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方而静 2025-07-28 22:46:05 +08:00
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@ -242,7 +242,9 @@
#tab 因此,对于任意 $a in RR$ $v in RR^2$,都有 $phi(a v) = a phi(v)$
#tab 但是 $phi$ 不是线性映射。因为当 $v = (1, 0)$ $w = (0, -1)$ 时,$phi(v + w) = phi(1, -1) = 1$,而 $phi(v) + phi(w) = phi(1, 0) + phi(0, -1) = 1 + (-1) = 0$,即 $phi(v + w) != phi(v) + phi(w)$,这违背了线性映射的可加性的要求。
#tab 但是 $phi$ 不是线性映射。因为当 $v = (1, 0)$ $w = (0, -1)$ 时,$phi(v + w) = phi(1, -1) = 1$,而 $phi(v) + phi(w) = phi(1, 0) + phi(0, -1) = 1 + (-1) = 0$,即 $phi(v + w) != phi(v) + phi(w)$
#tab 这说明 $phi$ 不满足线性映射的定义原书3.1)中对可加性的要求。因此 $phi$ 不是线性映射。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
@ -276,11 +278,11 @@
#note[这里定义的函数 $T$不同于原书3.3中最后一个例子定义的函数 $T$,区别在于复合的次序。]
][
$x in RR$。令 $q: Poly(RR)$ $ x |-> x^2$。注意到,取 $p: Poly(RR)$ $x |-> x$,则
$x in RR$。令 $q in Poly(RR)$ $ x |-> x^2$。注意到,取 $p in Poly(RR)$ $x |-> x$,则
$ (T 2p)(x) = q(2 p(x)) = 4 x^2 != 2 x^2 = 2 q(p(x)) = 2 T p $
#tab 违反了线性映射的齐次性要求。因此 $T$ 不是线性映射。
#tab 说明 $T$ 不满足线性映射的定义原书3.1)中对齐次性的要求。因此 $T$ 不是线性映射。
]
#exercise_sol(type: "proof", label: "tricky")[
@ -310,3 +312,20 @@
#tab 综上所述,$T$ 是恒等算子的标量倍,当且仅当,对于任意 $S in LinearMap(V)$$S T = T S$ 成立。
]
#exercise_sol(type: "proof")[
$U$ $V$ 的子空间,$U != V$。设 $S in LinearMap(U, W)$,且 $S != 0$(即存在 $u in U$,使得 $S u != 0$)。定义 $T: V -> W$,使得
$ T v = cases(
S v wide& v in U,
0 wide& v in V quad and quad v in.not U,
) $
证明:$T$ 不是 $V$ 上的线性映射。
][
$u in U$,使得 $S u != 0$$v in V$ $v in.not V$。由于 $u + (v - u) = v in.not U$根据子空间的条件原书1.34)中对加法封闭性的要求,只能有 $v - u in.not U$。注意到
$ T u = S u != 0 = 0 + 0 = T u + T (v - u) $
#tab 这说明 $T$ 不满足线性映射的定义原书3.1)中对可加性的要求。因此 $T$ 不是 $V$ 上的线性映射。
]