From 08c74f9b0b669c3d3c29de6191d51c567b2cee0b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: szdytom <szdytom@qq.com>
Date: Thu, 10 Jul 2025 22:53:28 +0800
Subject: [PATCH] 2A p9

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 sections/2A.typ | 29 +++++++++++++++++++++++++++++
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diff --git a/sections/2A.typ b/sections/2A.typ
index dcef74a..1de6b70 100644
--- a/sections/2A.typ
+++ b/sections/2A.typ
@@ -209,3 +209,32 @@
 
 	#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	证明或证伪：如果向量组 $v_1, dots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关，那么向量组
+
+	$ 5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m $
+
+	也线性无关。
+][
+	设 $a_1, a_2, a_3, a_4 in FF$，使得
+
+	$ a_1 (5v_1 - 4v_2) + a_2 v_2 + dots.c + a_m v_m = 0 $
+
+	#tab 整理得到
+
+	$ 5a_1 v_1 + (a_2 - 4a_1) + a_3 v_3 + a_4 v_4 + dots.c + a_m v_m = 0 $
+
+	#tab 由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
+
+	$ cases(
+		5a_1 = 0,
+		a_2 - 4a_1 = 0,
+		a_3 = 0,
+		a_4 = 0,
+		dots.c,
+		a_m = 0
+	) $
+
+	#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，因此向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
+]