## 9.1  $\mathbb R$ 的子集合

- **定义 9.1.1（区间）**：设 $I\subseteq \mathbb R$。称 $I$ 是区间，当且仅当对于任意 $x,y,z\in \mathbb R$，$x,y\in I\land x<z<y\implies z\in I$。

  利用上下确界可以证明，非空的区间只有可能是下面的形式之一：

  1. $[a,b]:=\{x\in \mathbb R:a\leq x\leq b\}$，其中 $a,b\in\mathbb R$。
  2. $[a,b):=\{x\in \mathbb R:a\leq x< b\}$，其中 $a\in\mathbb R$，$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$，$a<b$。
  3. $(a,b]:=\{x\in \mathbb R:a< x\leq b\}$，其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$，$b\in\mathbb R$，$a<b$。
  4. $(a,b):=\{x\in \mathbb R:a<x<b\}$，其中 $a\in\mathbb R\cup\{-\infty\}$，$b\in\mathbb R\cup\{+\infty\}$，$a<b$。
    
  对于非空区间，称 $a$ 为这些区间的左端点，$b$ 为这些区间的右端点，称没有端点是无限（$+\infty$ 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。

于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$。

- **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。

- **定义 9.1.3（闭包）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义 $X$ 的闭包 $\overleftrightarrow{X}:=\{x\in \mathbb R:x\text{ 是 }X\text{ 的附着点}\}$。

- **引理 9.1.4（闭包的初等性质）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$。那么

    - $X\subseteq \overleftrightarrow{X}$。
    - $\overleftrightarrow{X\cup Y}=\overleftrightarrow{X}\cup\overleftrightarrow{Y}$。
    - $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
    - $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。

- **引理 9.1.5（区间的闭包）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$；$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$；$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$；$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。

我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。

- **引理 9.1.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当，存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。

    **证明**：利用选择公理，在 $[x-\frac1n,x+\frac1n]$ 范围内任选一个 $X$ 中的点作为 $a_n$。

- **定义 9.1.7（闭集）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。

- **推论 9.1.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。

    **证明**：根据引理 9.1.6 可知。

- **定义 9.1.9（聚点、孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的聚点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。

- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有聚点和孤立点组成。

引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。

- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的聚点。

- **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。

- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是有界闭集，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中。

    **证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。

## 9.2 实值函数的代数

- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f$ 限制在 $Y$ 上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。

- **定义 9.2.2（函数的算术运算）**：设函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$。

    定义它们的和为函数 $f+g:X\to\mathbb R$，满足 $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$。

    定义它们的差为函数 $f-g:X\to\mathbb R$，满足 $(f-g)(x):=f(x)-g(x)$。

    设 $c$ 是实数，定义函数 $cf:X\to\mathbb R$，满足 $(cf)(x):=cf(x)$。

    定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。

    定义它们的商为函数 $\frac fg:\{x\in X:g(x)\neq 0\}\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。

    定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。

    定义函数 $\min(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x))$。

需注意函数乘法和函数复合的区分。

## 9.3 函数的极限值

- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$，$X$ 的聚点 $x_0$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

    若 $f$ 在 $x_0$ 处不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 无定义。

注意条件中仅要求 $0<|x-x_0|<\delta$ 而非 $0\leq |x-x_0|<\delta$，这意味着在讨论 $f$ 在 $x_0$ 处的极限时，我们并不关注 $f$ 在 $x_0$ 处是否有定义以及其值是什么，仅关心 $f$ 在 $x_0$ 附近的趋势。

- **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。

    那么 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。

    **证明**：若 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $L$。设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$ 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 $n\geq N$ 都有 $0<|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。

    若对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X\setminus\{x_0\}$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。反证，若 $f$ 在 $x_0$ 处不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 $x\in X$ 且 $0<|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in X$、$0<|a_n-x_0|<\frac1n$ 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$ 但 $(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 并不收敛到 $L$，矛盾。

- **推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 在 $x_0$ 处至多收敛到一个实数 $L$。

    **证明**：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。

- **命题 9.3.4（函数的极限算律）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f:X\to \mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 都是函数。设 $f$ 在 $x_0$ 处收敛到实数 $L$，$g$ 在 $x_0$ 处收敛到实数 $M$。那么：

  $$
  \begin{aligned}
  \lim\limits_{x\to x_0}(f+g)(x)&=L+M\\
  \lim\limits_{x\to x_0}(f-g)(x)&=L-M\\
  \lim\limits_{x\to x_0}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0}(fg)(x)&=LM\\
  \lim\limits_{x\to x_0}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
  \end{aligned}
  $$

  最后，若 $M\neq 0$，那么：

  $$
  \lim\limits_{x\to x_0}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
  $$

  **证明**：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。其中最后一条式子中，要先证明 $x_0$ 确是 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的聚点，这要通过 $g$ 在 $x_0$ 处收敛到一个非零数来证明。

- **命题 9.3.5（极限是局部的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$x_0\in\mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。

    设 $\delta>0$，那么 $x_0$ 是 $X$ 的聚点当且仅当 $x_0$ 是 $X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 的聚点，且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap(x_0-\delta,x_0+\delta)}(x)=L$。

- **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，$x_0$ 是 $Y$ 的聚点（从而是 $X$ 的聚点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0}f|_Y(x)=L$。

接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中。

## 9.4 连续函数

- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。

    称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。

    否则称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的。
    
    称 $f$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。

函数在一点连续可以理解为：在该点附近，能通过 $x$ 范围的缩小任意控制 $y$ 范围的缩小。

函数在一点不连续可以理解为：在该点附近，不论 $x$ 范围怎么缩小都无法缩小到一个 $y$ 的范围。

接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：

- 设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：
  - $f$ 在 $0$ 处是间断的。
  - $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的。
  - $f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。
  - $f$ 在 $(0,+\infty)$ 中任意处都是连续的。

- 设由 $f(x):=\begin{cases}x &x\in\mathbb Q\\-x&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义的函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $0$ 处是连续的，但在任意 $x_0>0$ 处都是间断的。

- 设由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R$。那么 $f$ 是连续函数。

继续考察有关连续的性质：

- **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，等价于对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。

    同时，若 $x_0$ 还是 $X$ 的聚点，那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，还等价于 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

- **命题 9.4.3（算术运算保持连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。

    若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg$ 都在 $x_0$ 处连续。

    若另有 $g(x_0)\neq 0$，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处连续。

- **命题 9.4.4（指数函数是连续的）**：设实数 $a>0$，那么由 $f(x):=a^x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：使用类似定义 6.7.1 中的证明方法。

- **命题 9.4.5（幂函数是连续的）**：设实数 $p$，那么由 $f(x):=x^p$ 定义的函数 $f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：使用类似定义 5.6.5 中的证明方法。

- **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：$|x|=\max(x,-x)$。

- **命题 9.4.7（复合保持连续性）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$g$ 在 $f(x_0)$ 处连续，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-f(x_0)|\leq \delta$ 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 $\omega>0$ 使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\omega$ 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。

- **命题 9.4.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$Y\subseteq X$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是连续的，则 $f|_Y$ 也是连续的。

- **命题 9.4.9（极限的复合）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $X$ 的聚点，$f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $y_0$。

    若 $y_0\in Y$ 且 $g$ 在 $y_0$ 处连续，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $g(y_0)$。

    若 $y_0$ 是 $Y$ 的聚点、$g$ 在 $y_0$ 处收敛到 $z_0$ 且对于任意 $x\in X\setminus\{x_0\}$ 有 $f(x)\neq y_0$，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处收敛到 $z_0$。

## 9.5 单侧极限与间断

- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。

    若 $x_0$ 是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点（这里等价于聚点），那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)$。

    若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (-\infty,x_0)}(x)$。

    当 $x_0$ 不是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，或 $\lim\limits_{x\to x_0}f|_{X\cap (x_0,+\infty)}(x)$ 无定义，则 $f(x_0+)$ 无定义。同理可知 $f(x_0-)$ 何时无定义。

    有时将 $f(x_0+)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 $f(x_0-)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。

- **命题 9.5.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in\mathbb R$ 同是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 和 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点。

    那么 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，当且仅当 $f(x_0+)=f(x_0-)$，且此时 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0+)=f(x_0-)$。
    
    若 $x_0\in X$，那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当 $f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在且都等于 $f(x_0)$。
    
- **定义 9.5.3（间断点）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $X$ 的附着点。

    称 $x_0$ 是 $f$ 的间断点，当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处无定义或不连续。

    - **第一类间断点**：$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在。
      - **可去间断点**：$f(x_0+)=f(x_0-)$。
      - **跳跃间断点**：$f(x_0+)\neq f(x_0-)$。
    - **第二类间断点**：$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 有至少一者不存在。即 $f$ 在 $x_0$ 某一侧附近无定义，或在 $x_0$ 某一侧函数值发散。

- **引理 9.5.4（可去间断点补齐为连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是 $f$ 的可去间断点。那么由 $g(x):=\begin{cases}f(x_0+)&x=x_0\\f(x)&x\neq x_0\end{cases}$ 定义的函数 $g:X\cup\{x_0\}\to\mathbb R$ 在 $x_0$ 处连续。

注意，若补全或修改函数 $f$ 在其间断点 $x_0$ 处的值后使得 $f$ 在 $x_0$ 处连续了。除了 $x_0$ 是 $f$ 的可去间断点之外，还有可能是因为 $f$ 在 $x_0$ 某一侧无定义，从而 $f$ 在 $x_0$ 处这一侧的极限不存在，而使得 $x_0$ 成为第二类间断点。

我们举一个在每个有理数处跳跃间断而在每个无理数处连续的函数的例子。

首先，观察由 $f(x):=\lfloor x\rfloor$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，该函数在每个整数处跳跃间断，而在每个非整数处连续。

现在我们仿照该思路构造目标函数。由于有理数集是可数集，于是存在双射 $g:\mathbb N\to \mathbb Q$。然后我们定义函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足：

$$
f(x):=\sum_{r\in\mathbb Q:r\leq x}2^{-g^{-1}(r)}
$$

而 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ 是绝对收敛的，从而 $f(x)$ 是定义成功的。可以证明 $f$ 就是一个满足要求的函数。

我们再举一个在每个有理数处可去间断而在每个无理数处连续的函数的例子。

这里我们需要用到一个前提：任何一个有理数都可以被唯一表示成一个最简分数 $\frac{m}{n}$，其中 $m$ 是整数、$n$ 是正整数且 $|m|,n$ 互质。然后定义函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足：
$$
f(x):=\begin{cases}\frac{1}{n}&x\in\mathbb Q\text{ 且 }x\text{ 的最简分数表示是}\frac{m}{n}\\0&x\not\in\mathbb Q\end{cases}
$$
考虑证明任意一点 $x_0$ 处的极限是 $0$：为找到 $x_0$ 的一个去心邻域使其内部的函数值都小于 $\frac{1}{n}$，只需找一个去心邻域避开所有最简分数分母 $\leq n$ 的有理数即可，这样的有理数在 $x_0$ 附近只有有限个。于是 $f$ 在每个有理数处可去间断而在每个无理数处连续。该函数被称为黎曼函数。

## 9.6 极值定理

- **定义 9.6.1（函数有界）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$。

    称 $f$ 是有上界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\leq M$。

    称 $f$ 是有下界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\geq M$。

    称 $f$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $|f(x)|\leq M$。

可以发现，$f$ 是有界的，当且仅当 $f(X)$ 是有界的。

- **引理 9.6.2**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么 $f(X)$ 是有界闭集。

    **证明**：先证 $f$ 有界。反证，设 $f$ 是无界的。

    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。

    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。

    根据连续的定义，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。

    再证 $f(X)$ 是闭集。

    对于任意 $f(X)$ 上的收敛序列 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，根据选择公理，存在 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)=y_n$。

    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $L$。

    根据连续的定义，$(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}=(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$，而 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 本来就是收敛的，故而 $(y_{n})_{n=0}^{\infty}$ 也收敛到 $f(L)\in f(X)$。

连续函数把有界闭集映为有界闭集。

连续函数不一定把有界集映为有界集，例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,1]\to\mathbb R$ 无上界。

连续函数不一定把闭集映为闭集，例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:[1,+\infty)\to\mathbb R$ 的值域不是闭集。

- **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$，函数 $f:X\to \mathbb R$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。

- **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。

    **证明**：根据引理 9.6.2，再利用确界证明有界闭集必有极值即可。

## 9.7 介值定理

- **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。

    **证明**：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。

    设 $E:=\{x\in [a,b]:f(x)\leq y\}$。由于 $E$ 非空且具有上界 $b$，故存在 $c:=\sup(E)$ 满足 $c\in [a,b]$。

    考虑证明 $f(c)=y$。

    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 有 $x_n\in E$ 且 $x_n\geq c-\frac1n$。那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，从而 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$。又因为对于任意 $n\geq 1$ 有 $f(x_n)\leq y$，那么 $f(c)\leq y$。

    排除掉 $c=b$ 的平凡情况，可以由 $x_n:=\min(c+\frac1n,b)$ 定义序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，那么对于任意 $n\geq 1$ 都有 $x_n\in (c,b]$ 从而 $f(x_n)>y$，又由于 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，于是 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$，那么 $f(c)\geq y$。

    综上，可以得到 $f(c)=y$。

连续函数把区间映为区间。

- **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。

连续函数把有界闭区间映为有界闭区间。

## 9.8 单调函数

- **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是单调增（单调不降）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\leq f(y)$。

  称 $f$ 是严格单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)<f(y)$。

  称 $f$ 是单调减（单调不升）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\geq f(y)$。

  称 $f$ 是严格单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)>f(y)$。

  称 $f$ 是单调的，当且仅当 $f$ 是单调增的或是单调减的。

  称 $f$ 是严格单调的，当且仅当 $f$ 是严格单调增的或是严格单调减的。

- **引理 9.8.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 是严格单调增的，那么 $f$ 是 $X$ 到 $f(X)$ 的双射，且 $f^{-1}$ 也是严格单调增的。

- **命题 9.8.3**：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f^{-1}$ 也是连续且严格单调增的。

  **证明**：对于某一点 $y_0$，为使得 $x$ 能控制在 $f^{-1}(y_0)$ 附近的某一范围 $[x_l,x_r]$，任找 $[x_l,x)$ 中有定义的一点并取其 $f$ 值 $y_l$（若 $[x_l,x)$ 中无定义，那么随便选一个 $<y_0$ 的实数）并同理取出 $y_r$，那么只要 $y$ 落在 $[y_l,y_r]$ 范围内，对应的 $x$ 总会落在 $[x_l,x_r]$ 范围内，从而 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 连续。

引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。

作为对照，考虑将命题 9.8.3 中的定义域换为任意实数子集的情况：取 $f=\begin{cases}x&x<0\\x-1&x\geq 1\end{cases}$，发现 $f^{-1}$ 在 $0$ 处并不连续。

- **命题 9.8.4**：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$ 是连续函数，且 $f$ 是 $I$ 到 $f(I)$ 的双射。那么 $f$ 是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知， $f^{-1}$ 是也连续且严格单调的。

  **证明**：假设 $f$ 不严格单调，不妨设存在 $a<b<c$ 使得 $f(a)<f(c)<f(b)$，那么存在 $a<d<b$ 使得 $f(d)=f(c)$，这与 $f$ 是双射矛盾。

作为对比，该命题并不成立：设 $I$ 是区间，函数 $f:I\to \mathbb R$，且 $f$ 是 $I$ 到 $f(I)$ 的双射。设 $x_0\in I$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可，此时对应的 $x$ 为对应的 $\frac{2^k}{p}>1$。

- **命题 9.8.5（单调有界收敛）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是单调不减函数，$x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，$\{f(x):x\in X,x<x_0\}$ 有上界。那么 $f$ 在 $x_0$ 处存在左极限且 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\sup\{f(x):x\in X,x<x_0\}$。

  **证明**：设 $L=\sup\{f(x):x\in X,x<x_0\}$。对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $x\in X,x<x_0$ 满足 $L-\varepsilon<f(x)\leq L$，那么对于任意 $x'\in (x,x_0)$，都有 $L-\varepsilon<f(x')\leq L$。

- **推论 9.8.6**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是单调不减函数，$x_0\in\mathbb R$。那么：

  1. 若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点但 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ 不存在，那么 $x_0=\sup X$，$x_0\not\in X$，$f(x)$ 无上界。
  2. 若 $x_0$ 是 $f$ 的可去间断点，那么 $x_0\not\in X$。

根据推论 9.8.6，我们看到单调函数的可去间断点可以有不可数多个，例如由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ 在每个无理数处都是可去间断的。但是，单调函数的跳跃间断点和第二类间断点都只有至多可数多个。

- **命题 9.8.7**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是单调不减函数，那么 $f$ 的跳跃间断点只有至多可数个。

  **证明**：设 $x_0$ 是 $f$ 的跳跃间断点，那么：
  $$
  \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\sup\{f(x):x<x_0\}< \inf\{f(x):x>x_0\}=\lim_{x\to x_0^+}f(x)
  $$
  
  考虑将 $f$ 的每个跳跃间断点 $x_0$ 映到非空开区间 $\left(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\right)$。同时我们可以证明任意两个不同的跳跃间断点 $x_0<x_1$ 映到的开区间 $(l_0,r_0),(l_1,r_1)$ 必然满足 $r_0\leq l_1$ 从而它们不交：因为 $f$ 在 $x_0$ 处存在右极限，所以存在 $x\in X$ 满足 $x_0<x<x_1$，那么 $r_0\leq f(x)\leq l_1$。根据选择公理，可以为每个区间选出一个有理数，这些有理数应当两两不同，从而我们构造了 $f$ 的所有跳跃间断点到 $\mathbb Q$ 的单射，从而 $f$ 的跳跃间断点只有至多可数个。
  
- **推论 9.8.8**：设 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是单调函数，那么 $f$ 的间断点只有至多可数多个。

  **证明**：根据推论 9.8.6 证明 $f$ 的间断点都是跳跃间断点即可。

- **命题 9.8.9**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是单调不减函数，那么 $f$ 的第二类间断点只有至多可数个。

  **证明**：设 $x_0$ 是 $f$ 的第二类间断点且 $x\neq \sup X$、$x\neq \inf X$。那么根据第二类间断点的定义和推论 9.8.6.1，存在 $\delta>0$，使得 $X$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 或 $(x_0,x_0+\delta)$ 中无定义。不妨设是 $(x_0-\delta,x_0)$，那么不存在 $f$ 的第二类间断点在 $(x_0-\delta,x_0)$ 中，因为间断点的前提是附着点，而若开区间 $(x_0-\delta,x_0)$ 中存在 $X$ 的一个附着点，那么该开区间与 $X$ 也必然有交，矛盾。

  于是我们把 $x_0$ 映到非空开区间 $(x_0-\frac{\delta}{2},x_0)$ 上，若区间是 $(x_0,x_0+\delta)$ 则同理映到 $(x_0,x_0+\frac{\delta}{2})$ 上，由于 $\delta$ 的不唯一性，此映射需要用到选择公理构造。可以看出，任意两个不同的第二类间断点 $x_0<x_1$ 映到的开区间必然不交：一种情况是 $x_0$ 映到 $(x_0,x_0+\frac{\delta_0}{2})$、$x_1$ 映到 $(x_1-\frac{\delta_1}{2},x_1)$，若此时 $x_1-\frac{\delta_1}2<x_0+\frac{\delta_0}{2}$，那么 $x_1-\delta_1<x_0$ 和 $x_0+\delta_0>x_1$ 中至少有一者成立，这与 $(x_0,x_0+\delta_0),(x_1-\delta_1,x_1)$ 中不存在第二类间断点矛盾。

  根据选择公理，可以为每个区间选出一个有理数，这些有理数应当两两不同，从而我们构造了 $f$ 的所有第二类间断点到 $\mathbb Q$ 的单射，从而 $f$ 的第二类间断点只有至多可数个。

## 9.9 一致连续性

- **定义 9.9.1（一致连续）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。

一致连续的函数可以理解为：可以通过 $x$ 的靠近来任意控制 $y$ 的靠近。

不一致连续的函数可以理解为：不论 $x$ 怎么靠近，总存在一对 $x$ 使得 $y$ 无法靠近。

一致连续性并不等同于导数值有界（导数的概念将在第 10 章说明），例如由 $f(x):=\sqrt x$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 的导数 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ 在 $0$ 附近无界，但是它仍然是一致连续的。

- **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。

  **证明**：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价，但 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=1}^{\infty}$ 不等价。矛盾。

作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。

- **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。设 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。

  **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in X$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在 $N\geq 0$ 使得对于任意 $n,m\geq N$ 都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。

- **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f$ 是连续函数。设 $x_0$ 是 $X$ 的聚点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。

  **证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。

注意 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=x^2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 并不一致连续。

- **命题 9.9.5**：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f(X)$ 有界。

  **证明**：反证。设 $f(X)$ 是无界的。

  根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$，$x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq n$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 也是收敛序列，但根据定义 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是发散的。矛盾。

注意 9.9.5 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sin\frac 1x$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 是有界集上的值域有界的连续函数，但它并不一致连续。

- **定理 9.9.6**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$。那么 $f$ 是一致连续函数。

  **证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。

  根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。

  根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in X$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。

- **引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）**：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 都是一致连续函数。那么 $g\circ f:X\to Z$ 也是一致连续的。

    **证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。

我们之前说了 9.9.3 和 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数这两个命题的逆命题是成立的。

- **引理 9.9.8**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当对任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，$(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。

  **证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，从而将 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 和 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，从而 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 奇偶交错混合到一起后也是个收敛的序列，这说明 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到同一个数，矛盾。

- **引理 9.9.9**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当 $f$ 连续且在 $X$ 的任意聚点 $x_0$ 处存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$。

  **证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2 和 9.4.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。

## 9.10 在无限处的极限、极限语言的统一

- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。

- **定义 9.10.2（在无限处的极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 且 $+\infty$ 是 $X$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

    称当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

    称当 $x\to-\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

容易看出，序列的极限的定义是相容于函数在无限处的极限的定义的。

可以查觉到，序列的极限和函数的极限、函数在某点处和函数在无限处的极限，存在着大量相似的语言和结论。现在我们打算用一种语言把它们统一到一起，这其中最关键的，就是邻域的概念，有了邻域我们就能定义极限。

- **定义 9.10.4（邻域）**：设 $x_0\in\mathbb R$。定义：

    $x_0$ 的邻域是一个含 $x_0$ 的开区间 $J$，去心邻域是一个含 $x_0$ 的开区间 $J$ 去掉 $\{x_0\}$ 的结果。

    $x_0^+$ 的邻域是一个区间 $[x_0,x_0+\delta)$，去心邻域是一个开区间 $(x_0,x_0+\delta)$，其中 $\delta>0$。

    $x_0^-$ 的邻域是一个区间 $(x_0-\delta,x_0]$，去心邻域是一个开区间 $(x_0-\delta,x_0)$，其中 $\delta>0$。

    $+\infty$ 的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(a,+\infty)$，其中 $a\in\mathbb R$。

    $-\infty$ 的邻域和去心邻域都是一个开区间 $(-\infty,b)$，其中 $b\in\mathbb R$。

    $\infty$ 的邻域和去心邻域都是 $(-\infty,b)\cup(a,+\infty)$，其中 $b,a\in\mathbb R$。

    其中 $+\infty,-\infty$ 是已经被定义过的 $\mathbb R^*$ 中的元素，而 $\infty$ 被称为无符号无穷大。$+\infty,-\infty,\infty$ 被统称为无穷大。

    设 $X\subseteq\mathbb R$，定义 $X^{\sigma}:=X\cup\{x^+:x\in X\}\cup\{x^-:x\in X\}$。

    称 $c$ 有邻域，当且仅当 $c\in\mathbb R^{\sigma}\cup\{+\infty,-\infty,\infty\}$。

- **定义 9.10.5（极限）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。定义 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$，当且仅当，对于任意 $A$ 的邻域 $W$，总存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)\in W$。

注意，当 $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ 是无穷大时，我们仍说 $f$ 在 $c$ 处是发散、不收敛的。

- **定义 9.10.6（同号、异号）**：记 $x_0,x_0^+,+\infty$ 的符号为正，其中 $x_0$ 是正实数。记 $x_0,x_0^-,-\infty$ 符号为负，其中 $x_0$ 为负实数。

    设 $A,B$ 都有邻域。称 $A,B$ 是同号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相同。称 $A,B$ 是异号的，当且仅当 $A,B$ 都有符号且符号相异。

- **引理 9.10.7（极限算律）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，$f,g:X\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域，且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空，$\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$ 且 $\lim\limits_{x\to c}g(x)=B$。那么：
  
  $$
  \begin{aligned}
  \lim_{x\to c}(f+g)(x)&=
  \begin{cases}
  A+B&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
  +\infty&+\infty\in\{A,B\}\land-\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
  -\infty&-\infty\in\{A,B\}\land+\infty,\infty\not\in\{A,B\}\\
  \infty&A,B\text{ 中一个为 }\infty\text{，一个属于 }\mathbb R\\
  \text{未定型}&A,B\text{ 是两个非同号的无穷大}
  \end{cases}\\
  \lim_{x\to c}(fg)(x)&=
  \begin{cases}
  AB&A,B\in\mathbb R^{\sigma}\\
  +\infty&A,B\text{ 同号且包含无穷大}\\
  -\infty&A,B\text{ 异号且包含无穷大}\\
  \infty&A,B\text{ 其中一个非零，另一个为 }\infty\\
  \text{未定型}&A,B\text{ 其中一个为零，另一个为无穷大}
  \end{cases}
  \end{aligned}
  $$
  
  若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么：
  
  $$
  \lim_{x\to c}\frac{1}{f}(x)=
  \begin{cases}
  \frac{1}{A}&A\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}\\
  \infty(+\infty,-\infty)&A=0(0^+,0^-)\\
  0(0^+,0^-)&A=\infty(+\infty,-\infty)
  \end{cases}
  $$
  
  其中，当 $A,B\in\mathbb R^{\sigma}$ 和 $C\in\mathbb R^{\sigma}\setminus\{0\}^{\sigma}$ 时，$A+B,AB,\frac{1}{C}$ 的定义我们在此略去，它们根据该引理自然地成为合理的结果。例如：
  
  - 当 $A,B\in\mathbb R$ 时，$A+B$ 直接相容于实数的加法定义。
  - 当 $A=a^+,B=b^+$ 时，$A+B=(a+b)^+$。
  - 当 $A=a^+,B=b^-$ 时，$A+B=a+b$。
  - 当 $A=a^+,B=b^-$ 且 $a\geq 0,b\leq 0$ 时，$AB=(ab)^-$。
  - 当 $C=c^+$ 且 $c<0$ 时，$\frac{1}{C}=(\frac{1}{c})^-$。
  
  其中乘法和逆的判别方法一般是将绝对值和正负性结合考虑。
  
- **引理 9.10.8（极限复合）**：设 $X,Y\subseteq\mathbb R$，$f:X\to Y$，$g:Y\to\mathbb R$ 是函数，$c,A,B$ 有邻域。若下面两者中任意一者成立：

    - $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。对于任意 $A$ 的去心邻域 $W$，总存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)\in W$。$\lim\limits_{y\to A}g(y)=B$。
    - $\lim\limits_{x\to c}f(x)=A$。$A$ 的任意邻域与 $Y$ 的交非空。对于任意 $B$ 的去心邻域 $W$，总存在 $A$ 的邻域 $V$，使得对于任意 $y\in V\cap Y$ 有 $g(y)\in W$。

    那么 $\lim\limits_{x\to c}(g\circ f)(x)=B$。

## 9.11 渐进式

渐进式一般用来研究无穷小和无穷大的阶数问题——同样是收敛到 $0$ 或发散到无穷大，其实也可以更加细分。例如在 $x\to +\infty$ 时 $x^2$ 明显比 $x$ 发散得快得多，我们就可以用阶的语言来描述。同时，这样的细分在我们研究 $0/0$、$\infty/\infty$ 或者 $(+\infty)+(-\infty)$ 等等 9.10.7 中提及的未定型的极限时也有帮助。

- **定义 9.11.1（大 $O$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=O(g)$，当且仅当存在正实数 $M>0$ 和 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq M|g(x)|$。

注意，这里的等号实际上是属于的意思（毕竟显然不能通过 $f_1=O(g)$ 和 $f_2=O(g)$ 得到 $f_1=f_2$），而 $O(g)$ 实质上也是一个集合：
$$
\bigcup_{X\subseteq Y:\ c\text{的任意非空邻域与}X\text{的交非空}}\bigg\{f\in\mathbb R^{X}:\text{存在正实数 }M>0\text{ 和 }c\text{ 的非空邻域 }V\text{，使得对于任意 }x\in V\cap X\text{ 有 }|f(x)|\leq M|g(x)|\bigg\}
$$
但出于习惯和历史问题，我们现在仍然使用 $=$ 这个记号。但为了保证正确性，我们保证等号右边的一定是个集合（注意，形如 $O(g)$ 的记号也是集合），而当等号左边是个函数时，该等号就表示 $\in$；当等号左边是个集合时，该等号表示 $\subseteq$。下面的大 $\Theta$ 和小 $o$ 也是类似的。

大 $O$ 记号有很多显然的规则。

- **引理 9.11.2（大 $O$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
  
  $$
  \begin{aligned}
  f&=O(f)\\
  O(O(f))&=O(f)\\
  O(kf)&=O(f)\\
  O(f)+O(g)&=O(|f|+|g|)\\
  O(f)O(g)&=O(fg)\\
  O(fg)&=f\cdot O(g)
  \end{aligned}
  $$

在实际应用中，还会用到其他的一些大 $O$ 的运算法则（比如上面很多式子反过来也是成立的），就不再详细列举，因为它们往往都是根据定义不难证明的。下面介绍大 $\Theta$ 和小 $o$ 时也是类似的。

- **定义 9.11.3（大 $\Theta$、同阶）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 同阶（也记为 $f=\Theta(g)$），当且仅当 $f=O(g)$ 且 $g=O(f)$。

  即存在 $M>0$ 和 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $\frac{1}{M}|g(x)|\leq|f(x)|\leq M|g(x)|$。
  
- **引理 9.11.4（大 $\Theta$ 算律）**：引理 9.11.2 的论述将 $O$ 替换为 $\Theta$ 后仍然成立。

  **证明**：由于大 $\Theta$ 的定义可以理解为，只是在大 $O$ 的定义上多加了 $|f(x)|\geq \frac{1}{M}|g(x)|$ 的限制，这和 $|f(x)|\leq M|g(x)|$ 很对称，所以可以类似证明。

- **推论 9.11.5（同阶是等价关系）**：同阶满足自反性、对称性、传递性。

  **证明**：传递性：若 $f=O(g),g=O(h)$，那么 $f=O(g)=O(O(h))=O(h)$，反过来同理可证 $h=O(f)$。

若两个函数的比值存在非零极限，那么这两个函数同阶，但注意这不是必要条件。

- **定义 9.11.6（小 $o$）**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$，当且仅当对任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)|\leq \varepsilon|g(x)|$。

- **引理 9.11.7（小 $o$ 算律）**：设 $Y\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $Y$ 的交非空。设 $k\in\mathbb R\setminus\{0\}$，那么：
  
  $$
  \begin{aligned}
  o(kf)&=o(f)\\
  o(O(f))&=o(f)\\
  O(o(f))&=o(f)\\
  o(f)&=O(f)\\
  o(f)+o(g)&=o(|f|+|g|)\\
  O(f)o(g)&=o(fg)\\
  o(fg)&=f\cdot o(g)
  \end{aligned}
  $$
  
- **引理 9.11.8**：设 $X\subseteq Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:Y\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面两个命题等价：

  1. 当 $x\to c$ 时，$f=o(g)$。
  2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$。

从引理 9.11.8 可以看出，$f=o(g)$ 几乎和 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ 等价，这和 $f=\Theta(g)$ 不同。

当我们在讨论两个函数 $f,g$ 在 $c$ 附近的阶的关系的时候，一般来说 $f,g$ 的函数值会涉及到无穷大或无穷小，因为若 $f$ 在 $c$ 附近有界且远离零，那么 $f=\Theta(1)$，从而讨论 $f$ 与其他函数的阶的关系是很平凡的。

- **定义 9.11.9（函数等价）**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。称当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 等价，当且仅当 $f=g+o(g)$。

  即对于任意正实数 $\varepsilon>0$，存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq\varepsilon|g(x)|$。

- **引理 9.11.10**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么下面几个命题等价：

  1. 当 $x\to c$ 时，$f$ 与 $g$ 是等价的。
  2. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $g(x)=0\implies f(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
  3. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:g(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
  4. 存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $f(x)=0\iff g(x)=0$。若 $c$ 的任意去心邻域与 $\{x\in X:f(x)\neq 0\}$ 的交非空，那么 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。
  5. 当 $x\to c$ 时，$g$ 与 $f$ 是等价的。

  **证明**：1<->2：利用引理 9.11.8。

  1->3：存在 $c$ 的去心邻域 $V$，使得对于任意 $x\in V\cap X$ 有 $|f(x)-g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，那么若 $f(x)=0$，则有 $|g(x)|\leq \frac{1}{2}|g(x)|$，则必有 $g(x)=0$。

  3->2：显然。

  3->4：由于存在 $c$ 的去心邻域 $V$ 使得邻域内有 $f(x)=0\iff g(x)=0$，所以对于 $c$ 的任意去心邻域 $W\subseteq V$，$W\cap \{x\in X:g(x)\neq 0\}=W\cap \{x\in X:f(x)\neq 0\}$，再根据极限的局部性，以及极限的算律，可以证明 $\lim\limits_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。

  4->3：类似 3->4。

  4<->5：利用 1<->3。

- **引理 9.11.11（函数等价是等价关系）**：定义 9.11.9 所述的关系满足自反性、对称性、传递性。

  **证明**：传递性：若 $f=g+o(g),g=h+o(h)$，那么 $f=g+o(g)=h+o(h)+o(h+o(h))=h+o(h)+o(O(h))=h+o(h)+o(h)=h+o(h)$。反过来同理可证 $h=f+o(f)$。
  
- **推论 9.11.2**：设 $X\subseteq\mathbb R$，函数 $f,g:X\to\mathbb R$，$c$ 有邻域且 $c$ 的任意去心邻域与 $X$ 的交非空。那么若存在函数 $h:X\to\mathbb R$，使得 $h=f+o(f)$ 且 $h=g+o(g)$，那么 $f$ 和 $g$ 等价。

  **证明**：$h$ 和 $f,g$ 都等价，再根据传递性即证。

## 9.12 一些其他的工具

在面对实际问题的时候，一些问题可能会让人无从下手，此时直接从定义出发解决问题往往是过于复杂的，而借助一些工具可以帮我们更容易地解决它们。上面我们所述的所有引理或定理都可以视为工具，这里我们再介绍一些其他的工具。

- **定理 9.12.1（有界闭集套定理）**：设 $(F_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $\mathbb R$ 上的非空有界闭集序列，满足 $F_{n+1}\subseteq F_n$ 对任意 $n$ 成立。那么 $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N}F_n$ 是非空有界闭集。

  **证明**：根据选择公理，存在 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 使得 $x_n\in F_n$ 对任意 $n$ 成立（也可以通过取 $x_n:=\sup F_n$ 绕开选择公理，需要先证明 $\sup A=\max A$ 对任意闭集 $A$ 是成立的）。根据定理 9.1.13，由于 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是有界闭集 $F_1$ 上的序列，所以存在子列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $F_1$ 中的某数 $L$。对于任意 $n$，存在 $i$ 使得 $n_i\geq n$，那么 $(x_{n_j})_{j=i}^{\infty}$ 就变成 $F_n$ 上的序列，从而其极限值 $L$ 也在 $F_n$ 中，从而 $L$ 在 $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N}F_n$ 中。

  设 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是 $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N}F_n$ 上的收敛到 $L'$ 的序列，那么对于任意 $n$，$(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 也是 $F_n$ 上收敛的序列，从而序列极限值 $L$ 在 $F_n$ 中，于是 $L$ 在 $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N}F_n$ 中。

- **定理 9.12.2（压缩不动点定理）**：设非空闭集 $X\subseteq \mathbb R$，$\lambda \in\mathbb R$ 满足 $0<\lambda<1$，函数 $f:X\to\mathbb R$ 满足 $f(X)\subseteq X$，且对于任意 $x,y\in X$ 有 $|f(x)-f(y)|\leq \lambda|x-y|$（压缩性质）。那么存在唯一的 $x^*\in X$ 满足 $f(x^*)=x^*$。且对于任意 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=f(x_n)$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x^*$ 和 $|x_n-x^*|\leq \frac{\lambda^n}{1-\lambda}|x_1-x_0|$ 对任意 $n\geq 1$ 成立。

  **证明**：设 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意 $X$ 上的满足 $x_{n+1}=f(x_n)$ 的序列。由于 $|x_{n+2}-x_{n+1}|=|f(x_{n+1})-f(x_n)|\leq \lambda |x_{n+1}-x_n|$ 对任意 $n$ 成立，所以可以归纳证明 $|x_{n+1}-x_n|\leq \lambda^n|x_1-x_0|$ 对任意 $n$ 成立。于是对任意自然数 $n,p$：
  $$
  |x_{n+p}-x_n|\leq (\lambda^n+\cdots+\lambda^{n+p-1})|x_1-x_0|=\lambda^n\frac{1-\lambda^p}{1-\lambda}|x_1-x_0|\leq \frac{\lambda ^n}{1-\lambda}|x_1-x_0|
  $$
  由于对任意 $\varepsilon>0$ 总存在 $n$ 使得 $\frac{\lambda ^n}{1-\lambda}|x_1-x_0|<\varepsilon$，所以易见 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是柯西序列，从而 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到闭集 $X$ 中的某数 $L$。

  压缩性质蕴含了 $f$ 是连续（甚至一致连续）的，那么：
  $$
  L=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(L)
  $$
  
  同时，若存在两个不同的数 $L,L'\in X$ 都满足 $f(L)=L,f(L')=L'$，根据压缩性质，应当有 $|L-L'|=|f(L)-f(L')|\leq\lambda|L-L'|<|L-L'|$，矛盾。故存在唯一的 $x^*\in X$ 满足 $f(x^*)=x^*$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L=x^*$。
  
  对式子 $|x_{n+p}-x_n|\leq \frac{\lambda ^n}{1-\lambda}|x_1-x_0|$ 关于 $p$ 取极限，可以得到 $|x_n-x^*|\leq \frac{\lambda^n}{1-\lambda}|x_1-x_0|$。

定理 9.12.2 可以用来求解函数的解（求解 $f(x)=a$ 变为寻找 $f(x)-a+x$ 的不动点），而且通过 $|x_1-x_0|$ 给出了精确解和估计解的误差（通过 $|x_0-x^*|$ 给出是不合理的，因为并不知道 $x^*$ 是什么）。