From 6ae61d52f4b708134b136573ba55ead5c9ad556d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: szdytom Date: Wed, 9 Jul 2025 16:21:45 +0800 Subject: [PATCH] 1C p18 Signed-off-by: szdytom --- sections/1C.typ | 12 +++++++++++- 1 file changed, 11 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/sections/1C.typ b/sections/1C.typ index 07f2d1d..fed20fd 100644 --- a/sections/1C.typ +++ b/sections/1C.typ @@ -426,7 +426,7 @@ #exercise_sol(type: "answer")[ 设 $U$ 是 $V$ 的子空间，那么 $U + U$ 是什么？ ][ - 由子空间加法封闭性可知，$U + U = U$。 + 由子空间加法封闭性可知，$U + U subset.eq U$，另一方面，对于 $u in U$，我们有 $u + 0 = u$，因此 $U subset.eq U + U$。综上所述，$U + U = U$。 ] #exercise_sol(type: "answer")[ @@ -452,3 +452,13 @@ #tab 这说明 $(V_1 + V_2) + V_3 = V_1 + (V_2 + V_3)$ 成立。 ] + +#exercise_sol(type: "answer")[ + $V$ 的“子空间求和”运算有没有加法单位元？哪些子空间有加法逆元？ +][ + “子空间求和”运算的加法单位元是 ${0}$。设 $U$ 是 $V$ 的子空间，对于任意 $u in U$,都有 $u + 0 = u$，故 $U + {0} = U$。 + + #tab 由于 ${0} + {0} = {0}$，故 ${0}$ 有加法逆元 ${0}$。我们下面说明，除此之外，没有任何子空间有加法逆元。使用反证法，假设 $U$ 是 $V$ 的子空间，满足 $U != {0}$ 且 $W$ 是 $U$ 的加法逆元，注意到 $U subset.eq U + W = {0}$，矛盾，故假设不成立。 + + #tab 综上所述，“子空间求和”运算的加法单位元是 ${0}$，而只有 ${0}$ 有加法逆元。 +]