2A p20

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/2A.typ

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 	#tab 所以，根据@2A-when-is-V-inf-dim 中的结论，#fun-notation 是无限维的。
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+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $p_0, dots, p_m$ 是 $Poly_m (FF)$ 中的多项式，其满足对任意 $k in {0, dots, m}$ 都有 $p_k (2) = 0$。证明：$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
+][
+	对于 $k in {0, dots, m}$，令
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+	$ q_k:& FF -> FF \ &z |-> z^k $
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+	#tab 根据多项式的次数定义（原书定义2.11），有
+
+	$ Poly_m (FF) = span(q_0, dots, q_m) $
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+	#tab 现在反证假设 $p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中线性无关。令函数
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+	#let b1 = math.bold("1")
+	$ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $
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+	#tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@2A-when-vecs-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。
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+	#tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。
+]