2A p7-8

Signed-off-by: szdytom <szdytom@qq.com>

sections/2A.typ

@@ -1,5 +1,5 @@
 #import "../styles.typ": exercise_sol, tab, exercise_ref
-#import "../math.typ": span
+#import "../math.typ": span, ii
 
 #exercise_sol(type: "answer")[
 	求 $FF^3$ 中的四个不同的向量，其张成空间为
@@ -14,17 +14,17 @@
 
 	#tab 综上所述，题目要求的四个不同的向量可以是
 
-	$ (1, 0, -1)"，" (0, 1, -1)"，" (2, 0, -2)"，" (0, 2, -2) $
+	$ (1, 0, -1), (0, 1, -1), (2, 0, -2), (0, 2, -2) $
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	证明或证伪：如果 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 张成 $V$，那么向量组
+	证明或证伪：如果向量组 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 张成 $V$，那么向量组
 
 	$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
 
 	也张成 $V$。
 ][
-	设 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 张成 $V$，则任意 $v in V$ 都可以表示为
+	对于任意 $v in V$，可以将其表示为
 
 	$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $
 
@@ -44,7 +44,7 @@
 
 	#tab 这说明 $v$ 可以用 $v_1$，$v_2$，$v_3$ 和 $v_4$ 线性表示，这表明 $span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4) subset.eq V$。
 
-	#tab 综上所述，$V = span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，即向量组 $v_1 - v_2$，$v_2 - v_3$，$v_3 - v_4$ 也张成 $V$。
+	#tab 综上所述，$V = span(v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4)$，即向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 也张成 $V$。
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
@@ -93,7 +93,7 @@
 	#tab 综上所述，$span(v_1, dots, v_m) = span(w_1, dots, w_m)$。	
 ]
 
-#exercise_sol(type: "proof")[
+#exercise_sol(type: "proof", ref: <2A-when-1-or-2-vecs-are-indep>)[
 	#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
 	+ 证明：向量空间中长度为 $1$ 的组线性无关，当且仅当组中的该向量不是 $0$；
 	+ 证明：向量空间中长度为 $2$ 的组线性无关，当且仅当组中两个向量的任意一个不是另一个的标量倍。
@@ -126,7 +126,7 @@
 #exercise_sol(type: "answer")[
 	求一数 $t in RR$，使得向量组
 
-	$ (3, 1, 4)"，" (2, -3, 5)"，" (5, 9, t) $
+	$ (3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, t) $
 
 	在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
 ][
@@ -134,11 +134,15 @@
 
 	$ (-3) (3, 1, 4) + 2 (2, -3, 5) + 1 (5, 9, 2) = 0 $
 
-	#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4)$，$(2, -3, 5)$，$(5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
+	#tab 根据线性无关的定义（原书定义2.15），这表明向量组 $(3, 1, 4), (2, -3, 5), (5, 9, 2)$ 在 $RR^3$ 中不是线性无关的。
 ]
 
 #exercise_sol(type: "proof")[
-	证明：向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, c)$ 在 $FF^3$ 中线性相关，当且仅当 $c = 8$。
+	证明：向量组
+	
+	$ (2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c) $
+	
+	在 $FF^3$ 中线性相关，当且仅当 $c = 8$。
 ][
 	首先说明充分性：当 $c = 8$ 时，注意到
 
@@ -146,7 +150,7 @@
 
 	#tab 根据线性相关的定义（原书定义2.17），这表明向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, 8)$ 在 $FF^3$ 中线性相关。
 
-	#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in FF$，使得
+	#tab 然后说明必要性：使用反证法，假设 $c != 8$ 且向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 线性相关。根据定义，存在 $a_1, a_2, a_3 in FF$，使得
 
 	$ a_1 (2, 3, 1) + a_2 (1, -1, 2) + a_3 (7, 3, c) = 0 $
 
@@ -164,5 +168,44 @@
 
 	#tab 由于 $c!=8$，只能有 $a_1 = 0$，而这将给出 $a_1 = a_2 = a_3 = 0$，与反证假设矛盾，故假设不成立。
 	
-	#tab 综上所述，向量组 $(2, 3, 1)$，$(1, -1, 2)$，$(7, 3, c)$ 在 $RR^3$ 中线性相关当且仅当 $c = 8$。
+	#tab 综上所述，向量组 $(2, 3, 1), (1, -1, 2), (7, 3, c)$ 在 $RR^3$ 中线性相关当且仅当 $c = 8$。
+]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	#set enum(numbering: "(a) ") // 与原书一致
+	+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的。
+	+ 证明：如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
+][
+	利用@2A-when-1-or-2-vecs-are-indep 中的结论，我们只需注意到，
+
+	$ (1 + i) / (1 - i) = ii $
+
+	#tab 考虑到 $ii in CC$ 但是 $ii in.not RR$，因此 $1 + i$ 只在 $CC$ 上是 $1 - ii$ 的标量倍。这表明，如果我们将 $CC$ 视为 $RR$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性无关的，而如果我们将 $CC$ 视为 $CC$ 上的向量空间，那么向量组 $1 + ii, 1 - ii$ 是线性相关的。
+]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设向量组 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 在 $V$ 中线性无关。证明：向量组
+
+	$ v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4 $
+	
+	也线性无关。
+][
+	设 $a_1, a_2, a_3, a_4 in FF$，使得
+
+	$ a_1 (v_1 - v_2) + a_2 (v_2 - v_3) + a_3 (v_3 - v_4) + a_4 v_4 = 0 $
+
+	#tab 整理得到
+
+	$ a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0 $
+	
+	#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 线性无关，根据线性无关的定义（原书定义2.15），只能有
+
+	$ cases(
+		a_1 = 0, 
+		a_2 - a_1 = 0, 
+		a_3 - a_2 = 0, 
+		a_4 - a_3 = 0
+	) $
+
+	#tab 这说明 $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$，因此向量组 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 线性无关。
 ]