2A p10-11

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/2A.typ

@@ -173,7 +173,7 @@
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
 	#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
-	+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的。
+	+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的；
 	+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
 ][
 	利用@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，我们只需注意到，
@@ -184,7 +184,7 @@
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	设向量组 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 在 $V$ 中线性无关。证明：向量组
+	设 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $V$ 中的线性无关向量组。证明：向量组
 
 	$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
 	
@@ -207,11 +207,11 @@
 		a_4 - a_3 = 0
 	) $
 
-	#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
+	#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	证明或证伪：如果向量组 $v_1, dots, v_m$ 在 $V$ 中线性无关，那么向量组
+	证明或证伪：设 $v_1, dots, v_m$ 与 $V$ 中的线性无关向量组，则向量组
 
 	$ 5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m $
 
@@ -236,5 +236,42 @@
 		a_m = 0
 	) $
 
-	#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，因此向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
+	#tab 这说明 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $5v_1 - 4v_2, v_2, v_3, dots, v_m$ 线性无关。
+]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	证明或证伪：设 $v_1, dots, v_m$ 是 $V$ 中的线性无关向量组，$lambda in FF$（$lambda != 0$）。则向量组
+
+	$ lambda v_1, dots, lambda v_m $
+
+	也线性无关。
+][
+	设 $a_1, dots, a_m in FF$，使得
+
+	$ a_1 (lambda v_1) + dots.c + a_m (lambda v_m) = 0 $
+
+	#tab 整理得到
+
+	$ lambda (a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m) = 0 $
+
+	#tab 由于 $lambda != 0$，因此 $a_1 v_1 + dots.c + a_m v_m = 0$。由于 $v_1, dots, v_m$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。因此，根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $lambda v_1, dots, lambda v_m$ 线性无关。
+]
+
+#exercise_sol(type: "answer")[
+	证明或证伪：设 $v_1, dots v_m$ 和 $w_1, dots, w_m$ 都是 $V$ 中的线性无关向量组。则向量组
+
+	$ v_1 + w_1, dots, v_m + w_m $
+
+	也线性无关。
+][
+	取 $V = RR^2$，并令
+
+	$ v_1 &= (1, 0), wide &v_2 = (0, 1) \
+		w_1 &= (0, 1), &w_2 = (1, 0) $
+	
+	#tab 容易验证这两个向量组都是 $RR^2$ 中的线性无关向量组。然而，注意到
+
+	$ 1(v_1 + w_1) + (-1)(v_2 + w_2) = 1(1, 1) + (-1)(1, 1) = 0 $
+
+	#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $v_1 + w_1, v_2 + w_2$ 不是线性无关的，因此原命题不成立。
 ]