From 5863ec04bf9a5346312fd1d278da6203a478ba2a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: szdytom <szdytom@qq.com>
Date: Sun, 13 Jul 2025 19:14:50 +0800
Subject: [PATCH] 2B p7

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index 4976b13..4f715db 100644
--- a/sections/2B.typ
+++ b/sections/2B.typ
@@ -298,3 +298,43 @@
 
 	#tab 综上所述，$p_0, p_1, p_2, p_3$ 是 $Poly_3(FF)$ 的基，故原命题不成立。
 ]
+
+#exercise_sol(type: "proof")[
+	设 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是 $V$ 的基，证明：向量组
+
+	$ v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4 $
+
+	也是 $V$ 的基。
+][
+	设 $v in V$，注意到
+
+	$ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 $
+
+	#tab 其中 $a_1, a_2, a_3, a_4 in FF$。另一方面，设 $b_1, b_2, b_3, b_4 in FF$，满足
+
+	$ v = b_1 (v_1 + v_2) + b_2 (v_2 + v_3) + b_3 (v_3 + v_4) + b_4 v_4 $
+
+	#tab 则
+
+	$ v = (b_1 + b_2) v_1 + (b_2 + b_3) v_2 + (b_3 + b_4) v_3 + b_4 v_4 $
+
+	#tab 由于 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 是基，根据基的判定准则（原书定理2.28），$v_1, v_2, v_3, v_4$ 的系数只能对应相等，即
+
+	$ cases(
+		a_1 = b_1 + b_2,
+		a_2 = b_2 + b_3,
+		a_3 = b_3 + b_4,
+		a_4 = b_4
+	) $
+
+	#tab 求解 $b_1, b_2, b_3, b_4$，得到唯一的一组解是
+
+	$ cases(
+		b_1 = a_1 - a_2,
+		b_2 = a_2 - a_3,
+		b_3 = a_3 - a_4,
+		b_4 = a_4
+	) $
+
+	#tab 这表明 $v$ 可以唯一地被表示为向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 的线性组合。因此，向量组 $v_1 + v_2, v_2 + v_3, v_3 + v_4, v_4$ 是 $V$ 的基。
+]