From 1897925517e4f6a1c703245d82cf14b5c6de9026 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Fri, 8 Aug 2025 23:29:49 +0800 Subject: [PATCH] 3B 17 Signed-off-by: szdytom --- sections/3B.typ | 24 +++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 23 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/sections/3B.typ b/sections/3B.typ index 83a7612..5d60c1f 100644 --- a/sections/3B.typ +++ b/sections/3B.typ @@ -272,7 +272,7 @@ #tab 由于 $range T subset.eq W$，根据子空间的维数（原书2.37），$dim range T <= dim W$，因此 $dim V <= dim W$。 - #tab 现在假设 $dim V <= dim W$。设 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的一个线性无关组。根据线性映射引理（原书3.4），存在 $T in LinearMap(V, W)$，使得对于任意 $i in {1, dots, n}$，有 $T v_i = w_i$。 + #tab 现在假设 $dim V <= dim W$。设 $v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 的一组基，$w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 上的一个线性无关组。根据线性映射引理（原书3.4），存在 $T in LinearMap(V, W)$，使得对于任意 $i in {1, dots, n}$，有 $T v_i = w_i$。 #tab 设 $v in V$，使得 $T v = 0$。将 $v$ 表示为 @@ -284,3 +284,25 @@ #tab 由于 $w_1, dots, w_n$ 是线性无关的，故 $a_1 = dots.c = a_n = 0$，即 $v = 0$。因此 $null T = {0}$，根据“单射性 $<==>$ 零空间为 ${0}$”（原书3.15），$T$ 是单射。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $V$ 和 $W$ 都是有限维向量空间，证明：存在 $V -> W$ 的满的线性映射，当且仅当 $dim V >= dim W$。 +][ + 首先假设存在 $T in LinearMap(V, W)$ 是满射。根据线性映射基本定理（原书3.21），有 + + $ dim V = dim null T + dim range T $ + + #tab 由于 $range T = W$，因此 $dim range T = dim W$，解得 $dim V = dim null T + dim W >= dim W$。 + + #tab 现在假设 $dim V >= dim W$。设 $w_1, dots, w_n$ 是 $W$ 的一组基，$v_1, dots, v_n$ 是 $V$ 上的一个线性无关向量组。根据线性映射引理（原书3.4），存在 $S in LinearMap(span(v_1, dots, v_n), W)$，使得对于任意 $i in {1, dots, n}$，有 $S v_i = w_i$。进一步，根据#exercise_ref()，存在 $T in LinearMap(V, W)$，使得对于任意 $v in span(v_1, dots, v_n)$，有 $T v = S v$。 + + #tab 设 $w in W$，则可以将 $w$ 表示为 + + $ w = a_1 w_1 + dots.c + a_n w_n $ + + #tab 其中 $a_1, dots, a_n in FF$。则 + + $ w = a_1 T v_1 + dots.c + a_n T v_n = T (a_1 v_1 + dots.c + a_n v_n) $ + + #tab 这说明对于任意 $w in W$，都存在一个向量在 $V$ 中，使得其通过 $T$ 映射到该向量。因此 $T$ 是满射。 +]