐段常值函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的大小，先通过公共加细将两者的划分统一。

- **定义 11.8.8（黎曼-斯蒂尔杰斯积分）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$\alpha:X\to\mathbb R$ 是单调不降函数，有界区间 $I$ 满足 $\overleftrightarrow I\subseteq X$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界函数。

  若 $\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$，我们就称 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，并定义 $\int_If\text d\alpha:=\underline\int_If\text d\alpha=\overline\int_If\text d\alpha$。

  否则称 $f$ 不是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的。

  当 $f$ 定义域包含 $I$ 时，有时将 $\int_If|_I\text d\alpha$ 简记作 $\int_If\text d\alpha$。

- **引理 11.8.9**：设由 $\alpha(x):=x$ 定义的函数 $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$，$f:I\to\mathbb R$ 是有界区间 $I$ 上的有界函数。那么 $f$ 黎曼可积当且仅当 $f$ 关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积，且此时有 $\int_If=\int_If\text d\alpha$。

由于引理 11.8.9 的缘故，我们有时将 $\int_If$ 写成 $\int_If\text dx$。

- **命题 11.8.10**：设 $\alpha$ 是单调不降函数，那么 11.4、11.5、11.6 中的除 11.5.3、11.5.5 外的所有命题关于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的类比也成立。

  **证明**：11.5.3（及其推论 11.5.5）不成立，是因为证明时将 $(a,b)$ 拆成了 $(a,a+\delta),[a+\delta,b-\delta],(b-\delta,b)$，而 $(a,a+\delta)$ 的 $\alpha$ 长度不一定是个极小值（当 $\alpha$ 在 $a$ 处间断时）。例如由 $f(x):=\sin\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 关于由 $\alpha(x):=\begin{cases}0&x=0\\1&x\neq 0\end{cases}$ 定义的函数 $\alpha:[0,1]\to\mathbb R$ 不黎曼-斯蒂尔杰斯可积。

  11.6.2 证明时也用了类似 11.5.3 的方法，但由于单调函数的性质，我们能将 $(a,a+\delta)$ 的极差控制在很小的范围内，完整证明如下：

  设 $M=\inf\limits_{x\in (a,b)}f(x)$，$\varepsilon>0$ 是任意正实数。那么 $\{x\in (a,b):f(x)<M+\varepsilon\}$ 非空，那么设 $c$ 是其上确界，那么应有 $a<c\leq b$，再取 $\delta_1=\min(c-a,\frac{b-a}{2})$，那么 $\delta_1>0$ 且对于任意 $x\in (a,a+\delta_1)$ 有 $M\leq f(x)<M+\varepsilon$（若存在 $f(x)\geq M+\varepsilon$，根据上确界的定义存在 $x<y\leq c$ 使得 $f(y)<M+\varepsilon$，违背了单调性），然后再证明就好（注意 $\alpha|_{\overleftrightarrow I}$ 是有界闭集上的单调不降函数，所以有界）。

- **引理 11.8.11**：由 $\operatorname{sgn}(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义函数 $\operatorname{sgn}:\mathbb R\to\mathbb R$。设 $f:[-1,1]\to\mathbb R$ 是在 $0$ 处连续的有界函数。那么 $f$ 关于 $\operatorname{sgn}$ 是黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。

  **证明**：设 $M$ 是 $f$ 的界。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $0<\delta<1$，使得对于任意 $x\in[-1,1]$ 且 $|x|<\delta$ 有 $|f(x)-f(0)|<\varepsilon$。那么考虑由 $g(x):=\begin{cases}M&x\in [-1,-\delta]\\f(0)+\varepsilon&x\in(-\delta,\delta)\\M&x\in[\delta,1]\end{cases}$ 定义的函数 $g:[-1,1]\to\mathbb R$，它是逐段常值函数且 $g\geq f$，从而：
  $$
  \begin{aligned}
  \overline\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}&\leq\int_{[-1,1]}g\text{d}\operatorname{sgn}\\
  &=M(\operatorname{sgn}(-\delta)-\operatorname{sgn}(-1))+(f(0)+\varepsilon)(\operatorname{sgn}(\delta)-\operatorname{sgn}(-\delta))+M(\operatorname{sgn}(1)-\operatorname{sgn}(\delta))\\
  &=2f(0)+2\varepsilon
  \end{aligned}
  $$
  同理可证 $\underline\int_{[-1,1]}f\text d\operatorname{sgn}\geq 2f(0)-2\varepsilon$。从而可知 $\int_{[-1,1]}f\text{d}\operatorname{sgn}=2f(0)$。

#### 11.9 微积分基本定理

- **定理 11.9.1（微积分第一基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。

  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $F$ 是一致连续的。

  若 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续，那么 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=f(x_0)$。

  **证明**：根据定义 11.3.4，$f$ 是有界函数，设界为 $M$。

  设 $\delta>0$ 是任意正实数，$x,y\in [a,b]$ 且 $0\leq y-x<\delta$，那么 $\left|\int_{[a,y]}f-\int_{[a,x]}f\right|=\left|\int_{(x,y]}f\right|<M\delta$，然后易证 $F$ 一致连续。

  设 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x\in [a,b]$ 且 $0<x_0-x<\delta$ 有 $|f(x_0)-f(x)|<\varepsilon$，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|<\varepsilon$，然后易证 $F$ 在 $x_0$ 处可微且 $F'(x_0)=f(x_0)$。

- **定义 11.9.2（原函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$。称函数 $F:X\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，当且仅当 $F$ 是可微函数且对于任意 $x\in X$ 有 $F'(x)=f(x)$。

- **定理 11.9.3（微积分第二基本定理）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。若 $F:[a,b]\to\mathbb R$ 是 $f$ 的原函数，那么 $\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$。

  **证明**：考虑任意 $c,d\in [a,b]$ 且 $c<d$，根据命题 10.2.5，有 $F(d)-F(c)\leq \left(\sup\limits_{x\in[c,d]}F'(x)\right)(d-c)$，那么可得 $F(b)-F(a)\leq \overline\int_{[a,b]}f$，同理可得 $\underline\int_{[a,b]}f\leq F(b)-F(a)$，而 $f$ 又是黎曼可积函数，所以 $\int_{[a,b]}=F(b)-F(a)$。
  

需要说明的是，微积分的两个基本定理对于定义域为任意有界区间都是成立的。

注意闭区间上的可微函数的导数是有可能发散的，从而有原函数的有界区间上的函数不一定黎曼可积。例如由 $F(x):=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^3}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $F:[-1,1]\to\mathbb R$ 是可微函数，但是其导数发散。

微积分第二基本定理声称，只要找到黎曼可积函数 $f$ 的一个原函数，就可以相对容易地计算 $f$ 的积分。而微积分第一基本定理保证连续的黎曼可积函数一定存在原函数。

- **引理 11.9.4**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调的黎曼可积函数。

  由 $F(x):=\int_{[a,x]}f$ 定义函数 $F:[a,b]\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续，当且仅当 $F$ 在 $x_0$ 处可微。

  **证明**：不妨设 $f$ 单调不降。设 $F$ 在 $x_0$ 处可微，而 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处不连续。那么存在 $\varepsilon>0$ 使得对于任意 $\delta>0$ 都存在 $x\in [a,b]$ 使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$，又由于 $f$ 是单调不降的，那么对于任意 $x\in (x_0,b]$ 都有 $f(x)>f(x_0)+\varepsilon$ 或对于任意 $x\in [a,x_0)$ 都有 $f(x)<f(x_0)-\varepsilon$。不妨设前者成立，那么 $\left|\dfrac{\int_{[a,x]}f-\int_{[a,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|=\left|\dfrac{\int_{(x,x_0]}f}{x-x_0}-f(x_0)\right|>\varepsilon$。从而 $F$ 在 $x_0$ 处不可微，矛盾。

#### 11.10 基本定理的推论

- **命题 11.10.1（分部积分公式）**：设 $a,b\in\mathbb R$ 满足 $a<b$，$F:[a,b]\to\mathbb R$ 和 $G:[a,b]\to\mathbb R$ 都是可微函数，$F',G'$ 都是黎曼可积函数。那么 $FG',F'G$ 黎曼可积且 $\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G=F(b)G(b)-F(a)G(a)$。

  **证明**：$F$ 是闭区间上的可微函数，从而是闭区间上的连续函数，从而 $F$ 是黎曼可积的，从而 $FG'$ 也黎曼可积。根据导数算律，可知 $FG$ 也是可微的且 $(FG)'=FG'+F'G$，那么 $(FG)'$ 也是黎曼可积的，根据微积分第二基本定理可知：
  $$
  F(b)G(b)-F(a)G(a)=\int_{[a,b]}(FG)'=\int_{[a,b]}FG'+\int_{[a,b]}F'G
  $$

- **引理 11.10.2**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  **证明**：$f$ 和 $\alpha'$ 都是黎曼可积的，从而 $f\alpha'$ 也是黎曼可积的。设任意 $[a,b]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 是关于 $P$ 逐段常值的，那么有 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，同时 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}f\alpha'=\sum_{J\in P}\int_{J}c_J\alpha'=\sum_{J\in P}c_J\int_J \alpha'=\sum_{J\in P}c_J\alpha[J]$，其中最后一步用到了微积分第二基本定理。

- **命题 11.10.3**：设 $\alpha:[a,b]\to\mathbb R$ 是单调不降的可微函数，$\alpha'$ 是黎曼可积函数，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\alpha$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的函数。那么 $f\alpha'$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}f\text d\alpha=\int_{[a,b]}f\alpha'$。

  **证明**：由于 $\alpha$ 是单调不降的，可以证明 $\alpha'$ 是非负的。设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数，存在逐段常值函数 $g$ 使得 $g\geq f$ 且 $\int_{[a,b]}g\text d\alpha<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1$，从而 $\int_{[a,b]}g\alpha'<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1$。设 $\varepsilon_2>0$ 是任意正实数，存在逐段常值函数 $h$ 使得 $h\geq g\alpha'$ 且 $\int_{[a,b]}h<\int_{[a,b]}g\alpha'+\varepsilon_2<\int_{[a,b]}f\text d\alpha+\varepsilon_1+\varepsilon_2$。而 $g\geq f$ 和 $\alpha'$ 非负说明 $h\geq g\alpha'\geq f\alpha'$，从而可证 $\overline\int_{[a,b]}f\alpha'\leq \int_{[a,b]}f\text d\alpha$，对另一侧类似证明后可以得到 $\int_{[a,b]}f\alpha'=\int_{[a,b]}f\text d\alpha$。

- **引理 11.10.4**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是逐段常值函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 也是逐段常值函数，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  **证明**：设 $[\varphi(a),\varphi(b)]$ 的划分 $P$ 使得 $f$ 关于 $P$ 是逐段常值的。考虑 $Q=\{\{x\in [a,b]:\varphi(x)\in J\}:J\in P\}$，可以证明 $Q$ 是 $[a,b]$ 的划分，且 $f\circ\varphi$ 是关于 $Q$ 逐段常值的，且 $P,Q$ 之间根据 $\varphi$ 构成双射关系，且：
  $$
  \int_{[a,b]}f\circ\varphi\text d\varphi=\sum_{K\in Q}d_{K}\varphi[K]=\sum_{K\in Q}c_{\varphi(K)}|\varphi(K)|=\sum_{J\in P}c_J|J|=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f
  $$

- **命题 11.10.5**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的连续函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $f\circ \varphi:[a,b]\to\mathbb R$ 是关于 $\varphi$ 黎曼-斯蒂尔杰斯可积的，且 $\int_{[a,b]}f\circ \varphi\text{d}\varphi=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

- **命题 11.10.6（变量替换公式）**：设 $\varphi:[a,b]\to[\varphi(a),\varphi(b)]$ 是单调不降的可微函数，$\varphi'$ 是黎曼可积函数，$f:[\varphi(a),\varphi(b)]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数。那么 $(f\circ\varphi)\varphi':[a,b]\to\mathbb R$ 是黎曼可积函数，且 $\int_{[a,b]}(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{[\varphi(a),\varphi(b)]}f$。

  **证明**：联合命题 11.10.3 和命题 11.10.5 可知。

事实上，除命题 11.10.1 外，上述所有命题中的所有非 $\alpha,\varphi$ 这种函数，将它们的定义域由闭区间改为开区间都是成立的，但由于 $\alpha,\varphi$ 的定义域必须是闭区间，而且 $\int_{[a,b]}f=\int_{(a,b)}f$，所以也就无所谓了。