### 第 9 章  $\mathbb R$ 上的连续函数

#### 9.1  $\mathbb R$ 的子集合

- **定义 9.1.1（区间）**：设 $a,b\in \mathbb R^*$。定义闭区间 $[a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x\leq b\}$；

    半开区间 $[a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a\leq x< b\},(a,b]:=\{x\in \mathbb R^*:a< x\leq b\}$；

    开区间 $(a,b):=\{x\in \mathbb R^*:a<x<b\}$。

    称 $a$ 为这些区间的左端点，$b$ 为这些区间的右端点。

    称没有端点是无限（$+\infty$ 或 $-\infty$）的区间为有界区间，称一个端点是无限的区间为半无限区间，称两个端点都是无限的区间为双无限区间。

于是 $\mathbb R=(-\infty,+\infty)$，$\mathbb R^*=[-\infty,+\infty]$。

- **定义 9.1.2（附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $y\in X$ 使得 $|x-y|\leq \varepsilon$。

- **定义 9.1.3（闭包）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。定义 $X$ 的闭包 $\overleftrightarrow{X}:=\{x\in \mathbb R:x\text{ 是 }X\text{ 的附着点}\}$。

- **引理 9.1.4（闭包的初等性质）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$。那么

    - $X\subseteq \overleftrightarrow{X}$。
    - $\overleftrightarrow{X\cup Y}=\overleftrightarrow{X}\cup\overleftrightarrow{Y}$。
    - $\overleftrightarrow{X\cap Y}\subseteq \overleftrightarrow{X}\cap\overleftrightarrow{Y}$。
    - $X\subseteq Y\implies \overleftrightarrow{X}\subseteq\overleftrightarrow{Y}$。

    **证明**：略。

- **引理 9.1.5（区间的闭包）**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$。那么 $[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)$ 的闭包是 $[a,b]$；$[a,+\infty),(a,+\infty)$ 的闭包是 $[a,\infty)$；$(-\infty,a],(-\infty,a)$ 的闭包是 $(-\infty,a]$；$(-\infty,+\infty)$ 的闭包是 $(-\infty,+\infty)$。

    **证明**：略。

我们还可以看到，$\overleftrightarrow{\mathbb N}=\mathbb N,\overleftrightarrow{\mathbb Z}=\mathbb Z,\overleftrightarrow{\mathbb Q}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\mathbb R}=\mathbb R,\overleftrightarrow{\varnothing}=\varnothing$。

- **引理 9.1.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。那么 $x$ 是 $X$ 的附着点，当且仅当，存在一个收敛到 $x$ 的序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $a_n\in X$。

    **证明**：利用选择公理，在 $[x-\frac1n,x+\frac1n]$ 范围内任选一个 $X$ 中的点作为 $a_n$。

- **定义 9.1.7（闭集）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是闭的，当且仅当 $\overleftrightarrow{X}=X$。

- **推论 9.1.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是闭的，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛序列，有 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\in X$。

    **证明**：根据引理 9.1.6 可知。

- **定义 9.1.9（聚点/孤立点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和实数 $x$。称 $x$ 是 $X$ 的聚点，当且仅当 $x$ 是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。称 $x$ 是 $X$ 的孤立点，当且仅当 $x\in X$ 且 $x$ 不是 $X\setminus\{x\}$ 的附着点。

- **引理 9.1.10**：$X$ 的所有附着点恰由 $X$ 的所有聚点和孤立点组成。**证明**：略。

引理 9.1.10 表明，我们能按照 $x$ 是否为 $X\setminus\{x\}$ 的附着点，将 $X$ 的所有附着点 $x$ 分为两类。

- **引理 9.1.11**：设 $I$ 是任意区间，那么 $I$ 中的每个元素都是 $I$ 的聚点。**证明**：略。

- **定义 9.1.12（有界集合）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $X$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M\geq 0$，使得 $X\subseteq[-M,M]$。称 $X$ 是无界的，当且仅当 $X$ 不是有界的。

- **定理 9.1.13（直线上的海涅-博雷尔定理）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。那么 $X$ 是有界闭集，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的序列，都存在一个子序列收敛到 $X$ 中。

    **证明**：结合定理 6.6.6 和推论 9.1.8 可证。

#### 9.2 实值函数的代数

- **定义 9.2.1**：设函数 $f:X\to \mathbb R$ 和 $Y\subseteq X$。定义 $f$ 限制在 $Y$ 上的函数（记作 $f|_Y$）为定义域在 $Y$，值域在 $\mathbb R$ 的函数，满足对于任意 $y\in Y$ 有 $f|_Y(y):=f(y)$。

- **定义 9.2.2（函数的算术运算）**：设函数 $f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to \mathbb R$。

    定义它们的和为函数 $f+g:X\to\mathbb R$，满足 $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$。

    定义它们的差为函数 $f-g:X\to\mathbb R$，满足 $(f-g)(x):=f(x)-g(x)$。

    设 $c$ 是实数，定义函数 $cf:X\to\mathbb R$，满足 $(cf)(x):=cf(x)$。

    定义它们的积为函数 $fg:X\to\mathbb R$（或 $f\cdot g:X\to\mathbb R$），满足 $(fg)(x):=f(x)g(x)$。

    若对于任意 $x\in X$ 有 $g(x)\neq 0$，定义它们的商为函数 $\frac fg:X\to\mathbb R$，满足 $\left(\frac fg\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$。

    定义函数 $\max(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x))$。

    定义函数 $\min(f,g):X\to\mathbb R$，满足 $\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x))$。

需注意函数乘法和函数复合的区分。

#### 9.3 函数的极限值

- **定义 9.3.1**：设 $X\subseteq \mathbb R$，函数 $f:X\to \mathbb R$ 和实数 $L$。设 $E\subseteq X$ 和 $E$ 的附着点 $x_0$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

    若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到任何数 $L$，那么称 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 发散，并让 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)$ 无定义。

注意条件中是 $\delta>0$ 而非 $\delta\geq 0$。例如由 $f(x):=\begin{cases}0&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，在 $0$ 处沿着 $\mathbb R$ 不收敛，但在 $0$ 处沿着 $\{0\}$ 却是收敛的。

- **命题 9.3.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。

    那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$，当且仅当，对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。

    **证明**：若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到 $L$。设 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是任意由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列。设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$ 有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。存在 $N\geq 0$，使得对于任意 $n\geq N$ 都有 $|a_n-x_0|<\delta$，那么 $|f(a_n)-L|\leq\varepsilon$。

    若对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $E$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，$(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 都收敛到 $L$。反证，若 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 不收敛到 $L$。那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，存在 $x\in E$ 且 $|x-x_0|<\delta$，满足 $|f(x)-L|> \varepsilon$。那么根据选择公理，存在 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，都有 $a_n\in E$、$|a_n-x_0|<\frac1n$ 和 $|f(a_n)-L|>\varepsilon$。于是 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 收敛到 $x_0$ 但 $(f(a_n))_{n=0}^{\infty}$ 并不收敛到 $L$，矛盾。

- **推论 9.3.3（函数的极限是唯一的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 至多收敛到一个实数 $L$。

    **证明**：根据命题 9.3.2 和序列极限的唯一性可知。

- **命题 9.3.4（函数的极限算律）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 都是函数。设 $f$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $L$，$g$ 在 $x_0$ 处沿着 $E$ 收敛到实数 $M$。那么：

  $$
  \begin{aligned}
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f+g)(x)&=L+M\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(f-g)(x)&=L-M\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\max(f,g)(x)&=\max(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\min(f,g)(x)&=\min(L,M)\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(fg)(x)&=LM\\
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}(cf)(x)&=cL(c\in\mathbb R)
  \end{aligned}
  $$
  
  最后，若 $M\neq 0$ 且 $g$ 在 $E$ 上不取零值（对于任意 $x\in E$ 有 $g(x)\neq 0$），那么：
  
  $$
  \lim\limits_{x\to x_0;x\in E}\left(\frac fg\right)(x)=\frac LM
  $$
  
  **证明**：通过命题 9.3.2 转化为序列上的问题。

- **命题 9.3.5（极限是局部的）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。

    设 $\delta>0$，那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\iff \lim\limits_{x\to x_0;x\in E\cap (x_0-\delta,x_0+\delta)}=L$。

- **命题 9.3.6**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E'\subseteq E\subseteq X$，$x_0$ 是 $E'$ 的附着点（从而是 $E$ 的附着点），$f:X\to \mathbb R$ 是函数，$L$ 是实数。那么 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in E}f(x)=L\implies \lim\limits_{x\to x_0;x\in E'}f(x)=L$。

接下来的连续和导数的定义都以函数极限作为基础，所以命题 9.3.5 和 命题 9.3.6 将会被经常使用在后续的证明中，但它们被使用之处很多都是不易察觉或容易忽略的，因为它们仅仅是变换了一下 “作用域”，但它们仍然是保证证明的严谨性的不可缺失的一环。

#### 9.4 连续函数

- **定义 9.4.1（连续）**：设 $X\subseteq\mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$，设 $x_0\in X$。

    称 $f$ 是在 $x_0$ 处连续的，当且仅当 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$ 存在。否则称 $f$ 是在 $x_0$ 处间断的。

    称 $f$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x_0\in X$，$f$ 都是在 $x_0$ 处连续的。

接下来举几个例子来帮助理解连续的定义：

- 设由 $f(x):=\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$。那么：
  - $f$ 在 $0$ 处是间断的。
  - $f|_{(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)}$ 在 $0$ 处是连续的。
  - $f|_{\{0\}}$ 在 $0$ 处是连续的。
  - $f$ 在 $(0,+\infty)$ 中任意处都是连续的。

- 设由 $f(x):=\begin{cases}x &x\in\mathbb Q\\-x&x\not\in\mathbb Q\end{cases}$ 定义的函数 $f:[0,\infty)\to\mathbb R$。那么 $f$ 在 $0$ 处是连续的，但在任意 $x_0>0$ 处都是间断的。

- 设由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:\mathbb R\setminus\{0\}\to \mathbb R$。那么 $f$ 是连续函数。

继续考察有关连续的性质：

- **命题 9.4.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。那么下面三个命题是等价的：

    - $f$ 在 $x_0$ 处连续。
    - 对于任意 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的收敛到 $x_0$ 的序列，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(x_0)$。
    - 对于任意 $\varepsilon>0$ 都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|<\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。

    **证明**：根据定义可知。

- **命题 9.4.3（算术运算保持连续性）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 和 $g:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。

    若 $f,g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g,f-g,\max(f,g),\min(f,g),fg$ 都在 $x_0$ 处连续。

    若另有 $g$ 在 $X$ 上不取零值，则 $\frac fg$ 也在 $x_0$ 处连续。

- **命题 9.4.4（指数函数是连续的）**：设实数 $a>0$，那么由 $f(x):=a^x$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：使用类似定义 6.7.1 中的证明方法。

- **命题 9.4.5（幂函数是连续的）**：设实数 $p$，那么由 $f(x):=x^p$ 定义的函数 $f:(0,\mathbb R)\to \mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：使用实数的实数次幂。

//9.4.4 和 9.4.5 的证明我没细想，但看到习题说要用挤压判别法之类的，感觉可能我想简单了，留给slc作为习题

//UPD：现在又不会证了，以后补

- **命题 9.4.6（绝对值函数是连续的）**：由 $f(x):=|x|$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 是连续的。

    **证明**：$|x|=\max(x,-x)$。

- **命题 9.4.7（复合保持连续性）**：设 $X,Y\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to \mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$。若 $f$ 在 $x_0$ 处连续，$g$ 在 $f(x_0)$ 处连续，那么 $g\circ f$ 在 $x_0$ 处连续。

    **证明**：设 $\varepsilon>0$ 为任意正实数。那么存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $y\in Y$ 且 $|y-f(x_0)|\leq \delta$ 满足 $|g(y)-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。存在 $\omega>0$ 使得对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\omega$ 满足 $|f(x)-f(x_0)|\leq\delta$，则 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon$。证毕。

- **命题 9.4.8**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$E\subseteq X$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。若 $f$ 是连续的，则 $f|_E$ 也是连续的。

    **证明**：结合定义与命题 9.3.6。

#### 9.5 左极限和右极限

- **定义 9.5.1（左极限和右极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0$ 是实数。

    若 $x_0$ 是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的右极限 $f(x_0+):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$。

    若 $x_0$ 是 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点，那么定义 $f$ 在 $x_0$ 处的左极限 $f(x_0-):=\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (-\infty,x_0)}f(x)$。

    当 $x_0$ 不是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 的附着点，或 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X\cap (x_0,+\infty)}f(x)$ 无定义，则 $f(x_0+)$ 无定义。同理可知 $f(x_0-)$ 何时无定义。

    有时将 $f(x_0+)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$，将 $f(x_0-)$ 写作 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$。

- **命题 9.5.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to\mathbb R$ 是函数，$x_0\in X$ 且 $x_0$ 同是 $X\cap (x_0,+\infty)$ 和 $X\cap (-\infty,x_0)$ 的附着点。那么 $f$ 在 $x_0$ 处连续，当且仅当，$f(x_0+)$ 和 $f(x_0-)$ 都存在且都等于 $f(x_0)$。

    **证明**：略。

#### 9.6 极值定理

- **定义 9.6.1（函数有界）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和函数 $f:X\to \mathbb R$。

    称 $f$ 是有上界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\leq M$。

    称 $f$ 是有下界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $f(x)\geq M$。

    称 $f$ 是有界的，当且仅当存在实数 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 都有 $|f(x)|\leq M$。

可以发现，$f$ 是有界的，当且仅当 $f(X)$ 是有界的。

- **引理 9.6.2**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$，那么 $f$ 是有界函数。

    **证明**：反证，设 $f$ 是无界的。

    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 0$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)>n$。

    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $[a,b]$ 中的某实数 $L$。

    根据连续的定义，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 应收敛到 $f(L)$ 是有界的。但根据 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的定义可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是无界的。矛盾。

- **定义 9.6.3（函数的极值）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 和 $x_0\in X$，函数 $f:X\to \mathbb R$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最大值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq f(x_0)$。

    称 $f$ 在 $x_0$ 处达到它的最小值，当且仅当对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\geq f(x_0)$。

注意有界函数不一定有极值。例如由 $f(x):=\frac{1}{x}$ 定义的函数 $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$ 有下界 $0$，但是不存在最小值。

- **命题 9.6.4（极值定理）**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$ 和连续函数 $f:X\to \mathbb R$，那么 $f$ 在某点 $x_{\max}\in X$ 处达到它的最大值，在某点 $x_{\min}$ 处达到它的最小值。

    **证明**：令 $L:=\sup(\{f(x):x\in X]\})$，那么对于任意 $x\in X$ 有 $f(x)\leq L$。

    根据 $\sup$ 的定义和选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 满足 $x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq L-\frac1n$。

    根据定理 9.1.13，存在一个 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 的子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$，使得 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $X$ 中的某实数 $x_{\max}$。

    又 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $L$，再根据连续的定义，可知 $f(x_{\max})=L$。

    同理可证 $x_{\min}$。

有界闭集上的连续函数的性质：有界且存在极值点。

#### 9.7 介值定理

- **定理 9.7.1（介值定理）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数，$y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数。那么存在 $c\in[a,b]$ 使得 $f(c)=y$。

    **证明**：不妨设 $f(a)\leq y\leq f(b)$。

    设 $E:=\{x\in [a,b]:f(x)\leq y\}$。由于 $E$ 非空且具有上界 $b$，故存在 $c:=\sup(E)$ 满足 $c\in [a,b]$。

    考虑证明 $f(c)=y$。

    根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 使得对于任意 $n\geq 1$ 有 $x_n\in E$ 且 $x_n\geq c-\frac1n$。那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，从而 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$。又因为对于任意 $n\geq 1$ 有 $f(x_n)\leq y$，那么 $f(c)\leq y$。

    排除掉 $c=b$ 的平凡情况，可以由 $x_n:=\min(c+\frac1n,b)$ 定义序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$，那么对于任意 $n\geq 1$ 都有 $x_n\in (c,b]$ 从而 $f(x_n)>y$，又由于 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $c$，于是 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 收敛到 $f(c)$，那么 $f(c)\geq y$。

    综上，可以得到 $f(c)=y$。

- **推论 9.7.2（连续函数的象）**：设 $a,b$ 是实数满足 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb R$ 是连续函数。根据极值定理，$f$ 存在最小值 $y_{\min}$ 和最大值 $y_{\max}$。那么 $f([a,b])=[y_{\min},y_{\max}]$。

    **证明**：存在 $x_{\min}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\min})=y_{\min}$，存在 $x_{\max}\in[a,b]$ 使得 $f(x_{\max})=y_{\max}$。

    不妨设 $x_{\min}\leq x_{\max}$。根据命题 9.4.8，$f|_{[x_{\min},x_{\max}]}$ 是连续的，那么根据介值定理，对于任意 $y\in [y_{\min},y_{\max}]$，存在 $x\in[x_{\min},x_{\max}]$ 使得 $f(x)=y$。于是 $[y_{\min},y_{\max}]\subseteq f([a,b])$。然后可证 $[y_{\min},y_{\max}]=f([a,b])$。

闭区间上的连续函数的性质：值域非常稠密，以致于其填满了实数集的一个子区间。

#### 9.8 单调函数

- **定义 9.8.1（单调函数）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是单调增（单调不降）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\leq f(y)$。

  称 $f$ 是严格单调增的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)<f(y)$。

  称 $f$ 是单调减（单调不升）的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)\geq f(y)$。

  称 $f$ 是严格单调减的，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 满足 $x<y$ 都有 $f(x)>f(y)$。

  称 $f$ 是单调的，当且仅当 $f$ 是单调增的或是单调减的。

  称 $f$ 是严格单调的，当且仅当 $f$ 是严格单调增的或是严格单调减的。

- **引理 9.8.2**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是单调增的，那么 $f$ 在 $a$ 处取到最小值，在 $b$ 处取到最小值。**证明**：略。

- **命题 9.8.3**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，函数 $f:[a,b]\to \mathbb R$ 是连续且严格单调增的。那么 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 也是连续且严格单调增的。

  **证明**：利用介值定理，容易证明 $f$ 是 $[a,b]$ 到 $[f(a),f(b)]$ 的双射，且 $f^{-1}$ 是严格单调增的，现证 $f^{-1}$ 是连续的。

  设 $y_0\in[f(a),f(b)]$，那么存在唯一的 $x_0$ 使得 $f(x_0)=y_0$。

  设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数。我们需找到 $\delta>0$，使得对于任意 $y\in [f(a),f(b)]$ 且 $|y-y_0|\leq \delta$，令 $x=f^{-1}(y)$，都有 $|x-x_0|\leq\varepsilon$。

  设 $\delta_l:=\begin{cases}f(x_0)-f(x_0-\varepsilon)&x_0-\varepsilon\geq a\\+\infty&x_0-\varepsilon<a\end{cases}$，$\delta_r:=\begin{cases}f(x_0+\varepsilon)-f(x_0)&x_0+\varepsilon\leq b\\+\infty&x_0+\varepsilon>b\end{cases}$，$\delta=\min(\delta_l,\delta_r)$，容易证明 $\delta>0$ 且满足条件。

引理 9.8.2 和命题 9.8.3 对于单调减也有类似的论述。

- **命题 9.8.4**：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:[a,b]\to Y$ 是连续函数且是双射。那么 $f$ 是严格单调函数。从而根据命题 9.8.3 可知， $f^{-1}$ 是也连续且严格单调的。

  **证明**：不妨设 $f(a)<f(b)$，欲证 $f$ 是严格单调增的。反证，若存在 $c,d\in [a,b]$ 满足 $c<d$ 且 $f(c)>f(d)$，不妨设 $a<c$，那么 $f([c,d])=[f(d),f(c)]$，从而对于任意 $x\in[a,c)$ 有 $f(x)\not\in [f(d),f(c)]$，然后说明 $f$ 在 $c$ 处间断即可。

根据证明过程不难看出，命题 9.8.4 对于 $f$ 的定义域为开区间 $(a,b)$ 时同样成立。

作为对比，该命题并不成立：设实数 $a,b$ 满足 $a<b$，$Y\subseteq \mathbb R$，函数 $f:(a,b)\to Y$ 是双射。设 $x_0\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $x_0$ 处连续，那么 $f^{-1}$ 在 $f(x_0)$ 处连续。反例如下：先取由 $f(x):=x$ 定义的函数 $f:(-10,10)\to(-10,10)$，然后对每个质数 $p\geq 3$，找到 $\frac 1p,\frac 2p,\frac 4p\cdots,\frac {2^k}p$ 使得 $2^k>p$（那么 $\frac{2^k}p<10$），然后将它们的 $f$ 值做一位的轮换，即令 $f(\frac 1p):=\frac 2p,f(\frac 2p):=\frac 4p,\cdots,f(\frac{2^k}{p}):=\frac 1p$，由于 $p$ 都是质数所以这些轮换都是互不干扰的，且 $f$ 仍保持双射。现在 $f$ 在 $0$ 处仍然是连续的：对于指定的 $\varepsilon>0$ 取 $\delta=\frac{\varepsilon}2$ 即可，因为每个 $f$ 值至多变为原来的两倍。而 $f^{-1}$ 在 $f(0)=0$ 处不是连续的：因为存在 $\varepsilon=1$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $y$ 使得 $|y|<\delta$ 且 $f^{-1}(y)>\varepsilon$——取 $y$ 为 $(0,\delta)$ 中的某个 $\frac 1p$ 即可。

我们再举一个在每个有理数处间断而在每个无理数处连续的单调函数的例子。

首先，观察由 $f(x):=\lfloor x\rfloor$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$，该函数在每个整数处间断，而在每个非整数处连续。

现在我们仿照该思路构造目标函数。由于有理数集是可数集，于是存在双射 $g:\mathbb N\to \mathbb Q$。然后我们定义函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足：

$$
f(x):=\sum_{r\in\mathbb Q:r\leq x}2^{-g^{-1}(r)}
$$

而 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n}$ 是绝对收敛的，从而 $f(x)$ 是定义成功的。可以证明 $f$ 就是一个满足要求的函数。

#### 9.9 一致连续性

- **定义 9.9.1（一致连续）**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

  称 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对于任意 $x_0\in X$，对于任意 $x\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$。

可以看出，一致连续的函数一定是连续的。

//这里给出一致连续的很多种感性理解，slc帮忙看看怎么理解更好：

//若某个函数 $f:X\to \mathbb R$ 是连续的，那么 $f$ 是一致连续的，等价于：对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf\bigg(\bigg\{\sup\big(\{\delta\in \mathbb R^+:\forall_{x\in X,|x-x_0|\leq\delta},|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon\}\big):x_0\in X\bigg\}\bigg)>0$。

//或者对于任意 $\varepsilon>0$，有 $\inf(\{|x-y|:x,y\in X\land |f(x)-f(y)|>\varepsilon\})>0$。

////或者对于任意小的正 $\varepsilon$，一定不存在两个点，它们 $x$ 值无限接近，且 $y$ 值相差大过 $\varepsilon$。

//即，对于任意无限接近的两个自变量，它们对应的函数值也应是无限接近的。

//而连续指的是，对于某一个点，和另一个和它无限接近的点，它们对应的函数值是无限接近的。

//原文中的一句话是：考察 $f(x):=\frac1x$，当 $x$ 不断接近 $0$ 时，函数的连续性会变得越来越 “差”，故它不是 “一致连续” 的。

//也有人说，可以理解成，对于任意的 $\Delta y>0$，能找到一个高为 $\Delta y$、宽为 $\Delta x$ 的矩形，使得该矩形能完美地“串在”该函数上，满足函数曲线始终从左右两侧穿入并穿出矩形。

//也有人说导数值有界，即斜率不能无限变大，这种说法可能会直观些，但得留到第10章看看对不对。

- **命题 9.9.2**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当，对于任意 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的等价序列，都有 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=0}^{\infty}$ 是等价的。

  **证明**：正推较容易，证反推。反证，若存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，使得 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。那么根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$，使得对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in X$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$，那么 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 等价，但 $(f(x_n))_{n=1}^{\infty}$ 和 $(f(y_n))_{n=1}^{\infty}$ 不等价。矛盾。

作为对照可以看到，若 $f$ 是连续的，那么 $f$ 把收敛序列映成收敛序列；而若 $f$ 是一致连续的，那么 $f$ 把一对等价序列映到一对等价序列，不论这对等价序列是否发散，或是否收敛到定义域外。

- **命题 9.9.3**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 是由 $X$ 的元素组成的柯西序列，那么 $(f(x_n))_{n=0}^{\infty}$ 也是柯西序列。

  **证明**：设 $\varepsilon>0$ 是任意正实数，存在 $\delta>0$ 使得对于任意 $x,y\in X$ 且 $|x-y|<\delta$ 有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，存在 $N\geq 0$ 使得对于任意 $n,m\geq N$ 都有 $|x_n-x_m|<\delta$，从而 $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$。

- **推论 9.9.4**：设 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。若 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，那么存在极限 $\lim\limits_{x\to x_0;x\in X}f(x)$。

  **证明**：结合命题 9.9.2 和命题 9.9.3 可知。

注意 9.9.4 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=x^2$ 定义的函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 并不一致连续。

- **命题 9.9.5**：设有界集 $X\subseteq \mathbb R$，$f:X\to \mathbb R$ 是一致连续函数。那么 $f(X)$ 有界。

  **证明**：反证。设 $f(X)$ 是无界的。

  根据选择公理，存在一个序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 0$，$x_n\in X$ 且 $f(x_n)\geq n$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 是收敛序列，从而根据命题 9.9.3 可知 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 也是收敛序列，但根据定义 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 是发散的。矛盾。

注意 9.9.5 的逆命题并不成立，例如由 $f(x):=\sin\frac 1x$ 定义的函数 $f:(0,1)\to\mathbb R$ 是有界集上的值域有界的连续函数，但它并不一致连续。

- **定理 9.9.6**：设有界闭集 $X\subseteq \mathbb R$，连续函数 $f:X\to\mathbb R$。那么 $f$ 是一致连续函数。

  **证明**：反证。若 $f$ 不是一致连续函数，那么存在 $\varepsilon>0$，使得对于任意 $\delta>0$，都存在 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\delta$，满足 $|f(x)-f(x_0)|>\varepsilon$。

  根据选择公理，存在序列 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ 满足对于任意 $n\geq 1$，有 $x_n,y_n\in[a,b]$，$|x_n-y_n|\leq\frac1n$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|>\varepsilon$。

  根据定理 9.1.13，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛到 $x\in X$，那么 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x$，那么应有 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}=f(x)$，但显然 $(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 不等价，矛盾。

- **引理 9.9.7（函数复合保持一致连续性）**：设 $X,Y,Z\subseteq \mathbb R$，$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 都是一致连续函数。那么 $g\circ f:X\to Z$ 也是一致连续的。

    **证明**：设 $\varepsilon_1>0$ 是任意正实数。存在 $\varepsilon_2>0$ 使得对于任意 $y,y_0\in Y$ 且 $|y-y_0|\leq\varepsilon_2$，都有 $|g(y)-g(y_0)|\leq\varepsilon_1$。存在 $\varepsilon_3>0$ 使得对于任意 $x,x_0\in X$ 且 $|x-x_0|\leq\varepsilon_3$，都有 $|f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon_2$，从而 $|g(f(x))-g(f(x_0))|\leq\varepsilon_1$。证毕。

我们之前说了 9.9.4 的逆命题并不成立，但对于有界集上的函数该命题是成立的。

- **引理 9.9.8**：设 $f:X\to\mathbb R$ 是有界集 $X$ 上的函数，那么 $f$ 是一致连续的，当且仅当 $f$ 在 $X$ 的任意附着点 $x_0$ 处存在极限。

  **证明**：假设 $f$ 不一致连续，那么存在正实数 $\varepsilon>0$ 和 $X$ 上的序列 $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ 和 $(y_n)_{n=0}^{\infty}$，满足对于任意 $n\geq 0$ 有 $|x_n-y_n|\leq \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon$。

  根据定理 6.6.6，存在一个子序列 $(x_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 收敛，设其收敛到 $x_0$，则 $(y_{n_i})_{i=0}^{\infty}$ 也收敛到 $x_0$。可以看出 $x_0$ 是 $X$ 的附着点，从而 $f$ 在 $x_0$ 处存在极限 $L$，根据命题 9.3.2，$(f(x_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 和 $(f(y_{n_i}))_{i=0}^{\infty}$ 都应收敛到 $L$，矛盾。

#### 9.10 在无限处的极限

- **定义 9.10.1（无限附着点）**：设 $X\subseteq \mathbb R$。称 $+\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无上界。称 $-\infty$ 是附着于 $X$ 的，当且仅当 $X$ 无下界。

- **定义 9.10.2（在无限处的极限）**：设 $X\subseteq \mathbb R$ 且 $+\infty$ 是 $X$ 的附着点，$f:X\to \mathbb R$ 是函数。

    称当 $x\to+\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to+\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x>M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

    称当 $x\to-\infty$ 时 $f(x)$ 收敛到 $L$，记作 $\lim\limits_{x\to-\infty;x\in X}f(x)=L$，当且仅当对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $M$，使得对于任意 $x\in X$ 且 $x<M$，都有 $|f(x)-L|\leq\varepsilon$。

- **引理 9.10.3**：设序列 $(a_n)_{n=0}^{\infty}$，那么 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n$ 存在当且仅当 $\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$ 存在，且若二者都存在，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty;n\in \mathbb N}a_n$。

    **证明**：根据定义可知。

由于在本书中我们不常使用无限处的极限，所以我们不对无限处的极限做深入拓展。