From 18bd875c24f0a1b5c30a07fd308aeffef916cd68 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Fri, 11 Jul 2025 14:54:27 +0800 Subject: [PATCH] 2A p18 Signed-off-by: szdytom --- sections/2A.typ | 18 +++++++++++++++++- 1 file changed, 17 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/sections/2A.typ b/sections/2A.typ index 0d857e1..f331611 100644 --- a/sections/2A.typ +++ b/sections/2A.typ @@ -469,7 +469,7 @@ #tab 因此，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$Poly_4(FF)$ 上的张成组的长度不少于 $5$。因此，由四个多项式构成的向量组不可能张成 $Poly_4(FF)$。 ] -#exercise_sol(type: "proof")[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-is-V-inf-dim>)[ 证明：$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。 ][ 首先说明充分性：现在假设 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。反证假设 $V$ 是有限维的，即存在一个向量组 $u_1, dots, u_ell$ 张成 $V$。根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），必然有向量组 $v_1, dots, v_(ell + 1)$ 线性相关，这与条件矛盾。因此，$V$ 是无限维的。 @@ -486,3 +486,19 @@ #tab 综上所述，$V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个序列 $v_1, v_2, dots$ 使得对于任意正整数 $m$，均有向量组 $v_1, dots, v_m$ 线性无关。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 证明：$FF^infinity$ 是无限维的。 +][ + 对于 $k in NN^+$，我们令 + + $ v_k = "("underbrace(0 comma dots comma 0, k - 1 "个" 0), 1, 0, dots")" $ + + #tab 其中 $v_k in FF^infinity$。我们现在论证，对于任意正整数 $m$，向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。设 $a_1, dots a_m in FF$，使得 + + $ a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0 $ + + #tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。 + + #tab 根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。 +]