From 59bb3d5b67e49a1b3e779e28d926a73862b970c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Mon, 28 Jul 2025 23:15:56 +0800 Subject: [PATCH] 3A p14 Signed-off-by: szdytom --- sections/2A.typ | 6 +++--- sections/3A.typ | 28 ++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 29 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/sections/2A.typ b/sections/2A.typ index 843ab23..a80ab42 100644 --- a/sections/2A.typ +++ b/sections/2A.typ @@ -501,7 +501,7 @@ #tab 这立即给出 $a_1 = dots.c = a_m = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $v_1, dots, v_m$ 是线性无关的。 - #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，$FF^infinity$ 是无限维的。 + #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，$FF^infinity$ 是无限维的。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -572,7 +572,7 @@ #tab 对于 $k in {1, dots, m}$，我们代入 $x = 1/k$ 即可说明 $a_k = 0$，于是根据线性无关的定义（原书定义2.15），向量组 $f_1, dots, f_m$ 是线性无关的。 - #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization 中的结论，#fun-notation 是无限维的。 + #tab 所以，根据@E-inf-dim-space-seq-characterization，#fun-notation 是无限维的。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -591,7 +591,7 @@ #let b1 = math.bold("1") $ b1:& FF -> FF \ &z |-> 1 $ - #tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep 中的结论，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。 + #tab 有 $b1 in Poly_m (FF)$。同时，注意到 $b1(2) != 0$，因此 $b1 in.not span(v_1, dots, v_m)$。根据@E-when-vector-list-append-remains-indep，向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 线性无关。然而，根据“线性无关组的长度 $<=$ 张成组的长度”（原书定理2.22），$q_0, dots, q_m$ 这一张成向量组的长度为 $m + 1$，而向量组 $p_0, dots, p_m, b1$ 的长度为 $m + 2$，不可能是线性无关的。矛盾，故假设不成立。 #tab 综上所述，$p_0, dots, p_m$ 在 $Poly_m (FF)$ 中不是线性无关的。 ] diff --git a/sections/3A.typ b/sections/3A.typ index f5eb0c7..4c40770 100644 --- a/sections/3A.typ +++ b/sections/3A.typ @@ -1,5 +1,5 @@ #import "../styles.typ": exercise_sol, note, tab, exercise_ref -#import "../math.typ": Poly, LinearMap, ii +#import "../math.typ": Poly, LinearMap, ii, span #note[与原书一致，在本章中，如无其他说明，我们总是假定字母 $U$，$V$ 和 $W$ 都是 $FF$ 上的向量空间。] @@ -330,7 +330,7 @@ #tab 这说明 $T$ 不满足线性映射的定义（原书3.1）中对可加性的要求。因此 $T$ 不是 $V$ 上的线性映射。 ] -#exercise_sol(type: "proof")[ +#exercise_sol(type: "proof", ref: )[ 设 $V$ 是有限维的向量空间。证明：$V$ 的子空间上的任意一个线性映射都可以扩充为 $V$ 上的线性映射。形式化地说，设 $U$ 是 $V$ 的子空间，$S in LinearMap(U, W)$。则存在 $T in LinearMap(V, W)$，使得 $T u = S u$ 对任意 $u in U$ 成立。 #note[原书 3.125 的证明将会用到本题的结果。] @@ -345,3 +345,27 @@ #tab 很容易证明 $R$ 是线性映射，且对于 $u in U$，有 $R u = u$。现在，令 $T = S R$ 就立即完成了证明。 ] + +#exercise_sol(type: "proof")[ + 设 $V$ 是有限维向量空间，$dim V > 0$，$W$ 是无限维向量空间。证明：$LinearMap(V, W)$ 是无限维的。 +][ + 设 $v in V$，$v != 0$。根据#exercise_ref()，$W$ 中存在一个序列 $w_1, w_2, dots$ 使得对于任意 $m in NN^+$，向量组 $w_1, dots, w_m$ 线性无关。 + + #tab 对于任意 $u in span(v)$，存在 $lambda in FF$，使得 $u = lambda v$。现在，对于任意 $k in NN^+$，令函数 $S_k: span(v) -> W$ 满足 + + $ S_k u = lambda w_k $ + + #tab 根据@E-extend-linear-map，存在 $T_k in LinearMap(V, W)$，使得对于任意 $u in span(v)$，都有 $T_k u = S_k u$。特别地，$T_k v = w_k$。 + + #tab 对于任意 $m in NN^+$，设 $a_1, dots a_m in FF$，使得 + + $ a_1 T_1 + dots.c + a_m T_m = 0 $ + + #tab 等式两边同时代入 $v$，我们得到 + + $ a_1 w_1 + dots.c + a_m w_m = 0 $ + + #tab 由于 $w_1, dots, w_m$ 是线性无关的，因此 $a_1 = dots.c = a_m = 0$。这说明 $T_1, dots, T_m$ 是线性无关的。 + + #tab 所以，根据#exercise_ref()，$LinearMap(V, W)$ 是无限维的。 +]