From 348882f393d3860511a822a641be796bdd8c0a64 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Tue, 8 Jul 2025 20:30:41 +0800 Subject: [PATCH] 1C p11 Signed-off-by: szdytom --- sections/1C.typ | 15 ++++++++++++++- 1 file changed, 14 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index ee50736..334417e 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -291,7 +291,7 @@ #tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。 ] -#exercise_sol(type: "proof")[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: <1C-inter-of-subspace-is-subspace>)[ 设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $V$ 的子空间，证明：交集 $V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。 ][ 记 $S=V_1 inter V_2$，我们逐条验证其满足子空间的条件（原书定理1.34）： @@ -309,3 +309,16 @@ #tab 综上所述，$V_1 inter V_2$ 是 $V$ 的子空间。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 证明：$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。 +][ + 设 $V_1,dots,V_n$ 都是 $V$ 的子空间，记 $S=V_1 inter dots inter V_n$。我们关于 $n$ 使用数学归纳法。 + + / 第一步: \ + 当 $n=1$ 时，$S=V_1$，显然是 $V$ 的子空间。 + / 第 $k+1$ 步: \ + 假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $V_1 inter dots inter V_k$ 是 $V$ 的子空间。由@1C-inter-of-subspace-is-subspace 可知，$V_1 inter dots V_(k+1)$ 是 $V$ 的子空间。由此，我们证明了当 $n=k+1$ 时，结论也成立。 + + #tab 综上所述，$V$ 的任意一族子空间的交集是 $V$ 的子空间。 +]