Section 1C p1-8

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sections/1C.typ

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 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	证明在区间 $(-4,4)$ 上的满足 $f'(-1) = 3f(2)$ 的可微实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^((-4,4))$ 的子空间。
+	证明：在区间 $(-4,4)$ 上的满足 $f'(-1) = 3f(2)$ 的可微实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^((-4,4))$ 的子空间。
 ][
 	记 $S$ 为题目所说的子集，即 $S={f in RR^((-4,4)) : f'(-1) = 3f(2)}$。我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
 
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 	#tab 综上所述，满足条件的集合是 $RR^((-4,4))$ 的子空间。
 ]
 
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $b in RR$，证明：在区间 $[0,1]$ 上满足 $integral_0^1 f = b$ 的连续实值函数 $f$ 构成的集合是 $RR^([0,1])$ 的子空间，当且仅当 $b=0$。
+][
+	我们首先说明其充分性。假设 $b=0$，此时 $S = {f in RR^([0, 1]) : integral_0^1 f = 0}$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）：
+
+	/ 加法单位元: $0 in S$。 \
+		证明：注意到 $integral_0^1 0 = 0$，故 $0 in S$。
+	/ 加法封闭性: $u,w in S$ 意味着 $u+w in S$。 \
+		证明：设 $u, w in S$，则
+		$ integral_0^1 (u+w) = integral_0^1 u + integral_0^1 w = 0 + 0 = 0 $
+		故 $u+w in S$。
+	/ 数乘封闭性: $a in RR$ 且 $u in S$ 意味着 $a u in S$。 \
+		证明：设 $u in S$，则
+		$ integral_0^1 (a u) = a integral_0^1 u = a dot 0 = 0 $
+		故 $a u in S$。
+	
+	#tab 综上所述，当 $b=0$ 时，$S$ 是 $RR^([0,1])$ 的子空间。
+]
+
 #exercise_sol(type: "answer")[
 	$RR^2$ 是不是复向量空间 $CC^2$ 的子空间？
 ][
@@ -179,7 +198,7 @@
 
 	#tab 容易验证 $u, v in S_CC$，而
 
-	$ u + v = (-1, 1, 0) in.not S_CC $
+	$ u + v = (-1, 2, 0) in.not S_CC $
 
 	#tab 这违反子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求。由此，$S_CC$ 不是 $CC^3$ 的子空间。
 ]
@@ -189,5 +208,17 @@
 ][
 	取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
 
-	#tab 找到一个反例，说明题目中的命题不成立。
-]
+	#tab 我们找到了一个反例，这说明题目中的命题不成立。
+]
+
+#note[还可以取 $U = {(a, b) : a,b in QQ}$ 作为反例。]
+
+#exercise_sol(type: "answer")[
+	给出一例：$RR^2$ 的非空子集 $U$，满足对标量数乘封闭，但不是 $RR^2$ 的子空间。
+][
+	取
+	
+	$ U = {(a, 0) : a in RR} union {(0, a) : a in RR} subset.eq RR^2 $
+
+	#tab 这个集合满足对标量数乘封闭，但不满足对加法封闭。比如，取 $u = (1, 0) in U$，$v = (0, 1) in U$，则 $u+v=(1, 1) in.not U$。因此 $U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。
+]