From 5422a0da04a5576e8e3a738804827c9f76db1113 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Tue, 15 Jul 2025 21:19:58 +0800 Subject: [PATCH] 2A p3 Signed-off-by: szdytom --- sections/2C.typ | 42 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 40 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/sections/2C.typ b/sections/2C.typ index 40f8f53..3f00223 100644 --- a/sections/2C.typ +++ b/sections/2C.typ @@ -1,5 +1,5 @@ -#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab -#import "../math.typ": span +#import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab, exercise_ref +#import "../math.typ": span, Poly #exercise_sol(type: "proof")[ 证明：$RR^2$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^2$ 中所有过原点的直线，以及 $RR^2$ 本身。 @@ -30,3 +30,41 @@ #tab 综上所述，$RR^3$ 的子空间恰有 ${0}$，$RR^3$ 中所有过原点的直线，$RR^3$ 中所有过原点的平面，以及 $RR^3$ 本身。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + + 令 $U = {p in Poly_4(FF) : p(6) = 0}$，求 $U$ 的一组基； + + 将 (a) 中的基扩充为 $Poly_4(FF)$ 的基； + + 求 $Poly_4(FF)$ 的一个子空间 $W$，使得 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。 +][ + 对于 (a)，我们的思路是，考虑到 $p(6) = 0$ 意味着任意 $p in U$ 都可以表示为 $p(z) = (z - 6)q(z)$，其中 $q in Poly_3(FF)$。因此，我们很容易猜测 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$#footnote[将这些表达式看作关于 $z$ 的函数，即这里表示的是 $z |-> dots.c$，下同。]是 $U$ 的一组基。 + + #tab 为了说明这一点，我们首先证明 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是线性无关的。设 $a, b, c, d in FF$，满足 + + $ a(z - 6) + b(z^2 - 6z) + c(z^3 - 6z^2) + d(z^4 - 6z^3) = 0 $ + + #tab 整理得到 + + $ -6a + (a - 6b)z + (b - 6c)z^2 + (c - 6d)z^3 + d z^4 = 0 $ + + #tab 根据多项式系数的唯一性，我们有 + + $ cases( + -6a = 0, + a - 6b = 0, + b - 6c = 0, + c - 6d = 0, + d = 0 + ) $ + + #tab 由此可得 $a = b = c = d = 0$，因此 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是线性无关的。 + + #tab 根据子空间的维数的性质，我们知道 $dim U <= dim Poly_4(FF) = 5$。注意到 $z |-> z in.not U$，故 $U != Poly_4(FF)$，于是 $dim U <= 4$。另一方面，将 $U$ 的一组基看作张成组，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书2.22），我们得到 $dim U >= 4$。于是只能有 $dim U = 4$。再根据长度恰当的线性无关组是基（原书2.38），我们得出 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3$ 是 $U$ 的一组基。 + + #tab 对于 (b)，注意到 $1 in.not U$，根据#exercise_ref()，可得向量组 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3, 1$ 是线性无关的，进一步地，向量组 $z - 6, z^2 - 6z, z^3 - 6z^2, z^4 - 6z^3, 1$ 是长度恰当（$dim Poly_4(FF) = 5$）的线性无关组，因此它是 $Poly_4(FF)$ 的一组基。 + + #tab 对于 (c)，我们可以取 $W = span(1)$。由 (b) 可知 $Poly_4(FF) = U + W$，根据子空间之和的维数（原书2.43），我们有 + + $ dim Poly_4(FF) = dim U + dim W - dim(U inter W) $ + + #tab 解得 $dim (U inter W) = 0$，即 $U inter W = {0}$。根据“两个子空间的直和”（原书1.46），得到 $Poly_4(FF) = U plus.circle W$。 +]