From 614bd1524b2ea1827a5267d0803b9f46947bd2e9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Tue, 8 Jul 2025 19:48:29 +0800 Subject: [PATCH] 1C p9 Signed-off-by: szdytom --- color.typ | 1 + sections/1C.typ | 76 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- styles.typ | 22 ++++++++++++-- 3 files changed, 90 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/color.typ b/color.typ index 4cb9746..1f7221c 100644 --- a/color.typ +++ b/color.typ @@ -20,6 +20,7 @@ #let aux_color_set = ( "100": cmyk(70%, 0%, 35%, 0%), + "80": rgb("#55c4c2"), "20": rgb("#d4f0ef"), "10": rgb("#eaf7f7"), ) \ No newline at end of file diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index 447ec3b..feef7cf 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -1,4 +1,7 @@ -#import "../styles.typ": exercise_sol, ii, note, tab, unset-list-indent +#import "@preview/cetz:0.4.0" +#import "@preview/cetz-plot:0.1.2": plot + +#import "../styles.typ": exercise_sol, ii, note, tab, ploting-styles, math_numbering #exercise_sol(type: "answer")[ 对于 $FF^3$ 的下列各个子集，判断其是否是 $FF^3$ 的子空间： @@ -150,7 +153,7 @@ $ ii v = (ii, 0) in.not RR^2 $ - #tab 这违反子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$RR^2$ 不是 $CC^2$ 的子空间。 + #tab 这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$RR^2$ 不是 $CC^2$ 的子空间。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ @@ -198,13 +201,13 @@ $ u + v = (-1, 2, 0) in.not S_CC $ - #tab 这违反子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求。由此，$S_CC$ 不是 $CC^3$ 的子空间。 + #tab 这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求。由此，$S_CC$ 不是 $CC^3$ 的子空间。 ] #exercise_sol(type: "proof")[ 证明或推翻：如果 $U$ 是 $RR^2$ 的非空子集，满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭（即 $u in U$ 意味着 $-u in U$），那么 $U$ 是 $RR^2$ 的子空间。 ][ - 取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。 + 取 $U = {(1, 0), (0, 0), (-1, 0)}$，容易验证 $U$ 满足对加法封闭和对“取加法逆元”封闭。但是，取 $u = (1, 0) in U$, $2u = (2, 0) in.not U$，这违反了子空间的条件（原书定理1.34）中对“数乘封闭性”的要求。由此，$U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。 #tab 我们找到了一个反例，这说明题目中的命题不成立。 ] @@ -221,8 +224,69 @@ #tab 这个集合满足对标量数乘封闭，但不满足对加法封闭。比如，取 $u = (1, 0) in U$，$v = (0, 1) in U$，则 $u+v=(1, 1) in.not U$。因此 $U$ 不是 $RR^2$ 的子空间。 ] -#exercise_sol(type: "answer")[ +#exercise_sol(type: "answer", label: "tricky")[ 函数 $f: RR -> RR$ 被成为*周期的（periodic）*，是指存在一正数 $p$，使得 $f(x) = f(x + p)$ 对所有 $x in RR$ 成立。$RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合是不是 $RR^RR$ 的子空间？请作解释。 ][ - 不是。取 $f(x) = sin x$，$g(x) = sin (sqrt(2) x)$，并令 $h=f+g$。下面说明 $h$ 不是周期函数。 + 不是。取 $f(x) = sin(x)$，$g(x) = sin(sqrt(2) x)$。容易验证，对于任意 $x in RR$， + + $ f(x + 2 pi) &= f(x) \ + g(x + sqrt(2) pi) &= g(x) $ + + 因此 $f$ 和 $g$ 都是 $RR^RR$ 中的周期函数。现在令 $h=f+g$。下面说明 $h$ 不是周期函数。 + + #figure(cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + ploting-styles.axis + plot.plot( + size: (12, 3), + x-tick-step: calc.pi, + x-format: plot.formats.multiple-of, + axis-style: "scientific", + y-tick-step: 2, + x-min: -10.4, + x-max: 10.4, + y-min: -2.4, + y-max: 2.4, + x-grid: true, + y-grid: true, + x-label: none, + y-label: none, + { + let domain = (-10.4, 10.4) + plot.add( + x => calc.sin(x) + calc.sin(calc.sqrt(2) * x), + domain: domain, + samples: 1000, + style: ploting-styles.s, + ) + }) + }), caption: [函数 $h(x) = sin(pi x) + sin(sqrt(2) pi x)$ 的图像。]) + + #show: math_numbering(true) + + #tab 使用反证法，假设存在实数 $p > 0$，满足 $h(x) = h(x + p)$ 对所有 $x in RR$ 成立，即 + + $ sin(x) + sin(sqrt(2) x) = sin(x + p) + sin(sqrt(2) x + sqrt(2) p) $ <1B-h-periodic-assume-eq> + + #tab 对@1B-h-periodic-assume-eq 两边同时求导两次，得到 + + $ -sin(x) - 2 sin(sqrt(2) x) = - sin(x + p) - 2 sin(sqrt(2) x + sqrt(2) p) $ <1B-h-periodic-assume-eq-dd> + + #tab 将@1B-h-periodic-assume-eq 与@1B-h-periodic-assume-eq-dd 相加并化简，得到 + + $ sin(sqrt(2) x) = sin(sqrt(2) x + sqrt(2) p) $ <1B-h-periodic-assume-eq-res-sqrt2> + + #tab 进一步将@1B-h-periodic-assume-eq 减去@1B-h-periodic-assume-eq-res-sqrt2，得到 + + $ sin(x) = sin(x + p) $ <1B-h-periodic-assume-eq-res-1> + + #show: math_numbering(false) + + #tab 向@1B-h-periodic-assume-eq-res-sqrt2 与@1B-h-periodic-assume-eq-res-1 中代入 $x=0$，得到 + + $ sin(p) = sin(sqrt(2) p) = 0 $ + + #tab 这意味着存在 $k_1,k_2 in ZZ$，使得 $sqrt(2) p = 2 k_1 pi$ 且 $p = 2 k_2 pi$。联立消去 $p$，得到 $sqrt(2) = k_1 slash k_2$，这与我们熟知的 $sqrt(2) in.not QQ$ 矛盾，故假设不成立。 + + #tab 综上所述，$h$ 不是 $RR^RR$ 上的周期函数。这表明 $RR -> RR$ 上的周期函数构成的集合并不符合子空间的条件（原书定理1.34）中对“加法封闭性”的要求，因此其不是 $RR^RR$ 的子空间。 ] diff --git a/styles.typ b/styles.typ index 47a5cf4..5e9d3b5 100644 --- a/styles.typ +++ b/styles.typ @@ -1,7 +1,7 @@ #import "@preview/showybox:2.0.4": showybox #import "@preview/tableau-icons:0.1.0" as tbl -#import "@preview/cetz:0.3.2" -#import "@preview/cetz-plot:0.1.1": plot +#import "@preview/cetz:0.4.0" +#import "@preview/cetz-plot:0.1.2": plot #import "color.typ": theme_color_set, text_color_set, aux_color_set @@ -215,7 +215,22 @@ body } +#let math_numbering(flag) = { + if flag { + return body => { + set math.equation(numbering: "（式1）") + body + } + } else { + return body => { + set math.equation(numbering: none) + body + } + } +} + #let exercise_sol(e, s, type: "proof", label: none) = { + counter(math.equation).update(0) figure(e, kind: "exercise-problem", supplement: "习题") let splt = ( "proof": "证明", @@ -238,8 +253,9 @@ nothing: (fill: none, stroke: none), s: (stroke: theme_color_set.at("100")), + s_20: (stroke: theme_color_set.at("20")), - axis: cetz.draw.set-style(axes: (stroke: .5pt, tick: (stroke: .5pt))), + axis: cetz.draw.set-style(axes: (grid: (stroke: 1pt + aux_color_set.at("100")))), ) #let plot-point(x, y) = plot.add(((x, y),), mark: "o", mark-style: ploting-styles.mark, style: ploting-styles.s)